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A. इसकी समान वास्तविक जड़ें हैं/It has equal real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=12, c=36\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=12^2-4(1)(36)=0\) है, इसलिए दोनों जड़ें वास्तविक और समान हैं। वास्तव में, \(x^2+12x+36=(x+6)^2\), अतः दोनों जड़ें \(x=-6\) हैं। इसलिए विकल्प C गलत है, क्योंकि जड़ें असमान नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण की समान वास्तविक जड़ें होती हैं। / Here, \(a=1, b=12, c=36\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=12^2-4(1)(36)=0\), so the two roots are real and equal. In fact, \(x^2+12x+36=(x+6)^2\), giving both roots as \(x=-6\). Therefore, option C is incorrect because the roots are not distinct. Exam tip: For a quadratic equation, \(D=0\) indicates equal real roots.
यहाँ \(a=4\), \(b=-12\) और \(c=9\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-12)^2-4(4)(9)=144-144=0\) है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में, \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\), अतः दोनों मूल \(x=\frac{3}{2}\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर मूल हमेशा वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=4\), \(b=-12\), and \(c=9\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-12)^2-4(4)(9)=144-144=0\). Therefore, the roots are real and equal. In fact, \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\), so both roots are \(x=\frac{3}{2}\). Exam tip: When \(D=0\), the roots are always real and equal.
क्योंकि (17=\(\sqrt{17}\)2) और मध्य पद \(-2\sqrt{17}x\) है, इसलिए यह (\(x-\sqrt{17}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since (17=\(\sqrt{17}\)2) and the middle term is \(-2\sqrt{17}x\), it is (\(x-\sqrt{17}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
क्योंकि (13=\(\sqrt{13}\)2) और मध्य पद \(2\sqrt{13}x\) है, इसलिए यह (\(x+\sqrt{13}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since (13=\(\sqrt{13}\)2) and the middle term is \(2\sqrt{13}x\), it is (\(x+\sqrt{13}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
क्योंकि (11=\(\sqrt{11}\)2) और मध्य पद \(-2\sqrt{11}x\) है, इसलिए यह (\(x-\sqrt{11}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since (11=\(\sqrt{11}\)2) and the middle term is \(-2\sqrt{11}x\), it is (\(x-\sqrt{11}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
क्योंकि (7=\(\sqrt{7}\)2) और मध्य पद \(2\sqrt{7}x\) है, इसलिए यह (\(x+\sqrt{7}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since (7=\(\sqrt{7}\)2) and the middle term is \(2\sqrt{7}x\), it is (\(x+\sqrt{7}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
क्योंकि (5=\(\sqrt{5}\)2) और मध्य पद \(-2\sqrt{5}x\) है, इसलिए यह (\(x-\sqrt{5}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since (5=\(\sqrt{5}\)2) and the middle term is \(-2\sqrt{5}x\), it is (\(x-\sqrt{5}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
क्योंकि (3=\(\sqrt{3}\)2) और मध्य पद \(2\sqrt{3}x\) है, इसलिए यह (\(x+\sqrt{3}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since (3=\(\sqrt{3}\)2) and the middle term is \(2\sqrt{3}x\), it is (\(x+\sqrt{3}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
((7x-3)2=0), इसलिए (7x-3=0) और \(x=\frac{3}{7}\) है। परीक्षा में वर्ग रूप के बाद रैखिक समीकरण हल करें। / ((7x-3)2=0), so (7x-3=0) and \(x=\frac{3}{7}\). In exams, solve the linear equation after square form.
\((7x-3)^2=49x^2-42x+9\), क्योंकि \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)। इसलिए दिया गया समीकरण \((7x-3)^2=0\) है। विकल्प B में मध्य पद \(+42x\) होता, जबकि C और D में \(x^2\) का गुणांक सही नहीं है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लेकर मध्य पद \(2ab\) से जाँच करें। / Using \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), we get \((7x-3)^2=49x^2-42x+9\). Hence the equation becomes \((7x-3)^2=0\). In option B, the middle term would be \(+42x\), while options C and D have an incorrect coefficient of \(x^2\). Exam tip: take the square roots of the first and last terms and verify the middle term using \(2ab\).
((6x-5)2=0), इसलिए (6x-5=0) और \(x=\frac{5}{6}\) है। परीक्षा में दोहराए हुए मूल को सही भिन्न में लिखें। / ((6x-5)2=0), so (6x-5=0) and \(x=\frac{5}{6}\). In exams, write the repeated root as a correct fraction.
(36x-2-60x+25=(6x-5)2), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में ((a-b)2) का पैटर्न पहचानें। / (36x-2-60x+25=(6x-5)2), so it is a perfect square. In exams, recognize the pattern ((a-b)2).
((5x-2)2=0), इसलिए (5x-2=0) और \(x=\frac{2}{5}\) है। परीक्षा में वर्ग रूप के बाद रैखिक समीकरण हल करें। / ((5x-2)2=0), so (5x-2=0) and \(x=\frac{2}{5}\). In exams, solve the linear equation after square form.
पहचान \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) का प्रयोग करने पर \(25x^2-20x+4=(5x)^2-2(5x)(2)+2^2=(5x-2)^2\) मिलता है। इसलिए सही पूर्ण वर्ग रूप \((5x-2)^2=0\) है। विकल्प B में मध्य पद \(+20x\) होता, जबकि विकल्प C और D में पहला पद क्रमशः \(625x^2\) और \(x^2\) बनता है। परीक्षा-टिप: पूर्ण वर्ग पहचान में मध्य पद का चिन्ह अवश्य जाँचें। / Using the identity \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\), we get \(25x^2-20x+4=(5x)^2-2(5x)(2)+2^2=(5x-2)^2\). Hence, the correct perfect-square form is \((5x-2)^2=0\). In option B, the middle term would be \(+20x\), while options C and D have incorrect leading terms, \(625x^2\) and \(x^2\), respectively. Exam tip: Always check the sign and coefficient of the middle term when applying a perfect-square identity.
((4x-3)2=0), इसलिए (4x-3=0) और \(x=\frac{3}{4}\) है। परीक्षा में दोहराए हुए मूल को भी सही भिन्न में लिखें। / ((4x-3)2=0), so (4x-3=0) and \(x=\frac{3}{4}\). In exams, write the repeated root as a correct fraction.
(16x-2-24x+9=(4x-3)2), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में ((a-b)2) का पैटर्न पहचानें। / (16x-2-24x+9=(4x-3)2), so it is a perfect square. In exams, recognize the pattern ((a-b)2).
((3x-5)2=0), इसलिए (3x-5=0) और \(x=\frac{5}{3}\) है। परीक्षा में वर्ग रूप के बाद रैखिक समीकरण हल करें। / ((3x-5)2=0), so (3x-5=0) and \(x=\frac{5}{3}\). In exams, solve the linear equation after square form.
पहचान \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) का प्रयोग करें। यहाँ \(9x^2=(3x)^2\), \(25=5^2\) और बीच का पद \(-30x=-2\cdot3x\cdot5\) है। इसलिए \(9x^2-30x+25=(3x-5)^2\), अतः सही रूप \((3x-5)^2=0\) है। विकल्प B में बीच का पद धनात्मक होता। परीक्षा में पहले पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लेकर बीच के पद का \(\pm2ab\) से मिलान करें। / Use the identity \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\). Here, \(9x^2=(3x)^2\), \(25=5^2\), and the middle term is \(-30x=-2\cdot3x\cdot5\). Therefore, \(9x^2-30x+25=(3x-5)^2\), so the equation becomes \((3x-5)^2=0\). Option B would produce a positive middle term. In exams, take the square roots of the first and last terms and verify the middle term using \(\pm2ab\).
((2x-3)2=0), इसलिए (2x-3=0) और \(x=\frac{3}{2}\) है। परीक्षा में दोहराए हुए मूल को भी सही मान से लिखें। / ((2x-3)2=0), so (2x-3=0) and \(x=\frac{3}{2}\). In exams, write the repeated root with the correct value.
पहचान \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) का प्रयोग करने पर \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\) मिलता है। इसलिए दिया गया समीकरण \((2x-3)^2=0\) है। विकल्प B में मध्य पद धनात्मक होता, जबकि यहाँ \(-12x\) है। परीक्षा में पहले पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लेकर मध्य पद का मिलान करें। / Using the identity \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), we get \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\). Hence the equation becomes \((2x-3)^2=0\). In option B, the middle term would be positive, whereas the given middle term is \(-12x\). In exams, take the square roots of the first and last terms and then verify the middle term.
\((x+5)^2=x^2+2(5)x+5^2=x^2+10x+25\)। इसकी तुलना \(x^2+10x+k\) से करने पर \(k=25\) मिलता है। विकल्प 5, वर्ग के अंदर का स्थिरांक है, जबकि \(k\) उसका वर्ग यानी 25 है। परीक्षा-युक्ति: \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\) में अंतिम पद \(a^2\) होता है। / \((x+5)^2=x^2+2(5)x+5^2=x^2+10x+25\). Comparing this with \(x^2+10x+k\) gives \(k=25\). The distractor 5 is the constant inside the bracket, whereas \(k\) is its square. Exam tip: in \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\), the constant term is \(a^2\).
पूर्ण वर्ग सूत्र (a+b)2=a-2+2ab+b-2 का उपयोग करें। यहाँ a=x और b=12 लेने पर (x+12)2=x-2+2(x)(12)+122=x-2+24x+144 मिलता है। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि (x-12)2 में मध्य पद -24x होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: स्थिर पद का वर्गमूल लेकर मध्य पद से उसका दोगुना गुणनफल जाँचें। / Use the perfect-square identity (a+b)2=a-2+2ab+b-2. Taking a=x and b=12 gives (x+12)2=x-2+2(x)(12)+122=x-2+24x+144. Therefore, option A is correct. Note that (x-12)2 would have the middle term -24x, so it is not correct. Exam tip: take the square root of the constant term and verify twice its product with the variable term.
\(x\) के गुणांक 24 का आधा 12 है। पूर्ण वर्ग बनाने के लिए उसके आधे का वर्ग जोड़ा जाता है: \(\left(\frac{24}{2}\right)^2=12^2=144\)। इसलिए दोनों पक्षों में 144 जोड़ा जाएगा। ध्यान रखें कि 12 आधा गुणांक है, जबकि जोड़ी जाने वाली संख्या 144 है। / The coefficient of \(x\) is 24, so its half is 12. To complete the square, we add the square of this half: \(\left(\frac{24}{2}\right)^2=12^2=144\). Therefore, 144 is added to both sides. Remember that 12 is the half of the coefficient, while 144 is the number added.
((x+9)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल (-9) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग समीकरण में दोनों मूल समान होते हैं। / ((x+9)2=0), so the repeated root is (-9). In exams, a perfect square equation has equal roots.
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) के अनुसार \((x+9)^2=x^2+18x+81\), क्योंकि \(2\times 9=18\) और \(9^2=81\)। इसलिए सही रूप \((x+9)^2=0\) है। \((x-9)^2\) में मध्य पद \(-18x\) होता है। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग पहचानते समय स्थिर पद के वर्गमूल और मध्य पद के गुणांक का मिलान करें। / Using \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), we get \((x+9)^2=x^2+18x+81\), since \(2\times 9=18\) and \(9^2=81\). Therefore, the correct form is \((x+9)^2=0\). The closest distractor, \((x-9)^2\), has the middle term \(-18x\), not \(+18x\). Exam tip: for a perfect square, compare the square root of the constant term with half the coefficient of \(x\).
(4x-2+4x+1=(2x+1)2), इसलिए यह पूर्ण वर्ग समीकरण है। परीक्षा में ((a+b)2) पहचानकर जल्दी हल करें। / (4x-2+4x+1=(2x+1)2), so it is a perfect square equation. In exams, recognize ((a+b)2) to solve quickly.
\((x-3)^2=x^2-6x+9\) होता है। दिए गए व्यंजक \(x^2-6x+k\) से तुलना करने पर \(k=9\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा-टिप: \((x-a)^2=x^2-2ax+a^2\) में स्थिर पद \(a^2\) होता है। / Expanding the perfect square gives \((x-3)^2=x^2-6x+9\). Comparing this with \(x^2-6x+k\), the constant term is \(k=9\). Therefore, option A is correct. Exam tip: in \((x-a)^2=x^2-2ax+a^2\), the constant term is \(a^2\).
\\((x+8)^2=x^2+2\cdot8x+8^2=x^2+16x+64\\) होता है, इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में मध्य पद \\-16x\ आता है, जबकि दिए गए व्यंजक में \\(+16x\\) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए स्थिर पद का वर्गमूल लेकर उसके दुगुने गुणनफल से मध्य पद जाँचें। / \\((x+8)^2=x^2+2\cdot8x+8^2=x^2+16x+64\\), so option A is correct. Option B would produce the middle term \\-16x\, not the given \\(+16x\\). In an exam, identify a perfect square by taking the square root of the constant term and checking whether twice that number gives the middle-term coefficient.
\(x\) के गुणांक 16 का आधा 8 है और उसका वर्ग \(8^2=64\) होता है। इसलिए दोनों पक्षों में 64 जोड़ने पर \(x^2+16x+64=(x+8)^2\) प्राप्त होता है। 8 केवल आधा गुणांक है, जोड़ने वाली संख्या नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx\) को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\) जोड़ें। / The coefficient of \(x\) is 16. Its half is 8, and the square of 8 is \(8^2=64\). Thus, adding 64 to both sides gives \(x^2+16x+64=(x+8)^2\). The number 8 is only half the coefficient, not the number to be added. Exam tip: For \(x^2+bx\), add \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\) to complete the square.
\(x^2+14x+49=(x+7)^2\), इसलिए \((x+7)^2=0\) से \(x=-7\) मिलता है। यही मूल दो बार आता है, इसलिए यह दोहरा मूल है। ध्यान रखें: \((x+a)^2=0\) का मूल \(x=-a\) होता है; अतः \(x=7\) सही नहीं है। / Since \(x^2+14x+49=(x+7)^2\), the equation becomes \((x+7)^2=0\), giving \(x=-7\). This root occurs twice, so it is the repeated root. Exam tip: for \((x+a)^2=0\), the root is \(x=-a\), not \(x=a\).
