Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
p(1)=0 स्पष्ट रूप से बताता है कि x=1 एक शून्यक (root) है — यह प्रत्यक्ष प्रमाण है। p(-3)<0 और p(4)>0 केवल उन बिंदुओं पर बहुपद के संकेत (negative/positive) बताते हैं; वे स्वयं शून्यक नहीं हैं। ध्यान दें कि बहुपद का ग्राफ निरन्तर होने के कारण p(-3)<0 और p(4)>0 के बीच कम से कम एक शून्य मौजूद होगा (Intermediate Value Theorem), पर वह शून्य विशेष रूप से -3 या 4 नहीं बताया गया है। अतः केवल x=1 निश्चित शून्य है। परीक्षा‑टिप: किसी बिंदु a के लिए p(a)=0 होने पर ही वह बिंदु निश्चित रूप से शून्यक माना जा सकता है; चिन्ह बदलने से केवल किसी अन्तराल में कम से कम एक मूल होने की सूचना मिलती है। / p(1)=0 directly shows x=1 is a root — this is explicit. The facts p(-3)<0 and p(4)>0 only give signs of p at those x-values; they do not make -3 or 4 roots. (By continuity of polynomials, a sign change between -3 and 4 guarantees at least one root in (-3,4), but it does not identify the endpoint values as roots.) Therefore the only certain root from the given information is x=1. Exam tip: look for statements of the form p(a)=0 for a guaranteed root; sign changes indicate existence of a root in an interval, not at a specific endpoint.)
शून्यक वह x होता है जिसके लिये \(p(x)=0\)। प्रश्न में स्पष्ट है कि \(p(-12)=0,\; p(4)=0,\; p(15)=0\) हैं, अतः ये तीनों x मान शून्यक हैं। जबकि \(p(-2)=6\) है, इसलिए \(-2\) शून्यक नहीं है। नज़दीकी भ्रम (विकल्प C: चार) इसलिए गलत है क्योंकि कोई अतिरिक्त मान (जैसे \(-2\)) पर मान 0 नहीं है। परीक्षा टिप: हमेशा यह जाँचें कि दिए गए बिंदु पर वास्तव में \(p(x)=0\) लिखा है, संख्या 0 से भेद दिखने पर उसे शून्यक न मानेँ। / A root (zero) is an x-value where \(p(x)=0\). Here \(p(-12)=0,\; p(4)=0,\; p(15)=0\), so there are three zeros. Since \(p(-2)=6\), \(-2\) is not a zero. The closest distractor (Four) is incorrect because it would wrongly include \(-2\) despite \(p(-2)\neq0\). Exam tip: count only those x for which the function value is exactly 0 — check each given pair carefully.
दिए गए शून्यक (-7) और (4) हैं इसलिए दूरी (4-(-7)=11) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-7) and (4), so the distance is (4-(-7)=11). Tip: take only (x)-values where (p(x)=0).
किसी x मान को शून्यक तभी कहते हैं जब फलन का मान बिल्कुल शून्य हो, अर्थात् \(p(x)=0\)। प्रश्न में \(p(-10)=0\), \(p(3)=0\) और \(p(12)=0\) दिए हैं, इसलिए तीन शून्यक हैं। \(p(-1)=4\) शून्य नहीं है इसलिए उसे न गिनें। परीक्षा टिप: हमेशा जाँचे कि मान ठीक-ठीक 0 है, न कि केवल नज़दीक या ऋणात्मक/धनात्मक संकेत के कारण भ्रम हो। / A value x is a zero of the polynomial exactly when \(p(x)=0\). Here \(p(-10)=0\), \(p(3)=0\) and \(p(12)=0\), so there are three zeroes. Since \(p(-1)=4\) is not zero, it is not counted. Exam tip: verify the function value equals 0 exactly rather than assuming from sign or proximity.
दिए गए शून्यक (-6) और (5) हैं, इसलिए दूरी (5-(-6)=11) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-6) and (5), so the distance is (5-(-6)=11). Tip: take only (x)-values where (p(x)=0).
शून्यक या शून्य मूल वह x-मूल है जहाँ बहुपद का मान शून्य होता है, यानी \(p(x)=0\)। यहाँ दिए गए मानों में \(p(-9)=0\), \(p(2)=0\) और \(p(6)=0\) हैं — कुल तीन स्थानों पर मान शून्य है। \(p(-4)=2\) शून्य नहीं है इसलिए इसे शून्यक नहीं माना जाना चाहिए। परीक्षा सुझाव: किसी भी विकल्प को शून्यक मानने से पहले स्पष्ट रूप से जाँचें कि वह स्थान पर \(p(x)=0\) है या नहीं। / A zero (root) of a polynomial is an x-value where \(p(x)=0\). Here \(p(-9)=0\), \(p(2)=0\) and \(p(6)=0\), so there are three zeros among the given x-values. \(p(-4)=2\) is not zero, so it is not a root. Exam tip: always check the function value equals zero — other values (like 2) do not count as zeros.
दिए गए शून्यक (-8) और (3) हैं इसलिए योग (-5) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-8) and (3), so their sum is (-5). Tip: take only the (x)-values where (p(x)=0).
शून्यक वे x‑मान हैं जिनके लिए फलन का मान शून्य होता है। यहाँ \(p(-7)=0\), \(p(1)=0\) और \(p(4)=0\) हैं, तो कुल तीन शून्यक हैं। निकटतम ग़लत विकल्प "चार" इसलिए गलत है क्योंकि \(p(-3)=2\) है, न कि 0। परीक्षा टिप: किसी मान को शून्यक मानने से पहले हमेशा चेक करें कि \(p(x)=0\) आता है या नहीं। / A zero of the polynomial is an x‑value where the function equals 0. Here \(p(-7)=0\), \(p(1)=0\) and \(p(4)=0\), so there are three zeroes. The closest incorrect choice "four" is wrong because \(p(-3)=2\), not 0. Exam tip: verify by substituting the x‑value into \(p(x)\) and confirm the result is exactly 0 before counting it as a zero.
दिए गए शून्यक (-6) और (4) हैं, इसलिए गुणनफल (-24) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-6) and (4), so the product is (-24). Tip: take only (x)-values where (p(x)=0).
x-अक्ष पर कटान वही बिंदु होते हैं जहाँ \(p(x)=0\)। दिया गया है कि \(p(-3)=0\) और \(p(8)=0\), अतः कटान बिंदु (-3,0) और (8,0) होंगे। \(p(2)=5\) शून्य नहीं है, इसलिए (2,5) x-अक्ष पर नहीं है। परीक्षा की टिप: किसी बिंदु का x-अक्ष पर होना तभी संभव है जब उसके y-मान यानी फंक्शन का मान शून्य हो। / Intersections with the x-axis occur where \(p(x)=0\). Since \(p(-3)=0\) and \(p(8)=0\), the x-intercepts are (-3,0) and (8,0). Because \(p(2)=5\) ≠ 0, the point (2,5) is not an x-intercept. Exam tip: to find x-intercepts from function values, look for input values that give output 0 (roots).
A. (3) शून्यक है पर (7) नहीं/(3) is a zero but (7) is not
Explanation
Simple Explanation
यदि किसी बिंदु \(x=a\) पर \(p(a)=0\) हो तो वह \(a\) उस बहुपद का शून्यक (root) कहलाता है और ग्राफ x-अक्ष को उसी स्थान पर काटेगा। यहाँ \(p(3)=0\) है इसलिए 3 एक शून्यक है। परन्तु \(p(7)=4\) जिसे 0 नहीं है, इसलिए 7 शून्यक नहीं है। निकटतम भ्रांति (विकल्प B या C) गलत है क्योंकि वे \(p(7)=4\) को 0 मानते हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी बिंदु को शून्यक मानने से पहले हमेशा सुनिश्चित करें कि फलन मान ठीक-ठीक \(0\) हो। / A number \(a\) is a zero (root) of a polynomial if and only if \(p(a)=0\). Here \(p(3)=0\), so 3 is a zero and the graph meets the x-axis at x=3. Since \(p(7)=4\neq0\), 7 is not a zero. Closest distractors (B and C) are wrong because they assume \(p(7)=0\). Exam tip: always check the function value equals exactly 0 before calling a point a root.
किसी बहुपद का ग्राफ सामान्यतः \(y=p(x)\) होता है। यदि \(p(a)=0\) हो तो उस पर बिंदु \((a,0)\) होगा क्योंकि फलन का मान (y-निर्देशांक) शून्य है। यहाँ \(p(-2)=0\) और \(p(3)=0\) होने पर आवश्यक बिंदु \((-2,0)\) और \((3,0)\) ही होंगे। सबसे नजदीकी भ्रमित करने वाला विकल्प (B) तब सही होता यदि \(p(0)=-2\) और \(p(0)=3\) होते — जो अलग तथ्यों को दर्शाता है। परीक्षा टिप: शून्य होने पर x का मान पहला निर्देशांक और फलन का मान (0) दूसरा निर्देशांक लिखें — यानी \(p(a)=0\) ⇒ \((a,0)\)। / The graph represents \(y=p(x)\). If \(p(a)=0\), the point \((a,0)\) lies on the graph because the function value (y-coordinate) is zero. Given \(p(-2)=0\) and \(p(3)=0\), the required points are \((-2,0)\) and \((3,0)\). Distractor (B) would be true only if \(p(0)=-2\) and \(p(0)=3\), which is a different (and inconsistent) statement. Exam tip: remember that the zero of a function gives the x-coordinate of the x-intercept — write \(p(a)=0\) as \((a,0)\).
शून्यक ऐसे \(x\)-मान होते हैं जिनके लिए \(p(x)=0\) होता है। तालिका में \(p(-5)=0\) और \(p(4)=0\) दिया है, इसलिए \(-5\) और \(4\) शून्यक हैं। विकल्प A गलत है क्योंकि \(p(-1)=2\) और \(p(6)=9\) शून्य नहीं हैं। टिप: किसी भी तालिका‑प्रश्न में सीधे वह पंक्ति चुनें जहाँ फलन मान 0 दिया हो। / A zero of a polynomial is an x-value where \(p(x)=0\). The table shows \(p(-5)=0\) and \(p(4)=0\), so \(-5\) and \(4\) are zeros. Option A is incorrect because \(p(-1)=2\) and \(p(6)=9\) are not zero. Exam tip: when given function values in a table, pick the x‑entries whose function value equals 0.
C. कोई वास्तविक शून्यक नहीं है/There is no real zero
Explanation
Simple Explanation
ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलता और दिए गए मान भी शून्य नहीं हैं। टिप: फलन मान (0) न हो तो शून्यक न मानें। / The graph does not meet the (x)-axis and the given values are not zero. Tip: do not call a value a zero unless the function value is (0).
A. ग्राफ ((0,0)) और ((5,0)) से गुजरता है/The graph passes through ((0,0)) and ((5,0))
Explanation
Simple Explanation
दोनों दिए गए (x)-मानों पर फलन मान (0) है। टिप: (p(0)=0) होने पर ग्राफ मूल बिंदु से गुजरता है। / At both given (x)-values, the function value is (0). Tip: when (p(0)=0), the graph passes through the origin.
(x)-अक्ष कटान पर (y=p(x)=0) होता है। टिप: कटान बिंदु से फलन मान सीधे पढ़ें। / At an (x)-axis intersection, (y=p(x)=0). Tip: read the function value directly from the intersection point.
परिभाषा के अनुसार कोई संख्या \(a\) उस बहुपद का शून्यक तभी होती है जब \(p(a)=0\)। यहाँ सीधे दिया है कि \(p(2)=0\), अतः 2 निश्चित रूप से शून्यक है। जबकि \(p(-1)<0\) और \(p(0)<0\) इन स्थानों पर फलन मान शून्य से भिन्न (ऋण) है — इसलिए \(-1\) और \(0\) शून्यक नहीं हो सकते। विकल्प 'कोई नहीं' गलत है क्योंकि \(p(2)=0\) स्पष्ट रूप से एक शून्यक दर्शाता है। परीक्षा टिप: किसी मान के शून्यक होने की पुष्टि के लिए वही दिया हुआ समीकरण देखें — केवल \(p(a)=0\) पर ही वह मान शून्यक होगा। / By definition a number \(a\) is a zero of the polynomial only if \(p(a)=0\). Here \(p(2)=0\) is given, so 2 is definitely a root. The statements \(p(-1)<0\) and \(p(0)<0\) show values that are nonzero (negative), so \(-1\) and \(0\) are not roots. 'None' is incorrect because \(p(2)=0\) explicitly gives a zero. Exam tip: to confirm a zero, look for an explicit equality \(p(a)=0\); sign information alone (positive/negative) does not prove a root.
x-अक्ष पर कटान वह बिंदु होता है जहाँ फलन का मान शून्य हो, यानी \(p(x)=0\)। दिए गए मानों में \(p(-3)=0\) और \(p(4)=0\) होने से कटानबिंदु \((-3,0)\) और \((4,0)\) होंगे। विकल्प A सबसे भ्रमित करने वाला है क्योंकि इसमें \(p(0)=5\) से \((0,5)\) लिया गया है — पर यह x-अक्ष पर नहीं है क्योंकि y≠0। परीक्षा-सुझाव: x-अक्ष के लिए हमेशा बिंदु को रूप में लिखें \((x,0)\) जब \(p(x)=0\) हो। / An x-intercept occurs where the function value is zero, i.e. \(p(x)=0\). Here \(p(-3)=0\) and \(p(4)=0\), so the graph meets the x-axis at \((-3,0)\) and \((4,0)\). Option A is the closest distractor because it incorrectly treats \(p(0)=5\) as an x-intercept by listing \((0,5)\), but y=5≠0 so it is not on the x-axis. Exam tip: whenever you have \(p(a)=0\), record the intercept as \((a,0)\).
जब कोई ग्राफ़ \\(x\\)-अक्ष को काटता है तो उस बिंदु पर \\(y=0\\) होता है। बहुपद का मान फ़ंक्शन का आउटपुट \\(y=p(x)\\) है, इसलिए \\(x=2\\) और \\(x=9\\) पर \\(p(2)=0\\) और \\(p(9)=0\\) होंगे। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे अज्ञान्य संख्याएँ प्रस्तावित करते हैं जबकि अक्ष पर काटने का अर्थ शून्य मान है; विकल्प D गलत है क्योंकि अक्ष पर कटने की जानकारी से मान निश्चित रूप से शून्य होता है। परीक्षा-सुझाव: किसी ग्राफ़ के x-अक्ष पर कटने के बिंदु हमेशा उस फ़ंक्शन के शून्य (root) होते हैं—इन्हें सीधे 0 मान दें। / When a graph crosses the \\(x\\)-axis the output \\(y\\) equals 0. For a polynomial \\(y=p(x)\\), intersections at \\(x=2\\) and \\(x=9\\) mean \\(p(2)=0\\) and \\(p(9)=0\\). Option B and C are incorrect because they assign nonzero values despite the graph meeting the x-axis; option D is incorrect because the intercepts give definite function values (zero). Exam tip: Any x-intercept of a polynomial corresponds to a root—record the function value as 0 immediately.
