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\(\sqrt{9}=3\), और बाएँ जाने पर घटाते हैं, इसलिए (P=4-3=1)। दिशा वाले प्रश्न में पहले दूरी सरल करें। / \(\sqrt{9}=3\), and moving left means subtracting, so (P=4-3=1). In direction questions, simplify the distance first.
\(\sqrt{25}=5\) और \(\sqrt{4}=2\), इसलिए \(\sqrt{25}-\sqrt{4}=3\)। पूर्ण वर्गों को तुरंत सरल करें। / \(\sqrt{25}=5\) and \(\sqrt{4}=2\), so \(\sqrt{25}-\sqrt{4}=3\). Simplify perfect squares immediately.
\(\sqrt{16}=4\) और \(\frac{4}{2}=2\), इसलिए बिंदु (2) है। पहले वर्गमूल सरल करें, फिर भाग दें। / \(\sqrt{16}=4\) and \(\frac{4}{2}=2\), so the point is (2). Simplify the square root first, then divide.
\(0.7^2=0.49\), इसलिए \(\sqrt{0.49}=0.7\) है। दशमलव वर्गों में स्थान मान सावधानी से देखें। / Since \(0.7^2=0.49\), \(\sqrt{0.49}=0.7\). Be careful with place value in decimal squares.
\(\sqrt{25}=5\) और \(-\sqrt{9}=-3\), इसलिए दूरी (|5-(-3)|=8) है। पहले वर्गमूल सरल करें। / \(\sqrt{25}=5\) and \(-\sqrt{9}=-3\), so the distance is (|5-(-3)|=8). Simplify square roots first.
\(\sqrt{9}=3\), इसलिए यह बिंदु (3) पर होगा। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल तुरंत पहचानें। / \(\sqrt{9}=3\), so it is located at point (3). Learn square roots of perfect squares for quick answers.
\(\sqrt{16}=4\), इसलिए इसका स्थान (4) है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल सीधे पहचाने जा सकते हैं। / \(\sqrt{16}=4\), so its position is (4). Square roots of perfect squares can be identified directly.
दिया गया बहुपद \(p(x)=x^2-8x+16=(x-4)^2\) है। अतः \(p(4+t)=((4+t)-4)^2=t^2\)। विकल्प C केवल रैखिक पद देता है और वर्ग करने की आवश्यकता को अनदेखा करता है। परीक्षा में पहले बहुपद को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखना सबसे तेज़ तरीका है। / The polynomial can be written as \(p(x)=x^2-8x+16=(x-4)^2\). Therefore, \(p(4+t)=((4+t)-4)^2=t^2\). Option C gives only a linear term and misses the squaring step. In an exam, factoring into a perfect square is the quickest method here.
(4x-2-4x+1=(2x-1)2), इसलिए शून्यक \(\frac{1}{2}\) दो बार है। पूर्ण वर्ग रूप तुरंत समान शून्यक देता है। / (4x-2-4x+1=(2x-1)2), so the zero \(\frac{1}{2}\) occurs twice. Perfect square form gives equal zeroes directly.
दिया गया बहुपद \(16x^2-24x+9=(4x-3)^2\) है। शून्यक के लिए \(4x-3=0\), अतः \(x=\frac{3}{4}\)। विकल्प B में \(x=-\frac{3}{4}\) रखने पर बहुपद का मान शून्य नहीं आता। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पूर्ण वर्ग पहचानना सबसे तेज़ तरीका है। / The polynomial can be written as \(16x^2-24x+9=(4x-3)^2\). For a zero, \(4x-3=0\), giving \(x=\frac{3}{4}\). Substituting option B, \(x=-\frac{3}{4}\), does not make the polynomial zero. In an exam, identifying the perfect-square form is the quickest method.
(\(x^2-4\)2=x-4-8x-2+16), इसलिए (m=-8)। वर्ग पहचान में मध्य पद (2ab) को ध्यान से निकालें। / (\(x^2-4\)2=x-4-8x-2+16), so (m=-8). In a square identity, find the middle term (2ab) carefully.
A. समान वास्तविक शून्यक \(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)/Equal real zeroes \(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
(4x-2-12x+9=(2x-3)2), इसलिए समान शून्यक \(\frac{3}{2}\) हैं। पूर्ण वर्ग रूप समान शून्यक बताता है। / (4x-2-12x+9=(2x-3)2), so the equal zeroes are \(\frac{3}{2}\). A perfect square form indicates equal zeroes.
बहुपद को गुणनखंडित करने पर \(9x^2+12x+4=(3x+2)^2\) मिलता है। शून्यक के लिए \(p(x)=0\), अतः \((3x+2)^2=0\), जिससे \(3x+2=0\) और \(x=-\frac{2}{3}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(x=\frac{2}{3}\) रखने पर \(p(x)=16\), इसलिए वह शून्यक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: तीन पदों वाले पूर्ण वर्ग को \((a+b)^2\) के रूप में पहचानें। / Factoring the polynomial gives \(9x^2+12x+4=(3x+2)^2\). For a zero, \(p(x)=0\), so \((3x+2)^2=0\), which implies \(3x+2=0\) and hence \(x=-\frac{2}{3}\). The closest distractor, \(\frac{2}{3}\), gives \(p(x)=16\), not zero. Exam tip: check whether a trinomial can be written as a perfect square such as \((a+b)^2\).
A. दोनों शून्यक \(\frac{3}{2}\) हैं/Both zeroes are \(\frac{3}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद को गुणनखंडित करने पर \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\) प्राप्त होता है। इसलिए \(2x-3=0\), अर्थात् \(x=\frac{3}{2}\), और यह शून्यक दोहराया गया है; अतः दोनों शून्यक \(\frac{3}{2}\) हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि इसमें दो अलग-अलग शून्यक माने गए हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि द्विघात बहुपद पूर्ण वर्ग हो या उसका विविक्तकर शून्य हो, तो उसके दोनों शून्यक समान होते हैं। / Factoring gives \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\). Hence \(2x-3=0\), so \(x=\frac{3}{2}\), and this zero is repeated; therefore, both zeroes are \(\frac{3}{2}\). Option C is incorrect because it treats the zeroes as two distinct values. Exam tip: A quadratic polynomial that is a perfect square, or has discriminant zero, has equal zeroes.
विकल्प A में \(x^2+10x+25=x^2+2(x)(5)+5^2=(x+5)^2\) है, इसलिए यह पूर्ण वर्ग बहुपद है। विकल्प B में स्थिर पद 20 है, जबकि \(x^2+10x\) के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु स्थिर पद 25 होना चाहिए। विकल्प C में मध्य पद 5x है, जो \((x+5)^2\) के मध्य पद 10x से मेल नहीं खाता, और विकल्प D में स्थिर पद ऋणात्मक है। परीक्षा में \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) तथा \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) की पहचान करें। / In option A, \(x^2+10x+25=x^2+2(x)(5)+5^2=(x+5)^2\), so it is a perfect-square polynomial. In option B, the constant term is 20, whereas 25 is required to complete the square for \(x^2+10x\). In option C, the middle term is 5x instead of the required 10x, and option D has a negative constant term. In an exam, check the identities \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) and \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\).
बहुपद में \(x=-2\) रखने पर \(p(-2)=(-2)^2+4(-2)+4=4-8+4=0\) प्राप्त होता है। अतः \(-2\) इस बहुपद का शून्यक है। विकल्प B में \(p(0)=4\), इसलिए वह शून्य नहीं है; इसी प्रकार \(p(2)=16\) और \(p(4)=36\)। परीक्षा-युक्ति: शून्यक जाँचने के लिए दिए गए मान को बहुपद में रखकर मान \(0\) होना चाहिए। / Substituting \(x=-2\) gives \(p(-2)=(-2)^2+4(-2)+4=4-8+4=0\). Therefore, \(-2\) is a zero of the polynomial. Option B is incorrect because \(p(0)=4\); similarly, \(p(2)=16\) and \(p(4)=36\). Exam tip: To test whether a number is a zero, substitute it into the polynomial and check whether the result is \(0\).
(\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)^{2}=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6})। परीक्षा में (a+b) और \(2\sqrt{ab}\) से (a,b) पहचानें। / (\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)^{2}=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}). In exams, identify (a,b) from (a+b) and \(2\sqrt{ab}\).
x-2-24x+144 को x-2-2\cdot x\cdot12+122 के रूप में लिखा जा सकता है। यह पूर्ण वर्ग त्रिपद a-2-2ab+b-2=(a-b)2 के रूप में (x-12)2 है। विकल्प B में मध्य पद धनात्मक हो जाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लेकर उनके बीच के पद का चिन्ह जाँचें। / x-2-24x+144 can be written as x-2-2\cdot x\cdot12+122 . Using the identity a-2-2ab+b-2=(a-b)2 , it becomes (x-12)2 . Option B would produce a positive middle term, so it is incorrect. Exam tip: take the square roots of the first and last terms and then check the sign of the middle term.
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) की पहचान का उपयोग करें। यहाँ \(a=x\) और \(b=9\) लेने पर \((x+9)^2=x^2+2\cdot x\cdot9+9^2=x^2+18x+81\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में मध्य पद \(-18x\) होता, जबकि विकल्प D में \(18x\) पद ही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: स्थिर पद का वर्गमूल लेकर मध्य पद के चिन्ह से \((x\pm a)^2\) का चिन्ह तय करें। / Use the identity \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Taking \(a=x\) and \(b=9\), we get \((x+9)^2=x^2+2\cdot x\cdot9+9^2=x^2+18x+81\). Therefore, option A is correct. Option B would give the middle term \(-18x\), while option D omits the \(18x\) term. Exam tip: Take the square root of the constant term and use the sign of the middle term to choose between \((x+a)^2\) and \((x-a)^2\).
\(x^2-16x+64\) को \(x^2-2\cdot x\cdot 8+8^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। सूत्र \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) के अनुसार यह \((x-8)^2\) है। विकल्प B में मध्य पद \(+16x\) होता, इसलिए वह गलत है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लेकर मध्य पद का \(-2ab\) से मिलान करें। / The expression can be written as \(x^2-2\cdot x\cdot 8+8^2\). Using \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\), it equals \((x-8)^2\). Option B would produce a middle term of \(+16x\), so it is incorrect. Exam tip: identify the square roots of the first and last terms, then check whether the middle term is \(-2ab\) or \(+2ab\).
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल \((D=1)\)/Two real, rational and distinct roots \((D=1)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=1\), \(B=-(2a+3)\) और \(C=(a+1)(a+2)\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(2a+3)^2-4(a+1)(a+2)=1\) प्राप्त होता है। इसलिए \(D>0\) होने से मूल वास्तविक और भिन्न हैं। साथ ही \(D=1\) पूर्ण वर्ग है और \(a\) परिमेय है, इसलिए \(\sqrt D=1\) तथा दोनों मूल परिमेय होंगे; वास्तव में मूल \(a+1\) और \(a+2\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) से पहले वास्तविकता जाँचें, फिर \(D\) के पूर्ण वर्ग होने से परिमेयता तय करें। / Here \(A=1\), \(B=-(2a+3)\), and \(C=(a+1)(a+2)\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=(2a+3)^2-4(a+1)(a+2)=1\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct. Also, \(D=1\) is a perfect square and \(a\) is rational, so both roots are rational; in fact, they are \(a+1\) and \(a+2\). Exam tip: First use the sign of \(D\) to determine whether roots are real, and then check whether \(D\) is a perfect square to determine rationality.
A. मूल वास्तविक और बराबर हैं/Roots are real and equal
Explanation
Simple Explanation
यहां \(D=12^2-4\cdot9\cdot4=0\), इसलिए मूल वास्तविक और बराबर हैं। परीक्षा में \(9x^2+12x+4\) को ((3x+2)2) भी पहचान सकते हैं। / Here \(D=12^2-4\cdot9\cdot4=0\), so the roots are real and equal. In exams, \(9x^2+12x+4\) can also be recognized as ((3x+2)2).
A. मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग हैं/The roots are real, rational, and distinct
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(\Delta=144\) एक धनात्मक पूर्ण वर्ग है। \(\Delta>0\) होने से दोनों मूल वास्तविक और अलग-अलग होते हैं, जबकि पूर्ण वर्ग होने से, परिमेय गुणांकों वाले समीकरण में, मूल परिमेय होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(\Delta=0\) पर सही होता है। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\) और \(\Delta<0\) से पहले वास्तविकता तथा पूर्ण वर्ग होने से परिमेयता जाँचें। / The discriminant \(\Delta=144\) is a positive perfect square. Since \(\Delta>0\), the two roots are real and distinct; because the coefficients are rational and the discriminant is a perfect square, the roots are rational. Hence, option A is correct. Option B is true only when \(\Delta=0\). Exam tip: first use the sign of \(\Delta\) to determine whether the roots are real and distinct, and then check whether it is a perfect square to determine rationality.
A. मूल वास्तविक और समान हैं; \\(x=-\frac{3}{4}\\)/The roots are real and equal; \\(x=-\frac{3}{4}\\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \\(a=16, b=24, c=9\\) हैं। विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=24^2-4(16)(9)=0\\) है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान हैं। साथ ही, \\(16x^2+24x+9=(4x+3)^2\\) से \\(4x+3=0\\), अतः समान मूल \\(x=-\frac{3}{4}\\) है। इसलिए विकल्प B में चिन्ह गलत है और विकल्प C में \\(D\\) का मान भी गलत है। परीक्षा-युक्ति: जब द्विघात व्यंजक पूर्ण वर्ग हो या \\(D=0\\) हो, तो मूल समान होते हैं। / Here, \\(a=16, b=24, c=9\\). The discriminant is \\(D=b^2-4ac=24^2-4(16)(9)=0\\), so the roots are real and equal. Also, \\(16x^2+24x+9=(4x+3)^2\\), which gives \\(4x+3=0\\) and hence the equal root \\(x=-\frac{3}{4}\\). Therefore, option B has the wrong sign, while option C gives an incorrect discriminant. Exam tip: If a quadratic is a perfect square or its discriminant is zero, its roots are equal.
दिया गया समीकरण \(9x^2-6x+1=(3x-1)^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \((3x-1)^2=0\), इसलिए \(3x-1=0\) और समान मूल \(x=\frac{1}{3}\) है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल की जाँच के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) को भी शून्य पाया जाना चाहिए। / The equation can be factorised as \(9x^2-6x+1=(3x-1)^2\). Thus, \((3x-1)^2=0\), giving \(3x-1=0\) and the equal root \(x=\frac{1}{3}\). Exam tip: For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero.
यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a+4)\) और \(C=a^2+8a+16=(a+4)^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=4(a+4)^2-4(a+4)^2=0\) होगा। इसलिए प्रत्येक वास्तविक \(a\) के लिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे; वास्तव में समीकरण \((x-(a+4))^2=0\) है और दोहरा मूल \(x=a+4\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर मूल समान और वास्तविक होते हैं। / Here, \(A=1\), \(B=-2(a+4)\), and \(C=a^2+8a+16=(a+4)^2\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=4(a+4)^2-4(a+4)^2=0\). Hence, for every real value of \(a\), the roots are real and equal; in fact, the equation is \((x-(a+4))^2=0\), so the repeated root is \(x=a+4\). Exam tip: \(D=0\) indicates equal real roots.
द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और समान होने के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। अतः \(-(b+3)^2=0\), जिससे \((b+3)^2=0\) और \(b=-3\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें: किसी वास्तविक संख्या के वर्ग का ऋणात्मक मान केवल तभी शून्य हो सकता है, जब वह संख्या स्वयं शून्य हो। / The roots of a quadratic equation are real and equal only when its discriminant is \(D=0\). Thus, \(-(b+3)^2=0\), which gives \((b+3)^2=0\) and hence \(b=-3\). Therefore, option A is correct. Exam tip: the negative of a real square can be zero only when the quantity being squared is zero.
A. हर वास्तविक \(w\) के लिए वास्तविक और समान/Real and equal for every real \(w\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=4\), \(b=-4w\) और \(c=w^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4w)^2-4(4)(w^2)=0\) है। इसलिए प्रत्येक वास्तविक \(w\) के लिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे; वास्तव में समीकरण \((2x-w)^2=0\) है और मूल \(x=\frac{w}{2}\) दोहराया हुआ है। ध्यान दें कि \(w=0\) होने पर भी \(x^2\) का गुणांक 4 रहता है, इसलिए समीकरण द्विघात ही रहता है। परीक्षा टिप: \(D=0\) होने पर मूल समान होते हैं। / Here, \(a=4\), \(b=-4w\), and \(c=w^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4w)^2-4(4)(w^2)=0\). Hence, for every real \(w\), the roots are real and equal; in fact, the equation is \((2x-w)^2=0\), giving the repeated root \(x=\frac{w}{2}\). Even when \(w=0\), the coefficient of \(x^2\) remains 4, so the equation is still quadratic. Exam tip: When \(D=0\), the roots are real and equal.
द्विघात समीकरण के लिए \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-2p)^2-4(1)(p^2)=0\) होगा। इसलिए दोनों मूल हमेशा वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में, समीकरण \((x-p)^2=0\) है और दोनों मूल \(x=p\) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\Delta=0\) पर मूल भिन्न नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta=0\) का अर्थ समान वास्तविक मूल होता है। / For this quadratic equation, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-2p)^2-4(1)(p^2)=0\). Hence the roots are always real and equal. In fact, the equation can be written as \((x-p)^2=0\), so both roots are \(x=p\). Option B is incorrect because \(\Delta=0\) does not give distinct roots. Exam tip: \(\Delta=0\) indicates equal real roots.
A. मूल समान हैं और \(x=\frac{1}{2}\)/Roots are equal and \(x=\frac{1}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-4)2-4(4)(1)=0) और समीकरण ((2x-1)2=0) है। इसलिए समान मूल \(x=\frac{1}{2}\) है। / Here (D=(-4)2-4(4)(1)=0), and the equation is ((2x-1)2=0). So the equal root is \(x=\frac{1}{2}\).
