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A. बहुपद का मान \(P(x)\)/Value of the polynomial \(P(x)\)
Explanation
Simple Explanation
यदि किसी बहुपद के लिए कोई मान \(x=a\) शून्यक है तो बहुपद का मान वहाँ पर \(P(a)=0\) होगा। इसलिए शून्यक पहचानने के लिए बहुपद का मान शून्य होना आवश्यक है। स्थिर पद (option D) कभी-कभी शून्य हो सकता है पर यह आवश्यक शर्त नहीं है — उदाहरण के लिए \(P(x)=x-1\) का स्थिर पद \(-1\) है पर शून्यक \(x=1\) है। चर के गुणांक या घातांक का शून्य होना शून्यक की परिभाषा नहीं बताता। परीक्षा-सुझाव: ग्राफ पर शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ \(y=0\) अर्थात x-अक्ष से मिलान होता है; सीधे x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु खोजें। / For a number \(x=a\) to be a root of a polynomial we must have \(P(a)=0\). Thus the value of the polynomial at that x must be zero, so option A is correct. The constant term (option D) may be zero in some polynomials but it is not a necessary condition (e.g. \(P(x)=x-1\) has constant term \(-1\) yet root at \(x=1\)). Coefficients or exponents being zero do not by themselves indicate a root. Exam tip: on the graph, roots are the x-intercepts where \(y=0\); read off x-coordinates of those intercepts.
शून्यक (x)-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (-4) और (1) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the points where the graph cuts the (x)-axis. Hence the zeroes are (-4) and (1).
x-अक्ष के साथ जो बिंदु साझा किया गया है वह (6,0) है; यहाँ y = 0 और x का मान 6 है। बहुपद के वास्तविक शून्यक वे x‑मान होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y‑मान शून्य होता है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक 6 है। सबसे पास का भ्रामक विकल्प −6 है — यह गलत है क्योंकि दिया गया बिंदु x = −6 नहीं बल्कि x = 6 है। परीक्षा टिप: किसी भी बिंदु (a,0) को देखकर तुरंत लिखें कि a बहुपद का एक शून्यक है। / The given intersection point is (6,0); here y = 0 and the x‑coordinate is 6. Zeros of a polynomial are the x‑values where the graph meets the x‑axis (y = 0). Hence the distinct real zero is 6. The closest distractor −6 is incorrect because the x‑coordinate is positive 6, not −6; 0 is incorrect because that would mean the intersection is (0,0), which is not given; “कोई नहीं” (none) is wrong since an intersection at (6,0) is explicitly given. Exam tip: From any x‑intercept (a,0) immediately read off the root a — don’t confuse sign.
\(p(9)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=9\) होता है तो बहुपद का मान \(y=0\) है। इसलिए ग्राफ x-अक्ष को \(x=9\) पर काटेगा, यानी बिंदु \((9,0)\) से गुजरेगा। अन्य विकल्प गलत हैं: \((-9,0)\) में x का चिह्न उल्टा है, \((0,9)\) में x और y बदले हुए हैं और \((9,9)\) में y शून्य नहीं है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी जड़ (zero) को x-अक्ष पर इंटरसेप्ट के रूप में लिखें — अगर \(p(a)=0\) हो तो बिंदु \((a,0)\) होगा। / \(p(9)=0\) means the polynomial takes value zero when \(x=9\), so \(y=0\) at that x. Hence the graph meets the x-axis at \((9,0)\). Why others are wrong: \((-9,0)\) has the wrong sign for x, \((0,9)\) swaps x and y, and \((9,9)\) does not have y=0. Exam tip: a root \(p(a)=0\) always corresponds to the x-intercept \((a,0)\).
एक बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिस पर \(p(x)=0\) होता है. यहाँ दिया है कि \(p(-3)=0\), अतः \(-3\) पर बहुपद का मान शून्य है, यानी \(-3\) शून्यक (root) है. निकटतम भ्रामक विकल्प \(3\) गलत है क्योंकि केवल \(-3\) के लिए ही मूल्य शून्य होने का दावा किया गया है; \(3\) के लिए ऐसा होना आवश्यक नहीं है। परिक्षा-सुझाव: किसी दिए हुए मान के लिए \(p(मान)\) निकालकर चेक करें — यदि परिणाम शून्य हो तो वही शून्यक है। / A zero (root) of a polynomial is an x-value for which \(p(x)=0\). Since \(p(-3)=0\) is given, \(-3\) is a root of the polynomial. The closest distractor, 3, is incorrect because the condition is satisfied only at \(-3\) as stated; there is no information that \(p(3)=0\). Exam tip: To identify a root, substitute the candidate value into \(p(x)\) — if the result is zero, it is a root.
A. क्योंकि शून्यक के लिए (y=0) चाहिए/Because a zero needs (y=0)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (x)-अक्ष से जुड़े होते हैं जहाँ (y=0) होता है। (y)-अक्ष से कटाव केवल (x=0) पर बहुपद का मान बताता है। / Zeroes are linked to the (x)-axis where (y=0). A (y)-axis intersection only shows the value of the polynomial at (x=0).
हर अलग (x)-अक्ष कटाव एक वास्तविक शून्यक देता है। इसलिए तीन अलग कटावों से तीन वास्तविक शून्यक मिलेंगे। / Each distinct intersection with the (x)-axis gives one real zero. Therefore three distinct intersections give three real zeroes.
वास्तविक शून्यक तभी मिलते हैं जब ग्राफ (x)-अक्ष से मिले। साझा बिंदु न होने पर वास्तविक शून्यक (0) होंगे। / Real zeroes are found only when the graph meets the (x)-axis. With no common point, there are (0) real zeroes.
छूना भी (x)-अक्ष से मिलना है, लेकिन बिंदु केवल एक है। इसलिए एक वास्तविक शून्यक होगा। / Touching also means meeting the (x)-axis, but there is only one point. Hence there is one real zero.
किसी बहुपद या परवलय के शून्यक वे x-निर्देशांक होते हैं जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है (y = 0)। दिए गए कटाव बिंदु (-5, 0) और (2, 0) के x-निर्देशांक क्रमशः -5 और 2 हैं, इसलिए शून्यक -5 और 2 हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि संकेत उल्टे दिए गए हैं (5 और -2)। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि इनमें एक शून्य (0) शामिल किया गया है जो वास्तविक कटाव बिंदुओं का x-निर्देशांक नहीं है। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के पहले घटक (x-कोऑर्डिनेट) ही शून्यक होते हैं। / The zeroes (roots) of a polynomial/ parabola are the x-coordinates where the graph meets the x-axis (y = 0). From the intercepts (-5, 0) and (2, 0), the x-coordinates are -5 and 2, so the zeroes are -5 and 2. Option B is incorrect because the signs are reversed (5 and -2). Options C and D are incorrect because they include 0, which is not the x-coordinate of the given intercepts. Exam tip: read off the x-values of x-axis intersection points to get the zeroes directly.
बिंदु \((a,0)\) ग्राफ पर होने का अर्थ है कि जब x=a होगा तो y का मान 0 होगा। बहुपद के ग्राफ पर y का मान \(p(x)\) है, अतः \(p(a)=0\)। विकल्प B (a) ग़लत है क्योंकि x का मान (a) होना यह नहीं दर्शाता कि बहुपद की मान वही होगा — y मान अलग होता है; विकल्प C और D भी स्पष्ट रूप से गलत हैं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर आने वाले किसी भी बिंदु की y-कोऑर्डिनेट हमेशा 0 होती है, इसलिए सीधे \(p(a)=0\) देख लें। / The point \((a,0)\) on the graph means that for x=a the y-value is 0. Since the graph represents y = \(p(x)\), we have \(p(a)=0\). Option B (a) is wrong because the x-coordinate being a does not imply the function value equals a; options C and D are also incorrect. Exam tip: any x-intercept has y = 0, so substitute x = a into \(p(x)\) to get \(p(a)=0\).
किसी भी संख्या a के लिए वह शून्यक तभी होगी जब \(p(a)=0\)। यहाँ हम a=0 पर देखते हैं: दिया है \(p(0)=4\), जो कि शून्य नहीं है; इसलिए 0 शून्यक नहीं है। विकल्प C सामान्य शर्त सही बताता है (यदि स्थायी पद = \(p(0)\) शून्य हो तो 0 शून्यक होगा), पर दिया हुआ मान इसका उल्टा दर्शाता है। विकल्प D गलत है क्योंकि किसी भी डिग्री के बहुपद के लिए शून्यक की परिभाषा एक समान रहती है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी प्रत्याशित शून्यक a के लिए सीधे बहुपद में a रखकर \(p(a)\) की गणना करें — यदि परिणाम 0 आया तभी वह शून्यक है। / A number a is a root of a polynomial exactly when \(p(a)=0\). Here for a=0 we have \(p(0)=4\), which is not zero, so 0 is not a root. Option C describes the correct general condition (the constant term equals \(p(0)\) must be zero), but given \(p(0)=4\) that condition is not met. Option D is incorrect because root-criterion does not depend on the polynomial being linear. Exam tip: To test if x=a is a root, substitute a into \(p(x)\) and check whether the value equals 0.
x-अक्ष पर छेदन बिंदु पर \(y=0\) होता है। अतः \(3x-12=0\) से \(3x=12\) और \(x=4\) प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प \(-4\) गलत है क्योंकि उस मान पर \(y=3(-4)-12=-24\), जो कि 0 नहीं है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प 3 है — पर \(x=3\) पर \(y=3(3)-12=-3\) भी 0 नहीं है। परीक्षा-सुझाव: x-अक्ष पर छेदन खोजने के लिए हमेशा रेखा में \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें। / The x-intercept occurs where \(y=0\). Setting \(3x-12=0\) gives \(3x=12\) and hence \(x=4\), so 4 is correct. Option \(-4\) is wrong because substituting gives \(y=3(-4)-12=-24\), not 0. The nearby distractor 3 also fails since \(y=3(3)-12=-3\). Exam tip: to find x-intercept, set \(y=0\) and solve for \(x\).
शून्यक वह x-मूल है जहाँ फ़ंक्शन का मान \(y=0\) होता है। इसलिए \(y=0\) रखें: \(0 = x - 8\) जिससे \(x = 8\) मिलता है। ग्राफ़ x-अक्ष को बिंदु \((8,0)\) पर काटता है। सबसे नज़दीकी भ्रमित विकल्प \(-8\) गलत है क्योंकि वह \(x+8=0\) के लिए सही होगा, न कि इस समीकरण के लिए। परीक्षा टिप: किसी रेखा/बहुपद का शून्यक जानने के लिये हमेशा \(y=0\) (या फलन = 0) कर के हल करें। / The zero is the x-value where the function equals \(y=0\). Set \(y=0\): \(0 = x - 8\), so \(x = 8\). The graph intersects the x-axis at \((8,0)\). The closest distractor \(-8\) is incorrect because it would satisfy \(x+8=0\), not \(x-8=0\). Exam tip: To find zeros, always set \(y=0\) (or the polynomial = 0) and solve for x, then check the intersection point on the x-axis.
शून्यक वह x मान है जहाँ रेखा का y मान शून्य होता है। इसलिए \(0 = x + 9\) रखकर हल करने पर \(x = -9\) मिलता है। विकल्प A (9) गलत है क्योंकि यह साइन की उलटी गलती होगी; विकल्प C (0) गलत है क्योंकि \(x=0\) पर \(y=9\) होगा, न कि 0; विकल्प D (18) किसी भी तरह से सही गणना नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी रेखा का x-अवरोध पाने के लिए हमेशा \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें। / The zero (x-intercept) is the x-value where y = 0. Setting \(0 = x + 9\) gives \(x = -9\). Option A (9) is a sign-error; option C (0) is wrong because at \(x=0\) the line gives \(y=9\), not 0; option D (18) is simply incorrect. Exam tip: to find an x-intercept, set \(y=0\) and solve for \(x\).
x‑अक्ष पर स्थित बिंदुओं के लिए \(p(x)=0\) होता है। अतः \(2x+6=0\) से \(2x=-6\) और \(x=-3\)। यह वह ग्राफीय शून्यक (x‑intercept) है। विकल्प B (3) तब गलत होगा जब संकेत बदल दिया जाए (गलती से \(6/2\) कर लिया जाए)। विकल्प D (-6) केवल संख्यात्मक भ्रम है; वह किसी x‑मान का परिणाम नहीं देता जो \(p(x)=0\) बनाए। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का x‑अक्ष पर कटाव निकालने के लिए सीधे \(p(x)=0\) रखें और सरल समीकरण हल करें। / Points on the x-axis satisfy \(p(x)=0\). So set \(2x+6=0\), giving \(2x=-6\) and \(x=-3\). Therefore the graph cuts the x-axis at \(x=-3\). Option B (3) is a sign error (mistakenly taking \(6/2\) without the negative). Option D (-6) is a distractor and does not make \(p(x)=0\). Exam tip: always find x‑intercepts by solving \(p(x)=0\) first, then check your arithmetic signs.
x-अक्ष पर किसी बिंदु (a, 0) का अर्थ है कि बहुपद p(x) का मान x = a पर शून्य है, यानी p(10) = 0। इसलिए 10 बहुपद का शून्यक (root) है। विकल्प D गलत है क्योंकि स्थिर (constant) पद बहुपद का x = 0 पर मान होता है (y-अवरोध), न कि किसी x-अवरोध के x-निर्देशांक। विकल्प B और C भी गलत हैं क्योंकि दिए गए कटाव का x-निर्देशांक 10 है, न कि 0 या −10। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटाव बिंदु का x-निर्देशांक हमेशा उसी बहुपद का शून्यक होता है; सीधे x-निर्देशांक पढ़कर root तय करें। / A point (a, 0) where the graph meets the x-axis means the polynomial p(x) satisfies p(a) = 0. Here p(10) = 0, so 10 is a root (zero) of the polynomial. Option D is incorrect because the constant term is the value of the polynomial at x = 0 (the y-intercept), not the x-coordinate of an x-intercept. Options B and C are wrong since the x-coordinate of the intercept given is 10, not 0 or −10. Exam tip: the x-coordinate of an x-axis intersection gives the root directly — read the coordinate to identify the zero.
किसी बिंदु को शून्यक (root) तब माना जाता है जब उस बिंदु के लिए \(y=0\) हो (यानि ग्राफ \(x\)-अक्ष को छूता/काटता है)। बिंदु \((0,7)\) में \(y=7\) है, अतः \(x=0\) पर बहुपद का मान शून्य नहीं है — इसलिए \(x=0\) शून्यक नहीं है। विकल्प C निकटतम ग़लत विकल्प है क्योंकि \(y\)-अक्ष पर होना केवल यह दर्शाता है कि \(x=0\) है, परंतु शून्यक होने के लिये \(y\) का मान \(0\) होना आवश्यक है। परीक्षा संकेत: किसी संभावित शून्य के लिये हमेशा देखिये कि संबंधित \(y\)-मान \(0\) है या नहीं (या बहुपद में उस \(x\) का मान 0 दीखता है)। / A root means the polynomial's value is zero at that x, i.e. the graph meets the x-axis where \(y=0\). The point \((0,7)\) has \(y=7\), so the polynomial is not zero at \(x=0\); therefore \(x=0\) is not a root. The closest wrong distractor is C: lying on the y-axis only indicates \(x=0\), not that \(y=0\). Exam tip: to test a root substitute the x-value into the polynomial and check whether the result is 0 (or check that the graph is on the x-axis).
x-अक्ष पर कटान बिंदुओं के शून्यक उनके x-निर्देशांक होते हैं। दिए हुए बिंदु (-7,0), (0,0) और (4,0) के x-निर्देशांक क्रमशः -7, 0 और 4 हैं, इसलिए शून्यक (-7), (0) और (4) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह संकेत उल्टा कर देता है (–7 को 7 और 4 को –4 कर दिया गया है), जबकि संकेत महत्वपूर्ण होता है। विकल्प D में 0 को दो बार दिखाया गया है — यह तब सही हो सकता है जब शून्यक की बहुगुणकता 2 हो, पर यहाँ दिए बिंदु अलग-अलग हैं इसलिए ऐसा नहीं है। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर किसी भी इंटरसेप्ट का x-कोऑर्डिनेट सीधे शून्यक देता है; बिंदु के आदेश (x,0) में x ही शून्यक है। / The zeroes of a polynomial are the x-coordinates of its x-axis intercepts. From the points (-7,0), (0,0) and (4,0) the x-values are -7, 0 and 4, so the zeroes are (-7), (0) and (4). Option B is incorrect because it reverses signs (turning -7 into 7 and 4 into -4) — sign matters for zeros. Option D shows 0 twice, which would indicate multiplicity 2 at x=0, but the given intercepts are distinct so that is not the case. Exam tip: read the x-coordinate of an intercept (x,0) to get the corresponding zero directly; watch the sign carefully.
A. क्योंकि (y) हमेशा (-3) रहता है/Because (y) always remains (-3)
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=-3) का (y)-मान कभी (0) नहीं होता। इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता और कोई शून्यक नहीं है। / For (p(x)=-3), the (y)-value is never (0). So the graph does not cut the (x)-axis and has no zero.
जिस मान पर बहुपद का मान (0) हो, वह शून्यक कहलाता है। इसलिए (c) बहुपद का शून्यक है। / The value for which the polynomial becomes (0) is called a zero. Therefore (c) is a zero of the polynomial.
बिंदु (-8, 0) का अर्थ है कि जब x = -8 होगा तो y का मान 0 है। बहुपद का मान y ही होता है, इसलिए बहुपद x = -8 पर शून्य होगा (अर्थात् f(-8)=0)। विकल्प B (x = 8) सिर्फ साइन के विपरीत है और गलत है; विकल्प C (x = 0) केवल तब सही होता यदि बिंदु (0,0) दिया होता; विकल्प D कोई संबंधित कारण नहीं देता। परीक्षा टिप: किसी भी x-अक्ष पर स्थित बिंदु का x-कोऑर्डिनेट तुरंत उस बिंदु के लिए बहुपद का शून्य बताता है। / The point (-8, 0) means y = 0 when x = -8. Since the polynomial's value is y, the polynomial is zero at x = -8 (i.e. f(-8)=0). Option B (x = 8) has the wrong sign; option C (x = 0) would be correct only for the point (0,0); option D is unrelated. Exam tip: an x-intercept (y=0) gives the root directly as the x-coordinate shown.
जब कोई ग्राफ़ \\(x\\)-अक्ष को काटता है तो उस बिंदु पर \\(y=0\\) होता है। बहुपद का मान फ़ंक्शन का आउटपुट \\(y=p(x)\\) है, इसलिए \\(x=2\\) और \\(x=9\\) पर \\(p(2)=0\\) और \\(p(9)=0\\) होंगे। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे अज्ञान्य संख्याएँ प्रस्तावित करते हैं जबकि अक्ष पर काटने का अर्थ शून्य मान है; विकल्प D गलत है क्योंकि अक्ष पर कटने की जानकारी से मान निश्चित रूप से शून्य होता है। परीक्षा-सुझाव: किसी ग्राफ़ के x-अक्ष पर कटने के बिंदु हमेशा उस फ़ंक्शन के शून्य (root) होते हैं—इन्हें सीधे 0 मान दें। / When a graph crosses the \\(x\\)-axis the output \\(y\\) equals 0. For a polynomial \\(y=p(x)\\), intersections at \\(x=2\\) and \\(x=9\\) mean \\(p(2)=0\\) and \\(p(9)=0\\). Option B and C are incorrect because they assign nonzero values despite the graph meeting the x-axis; option D is incorrect because the intercepts give definite function values (zero). Exam tip: Any x-intercept of a polynomial corresponds to a root—record the function value as 0 immediately.
किसी घनात्मक बहुपद (parabola) का शून्यक वह x-मूल (x-coordinate) है जहाँ वह x-अक्ष से मिलता है। यहाँ पर परवलय केवल बिंदु (-2,0) पर x-अक्ष को स्पर्श कर रही है, जिसका अर्थ है कि वही एकमात्र वास्तविक शून्यक है (मल्टीप्लिसिटी 2 — दोहरा शून्यक)। इसलिए शून्यक -2 है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे दिए हुए बिंदु के x-निर्देशांक से मेल नहीं खाते; विकल्प D गलत है क्योंकि स्पर्श करने पर दो अलग वास्तविक शून्यक नहीं होते बल्कि एक दोहरा शून्यक होता है। परीक्षा टिप: यदि परवलय x-अक्ष को अपने शीर्ष पर स्पर्श करती है तो शून्यक सीधे शीर्ष के x-निर्देशांक के बराबर होता है। / The zero of a parabola is the x-coordinate where it meets the x-axis. Since the parabola meets (touches) the x-axis only at (-2,0), that x-value is the only real zero; touching means a repeated root (multiplicity 2) at x = -2. Thus the correct zero is -2. Options B and C are incorrect because their x-values do not match the given point; option D is incorrect because touching gives one repeated zero, not two distinct zeros. Exam tip: when a parabola touches the x-axis at its vertex, the x-coordinate of the vertex is the zero (a double root).
A. जो (x)-अक्ष को ((1,0)) और ((-6,0)) पर काटे/One that cuts the (x)-axis at ((1,0)) and ((-6,0))
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (1) और (-6) होने पर ग्राफ (x)-अक्ष को इन्हीं (x)-मानों पर काटेगा। इसलिए बिंदु ((1,0)) और ((-6,0)) होंगे। / If the zeroes are (1) and (-6), the graph cuts the (x)-axis at those (x)-values. So the points are ((1,0)) and ((-6,0)).
छूने पर भी बिंदु (x)-अक्ष पर होता है और (y=0) होता है। इसलिए वह बिंदु शून्यक देता है। / Even when the graph touches, the point lies on the (x)-axis and (y=0). Therefore that point gives a zero.
वास्तविक शून्यक के लिए ग्राफ का (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। नीचे रहने और न छूने पर कोई वास्तविक शून्यक नहीं होगा। / For a real zero, the graph must meet the (x)-axis. If it stays below and does not touch it, there is no real zero.
किसी संख्या \(a\) को बहुपद \(p(x)\) का शून्यक तभी कहा जाता है जब \(p(a)=0\)। यहाँ स्पष्ट रूप से दिया है कि \(p(5)\neq 0\), अतः \(5\) के स्थान पर बहुपद शून्य नहीं बन रहा — इसका अर्थ है \(5\) शून्यक नहीं है। विकल्प B गलत है क्योंकि शून्यक होने की शर्त \(p(5)=0\) है जो पूरी नहीं हुई। विकल्प C भी गलत है क्योंकि दोहरा (repeated) शून्यक होने के लिए पहले शर्त \(p(5)=0\) होनी चाहिए और गुणनखंड की गुणांक संरचना जाँची जाती है; यहाँ तो मूलतः शून्यक नहीं है। विकल्प D गलत है क्योंकि दिए गए मूल्य से निर्णय करना संभव और पर्याप्त है। परीक््षा टिप: किसी संख्या के शून्यक होने की जाँच करने के लिए सीधे उस संख्या को बहुपद में रखकर \(p(a)\) की गणना करें; यदि परिणाम शून्य है तो वही शून्यक है (Factor Theorem)। / A number \(a\) is a zero (root) of a polynomial \(p(x)\) exactly when \(p(a)=0\). Since we are given \(p(5)\neq 0\), substituting \(x=5\) does not make the polynomial zero, so 5 is not a zero. Option B is wrong because being a zero requires \(p(5)=0\). Option C is wrong because a repeated root requires first that \(p(5)=0\) and then multiplicity considerations; here it is not even a root. Option D is incorrect because the evaluation already provides sufficient information. Exam tip: to test whether a value is a root use direct substitution (or apply the Factor Theorem) — if the result is zero it is a root, otherwise it is not.
यदि किसी बहुपद के लिए \(p(a)=0\) है, तो \(x=a\) पर क्रिया का मान शून्य होगा; अर्थात् शून्य किसी बिंदु का \(y\)-निर्देशांक होगा। इसलिए \(p(-10)=0\) का अर्थ है कि बिंदु \((-10,0)\) \(x\)-अक्ष पर स्थित है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प \((10,0)\) इसलिए गलत है क्योंकि वहाँ का \(x\)-निर्देशांक +10 है, न कि −10। अन्य विकल्पों में \((0,-10)\) में \(y\) शून्य नहीं है और \((-10,-10)\) में भी \(y\) शून्य नहीं है, इसलिए वे भी गलत हैं। परीक्षा-सूत्र: यदि \(p(a)=0\) हो तो तुरंत बिंदु \((a,0)\) चुनें। / If \(p(a)=0\), the graph meets the x-axis at \(x=a\) because the function value (y) is zero there. Thus \(p(-10)=0\) corresponds to the point \((-10,0)\) on the x-axis. The closest distractor \((10,0)\) is wrong because the x-coordinate has the wrong sign (+10 instead of −10). Options \((0,-10)\) and \((-10,-10)\) are incorrect since their y-coordinate is not zero. Exam tip: whenever \(p(a)=0\), write the point as \((a,0)\) immediately to avoid sign mistakes.
A. वास्तविक शून्यकों की संख्या/Number of real zeroes
Explanation
Simple Explanation
ग्राफ जितनी बार अलग-अलग (x)-अक्ष से मिलता है, उतने वास्तविक शून्यक होते हैं। यह ग्राफीय अर्थ का मुख्य नियम है। / The number of distinct points where the graph meets the (x)-axis gives the number of real zeroes. This is the main graphical rule.
A. यह \(x\)-अक्ष के समानान्तर एक सीधी रेखा होगा और इसे नहीं काटेगा/It is a straight line parallel to the x-axis and does not intersect it
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)=4\) एक स्थिर (constant) बहुपद है जहाँ हर x के लिए y का मान 4 रहता है। अतः ग्राफ एक क्षैतिज रेखा \(y=4\) होगा और कभी \(y=0\) नहीं होता, इसलिए कोई x-शून्यक या x-अक्ष पर छेदन नहीं होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि चार बार कटने के लिए बहुपद में x के ऐसे मान चाहिए जिनसे y=0 हो — परन्तु यहाँ \(p(x)\) कभी शून्य नहीं है। विकल्प C और D भी गलत हैं: मूल बिंदु पर जाने के लिए \(p(0)=0\) होना चाहिए और परवलय के लिए बहुपद की डिग्री 2 होनी चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद के शून्य जानने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) हल करें — यदि \(p(x)\) एक गैर-शून्य स्थिर है तो उसके शून्य नहीं होते। / \(p(x)=4\) is a constant polynomial so its graph is the horizontal line \(y=4\). Since \(y\) is never zero, the graph does not cross the x-axis and there are no zeros of the polynomial. Option B is incorrect because intersecting the x-axis requires solutions of \(p(x)=0\); a constant nonzero polynomial has none. Options C and D are also incorrect: passing through the origin needs \(p(0)=0\), and being a parabola requires degree 2, neither of which holds here. Exam tip: To find x-intercepts set \(p(x)=0\); a nonzero constant yields no solution and thus no x-intercepts.
बहुपद का शून्यक वह x मान है जिसके लिए \(p(x)=0\)। यहाँ \(p(x)=x\) दिया है, अतः \(p(0)=0\)। इसलिए \(x=0\) इस बहुपद का शून्यक है। विकल्प B (1) गलत है क्योंकि \(p(1)=1\), जो शून्य नहीं है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा शून्यक खोजने के लिये \(p(x)=0\) लगाकर हल करें; ग्राफ़ के लिये शून्यक वह x-निर्देश है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है। / A root (zero) is a value a for which \(p(a)=0\). With \(p(x)=x\), substituting \(x=0\) gives \(p(0)=0\), so \(x=0\) is the root. Option B (1) is incorrect because \(p(1)=1\), not zero. Exam tip: to find zeros set \(p(x)=0\) and solve; graphically zeros are x-values where the curve meets the x-axis (here the origin).
शून्यकों को (x)-निर्देशांक बनाकर (y=0) लिया जाता है। इसलिए कटाव बिंदु ((-1,0)), ((3,0)), और ((8,0)) होंगे। / Use the zeroes as (x)-coordinates and take (y=0). So the intersection points are ((-1,0)), ((3,0)), and ((8,0)).
A. दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटेगा/It will cut at two distinct points
Explanation
Simple Explanation
दो वास्तविक शून्यक दो अलग (x)-अक्ष कटाव बताते हैं। इसलिए परवलय (x)-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटेगा। / Two real zeroes show two distinct (x)-axis intersections. Hence the parabola cuts the (x)-axis at two points.
एक वास्तविक शून्यक का अर्थ है ग्राफ (x)-अक्ष से केवल एक बिंदु पर मिलता है। परवलय में यह सामान्यतः छूने की स्थिति होती है। / One real zero means the graph meets the (x)-axis at only one point. For a parabola, this is usually the touching case.
कटना और छूना दोनों (x)-अक्ष से मिलना है। दो अलग बिंदु हैं, इसलिए दो अलग वास्तविक शून्यक हैं। / Both cutting and touching mean meeting the (x)-axis. There are two distinct points, so there are two distinct real zeroes.
A. \,\(r\\) उस बहुपद का शून्यक (root) है/r is a zero (root) of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ x-अक्ष को बिंदु \,\((r,0)\\) पर छूता है तो उस बिंदु पर y का मान शून्य होता है, यानी बहुपद का मान \,\(f(r)=0\\) होता है। इसलिए \,\(r\\) उस बहुपद का शून्यक (मूल) है। विकल्प B गलत है क्योंकि स्थिर पद से तात्पर्य \(x=0\\) पर बहुपद का मान होता है, न कि किसी सामान्य बिंदु \(r\\) से। विकल्प D स्पष्टतः गलत है क्योंकि \(y=0\\) होने पर वह शून्यक ही माना जाएगा। (अतिरिक्त जानकारी: यदि ग्राफ केवल छूता है और काटकर नहीं जाता तो उस शून्यक की गुणांकीयता (multiplicity) सम (even) होगी।) परीक्षा-सुझाव: ग्राफ के किसी बिंदु पर y=0 हो तो सीधे वह x-मूल है; छूना/काटना देखकर गुणांकीयता के बारे में अनुमान लगाइए। / If the graph touches the x-axis at \,\((r,0)\\) then the function value there is zero, i.e. \,\(f(r)=0\\). Hence \,\(r\\) is a zero (root) of the polynomial. Option B is wrong because the constant term means the value of the polynomial at \(x=0\\), not the x-coordinate of a general intercept. Option D is incorrect since \(y=0\\) at that point implies it is a root. (Additional note: when the graph only touches and does not cross, the root typically has even multiplicity.) Exam tip: whenever a graph meets the x-axis at a point, that x-coordinate is a root; use whether it crosses or only touches to infer multiplicity.
A. ग्राफ़ \(x\)-अक्ष को \(x=12\) पर काटेगा या छुएगा/The graph will cut or touch the x-axis at \(x=12\)
Explanation
Simple Explanation
\(p(12)=0\) का अर्थ है कि बहुपद का मान \(x=12\) पर शून्य है, अर्थात बिंदु \((12,0)\) ग्राफ़ पर मौजूद है। इसलिए ग्राफ़ \(x\)-अक्ष से \(x=12\) पर मिलेगा। ध्यान दें: यदि उस शून्य की गुणात्मक बहुलता (multiplicity) सम है तो ग्राफ़ केवल स्पर्श कर सकता है, विषम होने पर कटेगा। परीक्षा टिप: किसी भी शून्य के लिए बिंदु \((a,0)\) को खोजें — यदि \(p(a)=0\) हो तो वह x-अक्ष पर है। / \(p(12)=0\) means the polynomial's value at \(x=12\) is zero, so the point \((12,0)\) lies on the graph. Hence the graph meets the x-axis at \(x=12\). Note: whether it cuts or just touches depends on the root's multiplicity (odd → cuts, even → touches). Exam tip: for any root \(a\) with \(p(a)=0\), check the point \((a,0)\) on the graph to locate the intersection with the x-axis.
किसी बहुपद का शून्यक वह x मान है जहाँ ग्राफ पर y का मान शून्य होता है (यानी ग्राफ x-अक्ष को छूता है)। इसलिए जब x = 11 शून्यक है तो ग्राफ पर बिंदु \,(11,0)\, मौजूद होगा। विकल्प (0,11) में x = 0 है, (11,1) में y ≠ 0 है इसलिए वे शून्यक सिद्ध नहीं करते, और (-11,0) में y = 0 तो सही है पर x = -11 है, न कि 11। परीक्षा-सुझाव: किसी दिए x के लिए शून्यक जाँचने के लिए देखें कि ग्राफ पर बिंदु \,(x,0)\, मौजूद है या नहीं — यानी x-अक्ष पर वही x मान मौजूद होना चाहिए। / A zero of a polynomial at x = 11 means the graph has y = 0 when x = 11, i.e. the point (11,0) lies on the graph (an x-intercept at x = 11). Option (0,11) has x = 0, so it does not show x = 11 is a zero; (11,1) has x = 11 but y ≠ 0 so it is not a zero; (-11,0) has y = 0 but at x = -11, not x = 11. Exam tip: to verify a zero visually, check for the point (a,0) — the x-intercept at that x-value.
किसी बहुपद का शून्यक वह x-मूल्य होता है जहाँ बहुपद का मान 0 होता है — यानी ग्राफ पर बिंदु \/(x,0\/)। इसलिए x = -2 शून्यक होने के लिए ग्राफ पर बिंदु \/(-2,0\/) होना चाहिए। विकल्प D में x = -2 सही है लेकिन y = 2 ≠ 0 है, इसलिए वह शून्यक नहीं है। विकल्प B और C में या तो x ≠ -2 है या y ≠ 0। परीक्षा सुझाव: शून्यक पहचानते समय हमेशा जांचें कि y = 0 हो और उस बिंदु का x-मूल्य लक्ष्यित मान के बराबर हो। / A zero (root) corresponds to an x-value where the polynomial evaluates to 0, i.e., a point on the graph \/(x,0\/). For x = -2 the point must be \/(-2,0\/), so option A is correct. Option D has x = -2 but y = 2 (not zero), so it is not a root. Option B is an x-intercept at x = 2, and option C has y = -2, not y = 0. Exam tip: to find roots from a graph, locate points with y = 0; their x-coordinates are the zeros.
मूल बिंदु का निर्देशांक \((0,0)\) है, अतः बिन्दु पर \(y=p(x)=0\) होता है जब \(x=0\)। इसलिए \(x=0\) बहुपद का शून्यक है। विकल्प B और C विशिष्ट अन्य मान हैं जो केवल तभी शून्यक हो सकते हैं यदि वह बिन्दु ग्राफ पर हो — परंतु यहाँ ग्राफ मूल बिंदु पर है, इसलिए वे गलत हैं। विकल्प D (निर्धारित नहीं) गलत है क्योंकि मूल बिन्दु होने से सीधे \(p(0)=0\) मिलता है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी बिंदु के आर्डिनेट्स पढ़ते समय पहले x और y की वैल्यू पुष्टि करें; origin हमेशा \(x=0\), \(y=0\) देता है। / The origin is \((0,0)\), so at that point \(y=p(x)=0\) when \(x=0\). Hence \(x=0\) is a root of the polynomial. Options B and C give other specific x-values which are not implied by the graph passing through the origin. Option D (Cannot be determined) is incorrect because passing through the origin directly gives \(p(0)=0\). Exam tip: always substitute the coordinates of the given point into \(p(x)\) to check which x-value makes the polynomial zero.
तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु तीन अलग वास्तविक शून्यक बताते हैं। उनके (x)-निर्देशांक ही शून्यक हैं। / Three distinct (x)-axis points show three distinct real zeroes. Their (x)-coordinates are the zeroes.
किसी बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को छूता यानी \(y=0\) होता है। बिंदु (4, 2) में \(y=2\) है, न कि 0, इसलिए \(x=4\) शून्यक नहीं है। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि बहुपद की डिग्री या ग्राफ का प्रकार (रेखा या गैर‑रेखा) शून्यक होने की परिभाषा को बदलते नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी भी दिए बिंदु के लिए पहले y‑निर्देशांक देखिए — शून्यक तभी जब y=0 हो। / A zero of a polynomial is an x‑value where the graph meets the x‑axis, i.e. where \(y=0\). The point (4, 2) has \(y=2\), not 0, so \(x=4\) is not a zero. Options C and D are incorrect because degree or whether the graph is a straight line does not change the definition of a zero. Exam tip: always check the y‑coordinate — zeros occur only when y = 0 (x‑intercepts).
दो अलग कटाव बिंदु दो अलग वास्तविक शून्यक देते हैं। यहाँ शून्यक (m) और (n) होंगे। / Two distinct intersection points give two distinct real zeroes. Here the zeroes will be (m) and (n).
शून्यक (x)-अक्ष से मिलने वाले बिंदुओं से मिलते हैं। इसलिए ग्राफ पढ़ते समय (x)-अक्ष पर ध्यान दें। / Zeroes are obtained from the points where the graph meets the (x)-axis. So focus on the (x)-axis while reading the graph.
बिंदु \((7,0)\) का अर्थ है कि जब \(x=7\) है तो मूल्य \(y=0\) होता है। बहुपद का मान फ़ंक्शन के रूप में लिखा जाता है: \(y=p(x)\)। इसलिए \(p(7)=0\)। विकल्प B (7) भ्रमित करने वाला है क्योंकि 7 केवल x-निर्देशांक है, परन्तु प्रश्न में पूछा गया है पॉलिनोम का मान (y)। परीक्षात्मक टिप: किसी भी बिंदु \((a,0)\) पर बहुपद का मान हमेशा 0 होता है। / The point \((7,0)\) means that when \(x=7\), the function value \(y=0\). For a polynomial written as \(y=p(x)\), this gives \(p(7)=0\). Option B (7) is incorrect because 7 is the x-coordinate, not the value of the polynomial at that x. Short exam tip: any point \((a,0)\) on the x-axis is a root of the polynomial, so \(p(a)=0\).
यदि किसी बहुपद का मान \(p(a)=0\) होता है तो \(x=a\) उस बहुपद की शून्य (root) है और ग्राफ x-अक्ष को बिंदु \((a,0)\) पर काटेगा। यहाँ \(p(-4)=0\) होने का अर्थ है कि \(x=-4\) पर \(y=0\)। इसलिए सही बिंदु \((-4,0)\) है। विकल्प B में x का चिह्न उल्टा है; विकल्प C में x=0 है अतः वह y-अक्ष का बिंदु है; विकल्प D में y≠0 है इसलिए x-अक्ष पर नहीं है। परीक्षा संकेत: किसी दिए बिंदु पर ग्राफ x-अक्ष को तभी काटेगा जब उस x-मान पर फलन का मान शून्य हो — इसलिए तुरंत \((a,0)\) लिखें। / If a polynomial satisfies \(p(a)=0\), then \(x=a\) is a root and the graph crosses the x-axis at \((a,0)\). Here \(p(-4)=0\) means \(y=0\) when \(x=-4\), so the intercept is \((-4,0)\). Option B has the wrong sign for x; option C has x=0 so it's on the y-axis; option D has y≠0 so it is not on the x-axis. Exam tip: For quick MCQs remember a root \(a\) gives the x-intercept \((a,0)\).
(x)-अक्ष से हर अलग मिलन एक वास्तविक शून्यक देता है। दो बार मिलने पर दो वास्तविक शून्यक होंगे। / Each distinct meeting with the (x)-axis gives one real zero. If it meets twice, it has two real zeroes.
A. न तो काटेगा न छुएगा/It will neither cut nor touch it
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष से मिलने पर दिखता है। कोई वास्तविक शून्यक न होने पर ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलेगा। / A real zero appears when the graph meets the (x)-axis. With no real zero, the graph will not meet the (x)-axis.
शून्यक (x)-अक्ष कटावों के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (u), (v), और (w) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the (x)-axis intersections. Therefore the zeroes are (u), (v), and (w).
