Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यहाँ \(a=4, b=-20, c=25\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-20)^2-4(4)(25)=0\), इसलिए दोनों मूल समान होंगे। समीकरण को \((2x-5)^2=0\) लिखने पर \(2x-5=0\), अतः समान मूल \(x=\frac{5}{2}\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर समान मूल \(x=\frac{-b}{2a}\) से भी सीधे निकाला जा सकता है। / Here, \(a=4, b=-20, c=25\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-20)^2-4(4)(25)=0\), so the two roots are equal. Factoring gives \((2x-5)^2=0\), hence \(2x-5=0\) and the repeated root is \(x=\frac{5}{2}\). Exam tip: When \(D=0\), the equal root can also be found directly using \(x=\frac{-b}{2a}\).
(\(x-\sqrt{17}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(\sqrt{17}\) है। परीक्षा में ((x-a)2=0) से (x=a) मिलता है। / (\(x-\sqrt{17}\)2=0), so the repeated root is \(\sqrt{17}\). In exams, ((x-a)2=0) gives (x=a).
(\(x+\sqrt{13}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(-\sqrt{13}\) है। परीक्षा में ((x+a)2=0) से (x=-a) मिलता है। / (\(x+\sqrt{13}\)2=0), so the repeated root is \(-\sqrt{13}\). In exams, ((x+a)2=0) gives (x=-a).
(\(x-\sqrt{11}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(\sqrt{11}\) है। परीक्षा में ((x-a)2=0) से (x=a) मिलता है। / (\(x-\sqrt{11}\)2=0), so the repeated root is \(\sqrt{11}\). In exams, ((x-a)2=0) gives (x=a).
(\(x+\sqrt{7}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(-\sqrt{7}\) है। परीक्षा में ((x+a)2=0) से (x=-a) मिलता है। / (\(x+\sqrt{7}\)2=0), so the repeated root is \(-\sqrt{7}\). In exams, ((x+a)2=0) gives (x=-a).
(\(x-\sqrt{5}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(\sqrt{5}\) है। परीक्षा में ((x-a)2=0) से (x=a) मिलता है। / (\(x-\sqrt{5}\)2=0), so the repeated root is \(\sqrt{5}\). In exams, ((x-a)2=0) gives (x=a).
(\(x+\sqrt{3}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(-\sqrt{3}\) है। परीक्षा में ((x+a)2=0) से (x=-a) मिलता है। / (\(x+\sqrt{3}\)2=0), so the repeated root is \(-\sqrt{3}\). In exams, ((x+a)2=0) gives (x=-a).
((7x-3)2=0), इसलिए (7x-3=0) और \(x=\frac{3}{7}\) है। परीक्षा में वर्ग रूप के बाद रैखिक समीकरण हल करें। / ((7x-3)2=0), so (7x-3=0) and \(x=\frac{3}{7}\). In exams, solve the linear equation after square form.
((6x-5)2=0), इसलिए (6x-5=0) और \(x=\frac{5}{6}\) है। परीक्षा में दोहराए हुए मूल को सही भिन्न में लिखें। / ((6x-5)2=0), so (6x-5=0) and \(x=\frac{5}{6}\). In exams, write the repeated root as a correct fraction.
((5x-2)2=0), इसलिए (5x-2=0) और \(x=\frac{2}{5}\) है। परीक्षा में वर्ग रूप के बाद रैखिक समीकरण हल करें। / ((5x-2)2=0), so (5x-2=0) and \(x=\frac{2}{5}\). In exams, solve the linear equation after square form.
((4x-3)2=0), इसलिए (4x-3=0) और \(x=\frac{3}{4}\) है। परीक्षा में दोहराए हुए मूल को भी सही भिन्न में लिखें। / ((4x-3)2=0), so (4x-3=0) and \(x=\frac{3}{4}\). In exams, write the repeated root as a correct fraction.
((3x-5)2=0), इसलिए (3x-5=0) और \(x=\frac{5}{3}\) है। परीक्षा में वर्ग रूप के बाद रैखिक समीकरण हल करें। / ((3x-5)2=0), so (3x-5=0) and \(x=\frac{5}{3}\). In exams, solve the linear equation after square form.
((2x-3)2=0), इसलिए (2x-3=0) और \(x=\frac{3}{2}\) है। परीक्षा में दोहराए हुए मूल को भी सही मान से लिखें। / ((2x-3)2=0), so (2x-3=0) and \(x=\frac{3}{2}\). In exams, write the repeated root with the correct value.
((x+9)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल (-9) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग समीकरण में दोनों मूल समान होते हैं। / ((x+9)2=0), so the repeated root is (-9). In exams, a perfect square equation has equal roots.
\(x^2+14x+49=(x+7)^2\), इसलिए \((x+7)^2=0\) से \(x=-7\) मिलता है। यही मूल दो बार आता है, इसलिए यह दोहरा मूल है। ध्यान रखें: \((x+a)^2=0\) का मूल \(x=-a\) होता है; अतः \(x=7\) सही नहीं है। / Since \(x^2+14x+49=(x+7)^2\), the equation becomes \((x+7)^2=0\), giving \(x=-7\). This root occurs twice, so it is the repeated root. Exam tip: for \((x+a)^2=0\), the root is \(x=-a\), not \(x=a\).
((x-6)2=0), इसलिए दोनों समान मूल (x=6) हैं। परीक्षा में पूर्ण वर्ग समीकरण में दोहराया हुआ मूल मिलता है। / ((x-6)2=0), so both equal roots are (x=6). In exams, a perfect square equation gives a repeated root.
(x-2-6x+9=(x-3)2), इसलिए दोहराया हुआ मूल (3) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग में दोनों मूल समान होते हैं। / (x-2-6x+9=(x-3)2), so the repeated root is (3). In exams, a perfect square gives equal roots.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में यहाँ \(a=1\), \(b=-22\) और \(c=121\) हैं। मूलों का योग \(-b/a=22\) तथा गुणनफल \(c/a=121\) होता है। वास्तव में, \(x^2-22x+121=(x-11)^2\), इसलिए दोनों मूल 11 हैं। विकल्प B में योग का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: योग के लिए \(-b/a\) और गुणनफल के लिए \(c/a\) याद रखें। / For the standard form \(ax^2+bx+c=0\), we have \(a=1\), \(b=-22\), and \(c=121\). The sum of the roots is \(-b/a=22\), and their product is \(c/a=121\). In fact, \(x^2-22x+121=(x-11)^2\), so both roots are 11. Option B has the wrong sign for the sum. Exam tip: use \(-b/a\) for the sum and \(c/a\) for the product.
दिया गया समीकरण \(25x^2-10x+1=(5x-1)^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए \(5x-1=0\), जिससे \(x=\frac{1}{5}\) प्राप्त होता है। यही दोहराया हुआ मूल है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पूर्ण वर्ग या \(D=0\) की पहचान करना सबसे तेज़ तरीका है। / The equation can be factorised as \(25x^2-10x+1=(5x-1)^2=0\). Thus, \(5x-1=0\), giving \(x=\frac{1}{5}\). This is the repeated root. In an exam, identifying a perfect square or checking that the discriminant is zero is the quickest approach.
दिए गए गुणांकों से समीकरण \(x^2-20x+100=0\) प्राप्त होता है। यह \((x-10)^2=0\) के बराबर है, इसलिए इसका एक ही दोहराया हुआ मूल \(x=10\) है; अतः दोनों मूल 10 और 10 हैं। विकल्प B में मूलों का योग गलत दिशा में चला जाता है। परीक्षा-युक्ति: जब विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) हो, तो दोनों मूल समान होते हैं। / Using the given coefficients, the equation is \(x^2-20x+100=0\), which factors as \((x-10)^2=0\). Hence the equation has one repeated root, \(x=10\), so both roots are 10 and 10. Option B has the wrong sign for the roots. Exam tip: when the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero, the two roots are equal.
दिए गए गुणांकों से समीकरण \(x^2-10x+25=0\) प्राप्त होता है। इसका गुणनखंडन \((x-5)^2=0\) है, इसलिए दोनों मूल 5 हैं। विकल्प B में चिह्न गलत है; \((-5)^2\) वाला रूप मध्य पद \(+10x\) देगा। परीक्षा-युक्ति: यदि विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) हो, तो दोनों मूल समान होते हैं। / Substituting the coefficients gives \(x^2-10x+25=0\). Factoring it as \((x-5)^2=0\) shows that both roots are 5. Option B has the wrong sign; \((x+5)^2\) would produce a middle term of \(+10x\). Exam tip: when the discriminant \(D=b^2-4ac=0\), the two roots are equal.
\(x^2+16x+64=(x+8)^2\) है। इसलिए \((x+8)^2=0\), जिससे \(x=-8\) प्राप्त होता है और दोनों मूल \((-8,-8)\) हैं। विकल्प A में चिह्न की गलती है। परीक्षा-युक्ति: यदि द्विघात व्यंजक पूर्ण वर्ग हो, तो उसका दोहरा मूल सीधे निकाला जा सकता है। / Since \(x^2+16x+64=(x+8)^2\), the equation becomes \((x+8)^2=0\). Hence \(x=-8\), so both roots are \((-8,-8)\). Option A results from an incorrect sign. Exam tip: when a quadratic is a perfect square, its repeated root can be found directly by setting the squared factor equal to zero.
समीकरण को \(x^2-12x+36=(x-6)^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \((x-6)^2=0\), इसलिए मूल \(x=6\) है और यही दोहराया हुआ मूल है। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग वाले द्विघात समीकरण में वर्ग के अंदर के पद को शून्य करके मूल ज्ञात करें। / The equation can be written as \(x^2-12x+36=(x-6)^2\). Thus, \((x-6)^2=0\), giving \(x=6\), which is the repeated root. Exam tip: In a perfect-square quadratic equation, set the expression inside the square equal to zero to find the repeated root.
\(x^2+14x+49\) को गुणा करके लिखने पर \((x+7)^2\) मिलता है, इसलिए समीकरण \((x+7)^2=0\) का एकमात्र (दोहराया) मूल \(-7\) है। डिस्क्रिमिनेंट की जांच से भी: \(b^2-4ac=14^2-4\cdot1\cdot49=196-196=0\), जिससे स्पष्ट है कि समान दोहरे मूल हैं। विकल्प A (7) गलत है क्योंकि वह \((x-7)^2\) के लिए होगा; C और D तर्कसंगत नहीं हैं क्योंकि वे दिए हुए अभिव्यक्ति से मेल नहीं खाते। परीक्षा सुझाव: त्रिक रूप में गुणा कर के या डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac\) देख कर दोहरा मूल तुरंत पहचानें। / Factorizing \(x^2+14x+49\) gives \((x+7)^2\), so the equation \((x+7)^2=0\) has the single repeated root \(-7\). Checking the discriminant: \(b^2-4ac=14^2-4\cdot1\cdot49=0\) confirms one repeated root. Option A (7) would correspond to \((x-7)^2\) and is therefore incorrect; options C and D do not satisfy the given quadratic. Exam tip: either factor into a perfect square or compute the discriminant to quickly detect a repeated root.
यह द्विघात समीकरण पूर्ण वर्ग है क्योंकि \(x^2+12x+36=(x+6)^2\)। इसलिए दोनों मूल समान हैं और प्रत्येक मूल \(-6\) है। इसे गुणनखंडों से या बहुपद के गुणांक द्वारा जाँच सकते हैं: विमर्शक (discriminant) \(b^2-4ac=12^2-4\cdot1\cdot36=144-144=0\), जिससे द्वितीयक मूल (double root) निकलता है। विकल्प A (6,6) आम साइन की गलती है — यहाँ ऋणात्मक ही सही है क्योंकि गुणनखंड \(x+6\) है। परीक्षात्मक सुझाव: किसी भी द्विघात के लिए पहले पूरी तरह गुणनफल की जाँच करें और साथ में विमर्शक \(b^2-4ac\) का मान देख लें; यदि शून्य हो तो दोगुना मूल होगा। / The quadratic is a perfect square: \(x^2+12x+36=(x+6)^2\). Hence both roots are equal and each root is \(-6\). You can also use the discriminant: \(b^2-4ac=12^2-4\cdot1\cdot36=144-144=0\), which confirms a repeated (double) root. Option A (6,6) is a sign error — the correct factor is \(x+6\), not \(x-6\). Exam tip: try factoring first; if unclear compute the discriminant — zero indicates a repeated root.
समीकरण \(7x^2=0\) को 7 से भाग देने पर \(x^2=0\) मिलता है। यह बराबर \(x^2=(x-0)^2\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए \(x=0\) दोहरा (मल्टीप्लिसिटी 2) मूल है। डिस्क्रिमिनेन्ट के द्वारा भी: सामान्य रूप \(ax^2+bx+c\) में यहाँ \(a=7,b=0,c=0\) है और \(b^2-4ac=0^2-4\cdot7\cdot0=0\) जो दोहरे मूल को दर्शाता है। विकल्प C निकटतम भ्रमित करने वाला है पर गलत है क्योंकि \(x=7\) पर \(7\cdot7^2=343\neq0\)। परीक्षा टिप: किसी भी द्विघात का दोहरा मूल तात्कालिक रूप से डिस्क्रिमिनेन्ट \(=0\) से जाँचा जा सकता है या समीकरण को गुणनखण्ड में लिखकर परखा जा सकता है। / Dividing \(7x^2=0\) by 7 gives \(x^2=0\). This is \((x-0)^2\), so \(x=0\) is a repeated root (multiplicity 2). Using coefficients \(a=7,b=0,c=0\), the discriminant is \(b^2-4ac=0^2-4\cdot7\cdot0=0\), confirming a double root. The closest distractor C is wrong because substituting \(x=7\) gives \(7\cdot7^2=343\ne0\). Exam tip: check the discriminant or factor out common terms to quickly identify repeated roots.
समीकरण को वर्ग पूर्ण स्वरूप में लिखें: \(x^2-8x+16=(x-4)^2\)। इसलिए \((x-4)^2=0\) से मूल \(x=4\) आएगा और यह दोहराया हुआ (double) मूल है। वैकल्पिक तरीका: व्युत्पन्न (discriminant) देखें: \(\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot16=64-64=0\) — जब \(\Delta=0\) होता है तो द्वि-घातीय समीकरण का एक दोहराया मूल होता है। निकट का विकल्प \(-4\) गलत है क्योंकि उसमें समीकरण शून्य नहीं बनता (\((-4)^2-8(-4)+16=64\)). परीक््षा युक्ति: किसी भी द्वि-घातीय समीकरण में जल्दी जांच के लिए पहले उसे फैक्टर करें या \(\Delta\) की गणना करें — \(\Delta=0\) होने पर मूल दोहराया होगा। / Factor the quadratic: \(x^2-8x+16=(x-4)^2\). Hence \((x-4)^2=0\) gives the repeated root \(x=4\). Alternatively compute the discriminant: \(\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot16=0\), and \(\Delta=0\) indicates a double root. The closest distractor \(-4\) is incorrect because substituting \(-4\) does not satisfy the equation (it gives 64). Exam tip: either factor into a perfect square or check the discriminant; if \(\Delta=0\) the root is repeated.
समीकरण को गुणा करने पर \(x^2-10x+25=(x-5)^2\) बनता है, इसलिए समीकरण का दोहराया (repeated) मूल \(5\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प A, यानी \(-5\), केवल तब सही होता यदि बहुपद \((x+5)^2\) होता; यहाँ संकेत उल्टा है। एक त्वरित परिक्षण युक्ति: यदि विवर्तक (discriminant) \(b^2-4ac=100-100=0\) होता है तो एक ही दोहराया मूल मिलेगा। / The polynomial factors as \(x^2-10x+25=(x-5)^2\), so the repeated root is \(5\). The closest distractor, \(-5\), would be correct only if the factor were \((x+5)^2\), which it is not. Quick exam tip: check for a perfect square or compute the discriminant \(b^2-4ac\); if it equals zero you have a repeated root.
समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(x^2+6x+9=(x+3)^2\)। इसलिए \((x+3)^2=0\) से एक ही मूल आता है, \(x=-3\) (दोहराया हुआ मूल)। विकर्णांक \(\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0\) भी एक-दोहराव वाला मूल दर्शाता है। विकल्प A में साइन उल्टा है, विकल्प C और D से व्युत्पन्न जोड़े के गुणन और योग इस समीकरण के साथ मेल नहीं खाते। परीक्षा-सूत्र: यदि \(\Delta=0\) हो तो द्विघात समीकरण का द्वैतिक मूल दोहरा होता है। / Factor the quadratic: \(x^2+6x+9=(x+3)^2\). Hence \((x+3)^2=0\) gives the repeated root \(x=-3\). The discriminant \(\Delta=b^2-4ac=36-36=0\) confirms a double root. Option A is the sign-mistake counterpart; options C and D do not satisfy the sum and product required by the coefficients. Exam tip: check \(\Delta\) first—if it is zero, the equation has one repeated root.
समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है: \(x^2+2x+1=(x+1)^2\)। इसलिए \((x+1)^2=0\) से मूल \(x=-1\) दोहरा (गुणांक 2) है। नज़दीकी भ्रांति है \(1\), जो \((x-1)^2\) से जुड़ा होगा (लेकिन वह समीकरण \(x^2-2x+1\) देता है)। परीक्षा-सूत्र: यदि वर्णांकों पर विचार करें तो डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac=4-4=0\) आने पर मूल दोहरा होता है। / Factor the quadratic: \(x^2+2x+1=(x+1)^2\). Thus \((x+1)^2=0\) gives the double root \(x=-1\). A common mistake is choosing \(1\), which would correspond to \((x-1)^2\) and the polynomial \(x^2-2x+1\). Exam tip: check either factorisation or compute the discriminant \(b^2-4ac\); if it equals 0, the quadratic has a repeated root.
