Class 10 repeated-root MCQ Questions

Question 31/36 Hard Mathematics Polynomials Irrational numbers and real numbers Class 10 Level 26

यदि \(p(x)=x^2+2\sqrt{3}x+3\) हो, तो इसके शून्यक क्या हैं?

If \(p(x)=x^2+2\sqrt{3}x+3\), what are its zeros?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(-\sqrt{3}\) दो बार\(-\sqrt{3}\) twice

Explanation

Simple Explanation

यह द्विघात बहुपद एक पूर्ण वर्ग है क्योंकि \(p(x)=(x+\sqrt{3})^2\)। अल्जेब्रिक रूप से विवरण के द्वारा: गुणनफल कराने पर \((x+\sqrt{3})^2=x^2+2\sqrt{3}x+3\) मिलता है, इसलिए केवल शून्यक \(x=-\sqrt{3}\) है और वह द्वैत्य (दोहराया) है। डिस्क्रिमिनेंट से भी पुष्टि होती है: \(\Delta=b^2-4ac=(2\sqrt{3})^2-4\cdot1\cdot3=12-12=0\), अतः एक पुनरावृत्त वास्तविक शून्यक। सबसे नज़दीकी विकल्‍प \(\sqrt{3}\) गलत है क्योंकि संकेत उल्टा होना चाहिए। परीक्षा-सुझाव: डिस्क्रिमिनेंट \(\Delta=0\) होने पर तुरंत समझें कि बहुपद का शून्यक पुनरावृत्त होगा। / The quadratic is a perfect square: \(p(x)=(x+\sqrt{3})^2\). Expanding gives \((x+\sqrt{3})^2=x^2+2\sqrt{3}x+3\), so the only root is \(x=-\sqrt{3}\) with multiplicity two. Using the discriminant: \(\Delta=(2\sqrt{3})^2-4\cdot1\cdot3=12-12=0\), confirming a repeated real root. The closest distractor \(\sqrt{3}\) is wrong due to the sign. Exam tip: if \(\Delta=0\) or you can complete the square, expect a double root and compute \(-b/2a\).

Open Question Page

Question 32/36 Hard Mathematics Polynomials Irrational numbers and real numbers Class 10 Level 26

यदि \(p(x)=x^2-2\sqrt{7}x+7\) है, तो इसके शून्यकों की संख्या और प्रकृति क्या है?

If \(p(x)=x^2-2\sqrt{7}x+7\), what is the number and nature of its zeroes?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एक ही अपरिमेय शून्यक पुनरावृत्त दो बारOne irrational zero repeated twice

Explanation

Simple Explanation

पहला तरीका: पूर्ण वर्ग बनाएं—\(p(x)=x^2-2\sqrt{7}x+7=(x-\sqrt{7})^2\)। इसलिए शून्यक \(x=\sqrt{7}\) है और यह दोहराया हुआ (double) है। वैकल्पिक रूप से डिस्क्रिमिनेंट से जाँच करें: \(\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{7})^2-4\cdot1\cdot7=28-28=0\)। \(\Delta=0\) होने पर द्विघात का एक वास्तविक सम-दोहराया शून्यक होता है। इसलिए विकल्प B गलत है क्योंकि \(\Delta\) शून्य है (दो अलग शून्यक नहीं), C गलत है क्योंकि शून्यक \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है, और D गलत है क्योंकि वास्तविक शून्यक मौजूद है। परीक्षा-सुझाव: पहले डिस्क्रिमिनेंट देखें—\(\Delta=0\) होने पर तुरंत पता चल जाता है कि शून्यक दोहराया हुआ है। / Complete the square: \(p(x)=x^2-2\sqrt{7}x+7=(x-\sqrt{7})^2\). Hence the root is \(x=\sqrt{7}\), occurring twice (a double root). Using the discriminant: \(\Delta=b^2-4ac =(-2\sqrt{7})^2-4\cdot1\cdot7=28-28=0\). \(\Delta=0\) implies one real repeated root. Thus B is wrong because \(\Delta\neq>0\) so roots are not distinct; C is wrong because the root is irrational (\(\sqrt{7}\)), and D is wrong because a real root does exist. Exam tip: compute \(\Delta\) first—\(\Delta=0\) immediately indicates a repeated real root; factorization gives the exact value.

Open Question Page

Question 33/36 Hard Mathematics Polynomials Irrational numbers and real numbers Class 10 Level 28

यदि \(p(x)=x^2-2\sqrt{5}x+5\) है, तो इसके शून्यकों के बारे में कौन सा कथन सही है?

If \(p(x)=x^2-2\sqrt{5}x+5\), which statement about its zeroes is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. दोनों शून्यक \(\sqrt{5}\) हैंBoth zeroes are \(\sqrt{5}\)

Explanation

Simple Explanation

यह द्विघात बहुपद पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है: \(x^2-2\sqrt{5}x+5=(x-\sqrt{5})^2\)। इसलिए गुणनखंड के दोनों रूप एक जैसे हैं और शून्यक दोहरा है, अर्थात् दोनों शून्यक \(\sqrt{5}\) ही हैं। निकटतम विक्षेप (option C) गलत इसलिए कि बहुपद का भिन्न-भिन्न शून्यक नहीं है; विकल्प D भी गलत क्योंकि वास्तविक शून्यक मौजूद हैं। परीक्षा-सुझाव: द्विघात का द्विघातम (discriminant) \(b^2-4ac\) निकालें — यदि शून्य आए तो पुनरावर्ती शून्यक मिलेगा। / The quadratic factors as \(x^2-2\sqrt{5}x+5=(x-\sqrt{5})^2\). Hence the root \(\sqrt{5}\) has multiplicity two and both zeroes equal \(\sqrt{5}\). The closest distractor (option C) is wrong because the polynomial does not have two distinct roots; option D is wrong because the discriminant is zero, so a real repeated root exists. Exam tip: compute the discriminant \(b^2-4ac\); if it equals zero, the quadratic has a repeated real root.

Open Question Page

Question 34/36 Medium Mathematics Polynomials Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Class 10 Level 24

यदि \(p(x)=x^2-10x+25\) है, तो इसका ग्राफ x-अक्ष को किस प्रकार मिलेगा?

If \(p(x)=x^2-10x+25\), how does its graph meet the x-axis?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(x=5\) पर स्पर्श करेगाIt will touch at \(x=5\)

Explanation

Simple Explanation

\(p(x)=x^2-10x+25\) को गुणा रूप में लिखें: \(p(x)=(x-5)^2\). यह दिखता है कि मूल्‍य \(x=5\) की आवृत्ति (multiplicity) 2 है — एक ही शून्यक दोहराया हुआ है। इसलिए परवलय x-अक्ष को एक बिंदु पर स्पर्श करेगा पर उससे क्रॉस नहीं करेगा। निकटतम गलत विकल्प \(C\) इसलिए गलत है क्योंकि दो अलग बिंदुओं पर कटने के लिए दो विभिन्‍न वास्तविक शून्य होने चाहिए (discriminant>0)। परीक्षात्मक टिप: किसी द्विघात का discriminant \(b^2-4ac\) शून्य हो तो जड़ पुनरावृत्ति होती है और ग्राफ स्पर्श करता है। / Factorize: \(p(x)=x^2-10x+25=(x-5)^2\). The root \(x=5\) has multiplicity 2 (a repeated zero), so the parabola touches the x-axis at a single point and does not cross it. Closest distractor C is incorrect because cutting at two distinct points requires two distinct real roots (discriminant > 0). Exam tip: if the discriminant \(b^2-4ac=0\), the quadratic has a repeated root and the graph is tangent to the x-axis.

Open Question Page

Question 35/36 Easy Mathematics Polynomials Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Class 10 Level 24

बहुपद \(p(x)=x^2\) का ग्राफ x-अक्ष से कैसे मिलता है?

How does the graph of \(p(x)=x^2\) meet the x-axis?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. मूल \(x=0\) पर स्पर्श करता हैIt touches the x-axis at the origin \(x=0\)

Explanation

Simple Explanation

\(p(x)=x^2\) का शून्य तब मिलता है जब \(x^2=0\), अर्थात् \(x=0\) मात्र। यह जड़ दोहरायी हुई (multiplicity 2) है, इसलिए परबोला x-अक्ष को काटकर पार नहीं होता बल्कि उसी बिंदु पर स्पर्श कर लौटता है (vertex पर)। विकल्प B गलत है क्योंकि दो अलग शून्य होने पर परबोला x-अक्ष को दो स्थानों पर काटती, पर यहाँ परिणाम एक ही शून्य है। विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=1\) शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद की जड़ों की गुणिता (multiplicity) देखकर तय करें कि ग्राफ x-अक्ष को 'छेदता' है या 'स्पर्श' करता है। / Solve \(x^2=0\) to find zeros: the only root is \(x=0\), with multiplicity 2. A repeated root of even multiplicity means the parabola touches (is tangent to) the x-axis at that point and does not cross it. Option B is incorrect because two distinct real roots would be required to cut the axis at two points (discriminant > 0), which is not the case here. Option D is wrong since \(x=1\) is not a root. Exam tip: check factorization or discriminant and note root multiplicities to determine whether the graph crosses or merely touches the x-axis.

Open Question Page

Question 36/36 Easy Mathematics Polynomials Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Class 10 Level 23

यदि किसी परवलय का शीर्ष (-2, 0) पर स्थित है और वह x-अक्ष को उसी बिंदु पर स्पर्श करती है, तो उसका शून्यक क्या होगा?

If a parabola has its vertex at (-2, 0) and it touches the x-axis at that point, what is its zero?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. -2

Explanation

Simple Explanation

किसी घनात्मक बहुपद (parabola) का शून्यक वह x-मूल (x-coordinate) है जहाँ वह x-अक्ष से मिलता है। यहाँ पर परवलय केवल बिंदु (-2,0) पर x-अक्ष को स्पर्श कर रही है, जिसका अर्थ है कि वही एकमात्र वास्तविक शून्यक है (मल्टीप्लिसिटी 2 — दोहरा शून्यक)। इसलिए शून्यक -2 है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे दिए हुए बिंदु के x-निर्देशांक से मेल नहीं खाते; विकल्प D गलत है क्योंकि स्पर्श करने पर दो अलग वास्तविक शून्यक नहीं होते बल्कि एक दोहरा शून्यक होता है। परीक्षा टिप: यदि परवलय x-अक्ष को अपने शीर्ष पर स्पर्श करती है तो शून्यक सीधे शीर्ष के x-निर्देशांक के बराबर होता है। / The zero of a parabola is the x-coordinate where it meets the x-axis. Since the parabola meets (touches) the x-axis only at (-2,0), that x-value is the only real zero; touching means a repeated root (multiplicity 2) at x = -2. Thus the correct zero is -2. Options B and C are incorrect because their x-values do not match the given point; option D is incorrect because touching gives one repeated zero, not two distinct zeros. Exam tip: when a parabola touches the x-axis at its vertex, the x-coordinate of the vertex is the zero (a double root).

Open Question Page

repeated-root MCQ Questions for Class 10

Practice Questions

यदि \(p(x)=x^2+2\sqrt{3}x+3\) हो, तो इसके शून्यक क्या हैं?

Simple Explanation

यदि \(p(x)=x^2-2\sqrt{7}x+7\) है, तो इसके शून्यकों की संख्या और प्रकृति क्या है?

Simple Explanation

यदि \(p(x)=x^2-2\sqrt{5}x+5\) है, तो इसके शून्यकों के बारे में कौन सा कथन सही है?

Simple Explanation

यदि \(p(x)=x^2-10x+25\) है, तो इसका ग्राफ x-अक्ष को किस प्रकार मिलेगा?

Simple Explanation

बहुपद \(p(x)=x^2\) का ग्राफ x-अक्ष से कैसे मिलता है?

Simple Explanation

यदि किसी परवलय का शीर्ष (-2, 0) पर स्थित है और वह x-अक्ष को उसी बिंदु पर स्पर्श करती है, तो उसका शून्यक क्या होगा?

Simple Explanation

repeated-root Revision Links

All MCQ Tags

All Subjects

Search repeated-root

repeated-root MCQ Questions for Class 10

Practice Questions

यदि \(p(x)=x^2+2\sqrt{3}x+3\) हो, तो इसके शून्यक क्या हैं?

Simple Explanation

यदि \(p(x)=x^2-2\sqrt{7}x+7\) है, तो इसके शून्यकों की संख्या और प्रकृति क्या है?

Simple Explanation

यदि \(p(x)=x^2-2\sqrt{5}x+5\) है, तो इसके शून्यकों के बारे में कौन सा कथन सही है?

Simple Explanation

यदि \(p(x)=x^2-10x+25\) है, तो इसका ग्राफ x-अक्ष को किस प्रकार मिलेगा?

Simple Explanation

बहुपद \(p(x)=x^2\) का ग्राफ x-अक्ष से कैसे मिलता है?

Simple Explanation

यदि किसी परवलय का शीर्ष (-2, 0) पर स्थित है और वह x-अक्ष को उसी बिंदु पर स्पर्श करती है, तो उसका शून्यक क्या होगा?

Simple Explanation

repeated-root Revision Links

All MCQ Tags

All Subjects

Search repeated-root

Login to view answers