x-axis se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
54 questions tagged with x-axis.
Where do the lines (y=0) and (5x+2y=25) meet?
A. बिंदु (\left\(5,0\right\))Point (\left\(5,0\right\))
(y=0) रखने पर (5x=25), इसलिए (x=5)। रेखा (y=0) (x)-अक्ष होती है। / Putting (y=0) gives (5x=25), so (x=5). The line (y=0) is the (x)-axis.
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Where does the line (4x+y=20) meet the line (y=0)?
B. ( (5,0) )
(y=0) रखने पर (4x=20), इसलिए (x=5)। रेखा (y=0) (x)-अक्ष होती है। / Putting (y=0) gives (4x=20), so (x=5). The line (y=0) is the (x)-axis.
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On which axis does the point ( (14,0) ) lie?
A. (x)-अक्ष(x)-axis
बिंदु ( (14,0) ) में (y=0), इसलिए यह (x)-अक्ष पर है। अवरोधों के प्रश्नों में यह बात उपयोगी है। / In the point ( (14,0) ), (y=0), so it lies on the (x)-axis. This is useful in intercept questions.
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On which axis does the point ( (9,0) ) lie?
A. (x)-अक्ष(x)-axis
बिंदु ( (9,0) ) में (y=0), इसलिए यह (x)-अक्ष पर स्थित है। अवरोधों में यह पहचान बहुत उपयोगी होती है। / In the point ( (9,0) ), (y=0), so it lies on the (x)-axis. This identification is very useful for intercepts.
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If a graph crosses the x-axis at 2.5, what is the zero (root) of the polynomial?
A. 2.5
बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को काटता है। इसलिए शून्यक केवल संख्या 2.5 है। विकल्प B में (2.5, 0) उस बिंदु का निर्देशांक‑युग्म है — यह बिंदु है, संख्या नहीं। विकल्प C गलत है क्योंकि 0 वह x‑मान नहीं है; विकल्प D (0, 2.5) y‑अक्ष पर स्थित बिंदु है और संबंधित x‑मान नहीं दर्शाता। परीक्षा‑टिप: जब पूछा जाए "शून्यक" या "root" तो सिर्फ x‑मान (एक संख्या) लिखें, न कि पूरा क्रमिक युग्म। / The root (zero) of a polynomial is the x‑value where its graph meets the x‑axis. Hence the zero is the number 2.5. Option B (2.5, 0) denotes the coordinate point on the plane — a point, not the numeric root. Option C is incorrect because x=0 is not where the graph crosses; Option D is the point on the y‑axis and irrelevant. Exam tip: when asked for a root or zero give the x‑value (a single number), not the ordered pair of the point.
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A. -6
शून्यक किसी फलन का वह x-मान है जहाँ y = 0 अर्थात् ग्राफ x-अक्ष को काटता है। प्रश्न के अनुसार ग्राफ केवल x = -6 पर x-अक्ष को काट रहा है, इसलिए शून्यक -6 है। विकल्प B (6) गलत है क्योंकि ग्राफ वहां नहीं मिला; विकल्प C (0) तब तक गलत है जब तक ग्राफ x = 0 पर अक्ष को काटे — जो यहाँ नहीं कहा गया; विकल्प D (कोई नहीं) गलत है क्योंकि एक स्पष्ट रूप से दिया हुआ इंटरसेक्शन (x = -6) मौजूद है। परीक्षा टिप: शून्यक खोजते समय सीधे उस बिंदु का x‑निर्देश पढ़ें जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को काटता या स्पर्श करता—काटना होने पर वह निश्चित रूप से एक root है। / A zero (root) is an x-value where the function's value is 0, i.e., the graph meets the x-axis. The graph meets the x-axis only at x = -6, so the root is -6. Option B (6) is incorrect because the graph does not intersect at x = 6; option C (0) is wrong unless the graph intersects at x = 0, which it does not here; option D (none) is false because an intersection at x = -6 is given. Exam tip: read the x-coordinate of the point where the graph crosses or touches the x-axis—any intersection gives a root (crossing usually indicates odd multiplicity, touching indicates even multiplicity).
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A. दोनों \(0\)Both are \(0\)
जब किसी बहुपद का ग्राफ \(x\)-अक्ष को काटता है तो उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य होता है। इसलिए यदि ग्राफ \(a\) और \(b\) पर काटता है तो \(p(a)=0\) और \(p(b)=0\) होगा। नोट करें कि भले ही कोई मूल (root) गुणनखंड की बहुलता अधिक हो (जैसे टंगेंट के रूप में छूना), तब भी उस बिंदु पर मान शून्य ही रहता है। विकल्प D (दोनों बराबर नहीं) गलत है क्योंकि दोनों मान समान रूप से शून्य हैं; विकल्प C भी अनुचित है क्योंकि एक बिंदु पर 0 और दूसरे पर 1 होने का कथन दिया स्थितियों से मेल नहीं खाता। परीक्षा-सूत्र: किसी भी बिंदु पर ग्राफ का \(x\)-अक्ष को काटना हमेशा उस बिंदु को बहुपद का शून्य (root) बताता है — अतः वहाँ का मान \(0\) होगा। / If the graph of a polynomial meets the \(x\)-axis at a point, the polynomial's value at that x-coordinate is zero. Hence when the graph crosses the axis at \(a\) and \(b\), we have \(p(a)=0\) and \(p(b)=0\). Even if a root has multiplicity greater than one (the graph just touches the axis), the value at that root is still zero. Option D (“they are not equal”) is incorrect because both values are equal (both zero); option C is also incorrect because the axis-intercept cannot produce 0 at one point and 1 at the other. Exam tip: whenever asked about x-intercepts, immediately set the polynomial value to 0 at those x-values — that gives the roots directly.
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A. 0
x-अक्ष पर किसी भी बिंदु का y-निर्देशांक शून्य होता है। बिंदु (7, 0) का अर्थ है कि x=7 पर फलन का मान 0 है, यानी \(p(7)=0\)। विकल्प B (7) और C (-7) गलत हैं क्योंकि वे x-निर्देशांक या उसका ऋण मान हैं, न कि फलन का मान; विकल्प D (1) भी असंगत है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु (a, b) पर पहुंचकर हमेशा याद रखें कि फलन का मान \(p(a)=b\) होता है। / Any point on the x-axis has y-coordinate 0. The point (7, 0) therefore means the polynomial's value at x=7 is 0, i.e. \(p(7)=0\). Options B (7) and C (-7) confuse the x-coordinate with the function value; option D (1) is also incorrect. Exam tip: for a point (a, b) on a graph, always use \(p(a)=b\).
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If the zeros of a graph are -4, 1 and 8, what is the correct set of x-axis intersection points?
B. (-4,0), (1,0), (8,0)
यदि किसी बहुपद या फलन का शून्यक r है तो वह x-अक्ष पर बिंदु (r,0) दर्शाता है क्योंकि x=r पर y=0 होता है। अतः शून्यक -4, 1 और 8 के लिए समुचित छेदन बिंदु (-4,0), (1,0), (8,0) होंगे — यही विकल्प B देता है। विकल्प A गलत है क्योंकि वहाँ शून्यकों को y-निर्देशांक के रूप में लिख दिया गया है और वे y-अक्ष पर बिंदु दिखाते हैं। परीक्षा-सुझाव: शून्यक को हमेशा पहले समन्वय (x) पर रखें; उत्तर लिखते समय क्रम वही रखें जैसा शून्यक दिया गया है। / A zero r corresponds to the point (r,0) on the x-axis because at x=r the function value y=0. Therefore for zeros -4, 1 and 8 the x-axis intersections are (-4,0), (1,0) and (8,0), which is option B. Option A is a common error: it places the zeros as y-coordinates, giving points on the y-axis. Exam tip: always treat a zero as the x-coordinate (write it as (x,0)) and keep the given order unless asked otherwise.
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If a graph has zeros −2, 3 and 7, which is the correct set of x-axis intersection points?
B. (-2,0), (3,0), (7,0)
किसी बहुपद का शून्य a होने पर वह बिंदु x-अक्ष पर (a,0) के रूप में व्यक्त होता है क्योंकि उस x के मान पर बहुपद का मान 0 होता है। दिये गए शून्य −2, 3, 7 के लिए समीपवर्ती छेद बिंदु क्रमशः (−2,0), (3,0), (7,0) होंगे — यही विकल्प B दिखा रहा है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प A में शून्य को y-अक्ष का निर्देशांक मान लिया गया है (0, a), जो गलत है; विकल्प C और D में निर्देशांकों का क्रम या चिह्न बदल दिया गया है, इसलिए वे असंगत हैं। परीक्षा टिप: किसी शून्य a को सीधे x‑सह‑निर्देशांक के रूप में लिखें — यानी (a,0)। / If a polynomial has a zero a, the graph meets the x-axis at (a,0) because the polynomial's value is zero at x = a. For zeros −2, 3 and 7 the x-intercepts are (−2,0), (3,0) and (7,0), which is option B. Distractor A incorrectly treats zeros as y-intercepts (0,a); C and D alter the order or signs of coordinates, so they are wrong. Exam tip: always write a zero a as the point (a,0) on the x-axis.
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If a graph cuts the x-axis at the points (2,0) and (14,0), what is the average of the zeroes?
B. 8
शून्यांकों का अर्थ है वे x-निर्देशांक जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है, अतः औसत निकालते समय इन x-निर्देशांकों का प्रयोग करें। औसत = \(\dfrac{2+14}{2}=8\)। विकल्प A (6) गलत है क्योंकि 6 उन बिंदुओं का औसत नहीं है (6 उस स्थिति का औसत होता यदि बिंदु 2 और 10 होते)। परीक्षा टिप: जब प्रश्न ग्राफ के x-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के बारे में कहे, तो सिर्फ x-निर्देशांकों का जोड़ कर दो से भाग करें। / The zeroes are the x-coordinates where the graph meets the x-axis, so take the average of those x-values. Average = \(\dfrac{2+14}{2}=8\). Option A (6) is incorrect because 6 would be the average of 2 and 10, not of 2 and 14. Exam tip: for x-intercepts, average their x-coordinates: add them and divide by 2.
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If \(p(x)=x^3-4x\), at which x-values does its graph meet the x-axis?
A. -2, 0, 2
\(x^3-4x\) को फैक्टर करें: \(x^3-4x = x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)\)। इसलिए शून्यक वे मान हैं जिनके लिए कोई भी गुणक शून्य हो, अर्थात् \(x=-2,0,2\)। विकल्प B में 4 को शामिल करना गलत है — \(4^3-4\cdot4=64-16=48\) शून्य नहीं होता। परीक्षा टिप: पहले सामान्य गुणांक \(x\) बाहर लें और फिर बचा हुआ द्विघात \(x^2-4\) को अंतर वर्ग के रूप में गुणनखंड करें। / Factorize: \(x^3-4x = x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)\). The x-intercepts (zeros) are values making any factor zero, so \(x=-2,0,2\). Distractor B is wrong because 4 is not a root (\(4^3-4\cdot4=64-16=48\neq0\)). Exam tip: always factor out the common factor \(x\) first, then factor the remaining quadratic as a difference of squares.
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If \(p(1)<0\), \(p(2)=0\) and \(p(3)>0\), which of the following points lies on the \(x\)-axis?
B. (2,0)
यदि किसी बहुपद \(p(x)\) के लिए \(p(a)=0\) हो तो बिंदु \((a,0)\) सीधे \(x\)-अक्ष पर होगा क्योंकि उस बिंदु पर क्रियाच्य (y)-मान शून्य है। यहाँ प्रत्यक्ष रूप से \(p(2)=0\) दिया है, अतः \((2,0)\) \(x\)-अक्ष पर है। \(p(1)<0\) और \(p(3)>0\) केवल उन बिंदुओं पर फलन के संकेत (negative/positive) दिखाते हैं, शून्य होना नहीं — इसलिए \((1,0)\) और \((3,0)\) शून्यबिंदु नहीं हैं। \((0,2)\) का y-निर्देशांक 2 है, इसलिए वह \(x\)-अक्ष पर नहीं है। टिप: किसी बिंदु के \(x\)-अक्ष पर होने की जाँच के लिए हमेशा देखें कि क्या संबंधित \(p(x)=0\) है। / A point \((a,0)\) lies on the x-axis exactly when \(p(a)=0\), because the y-value is zero there. Given \(p(2)=0\), the point \((2,0)\) is on the x-axis. The conditions \(p(1)<0\) and \(p(3)>0\) only give the sign of the function at those x-values, not roots, so \((1,0)\) and \((3,0)\) are not x-intercepts. \((0,2)\) has y=2, not zero. Exam tip: verify roots by checking where \(p(x)=0\) rather than relying on inequalities indicating sign changes.
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If a graph touches the \(x\)-axis only at \(x=11\), which statement is correct?
A. \(x=11\) वास्तविक शून्यक है\(x=11\) is a real zero
जब ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर स्पर्श करता है तो उस बिंदु पर फलन का मान शून्य होता है, अर्थात् उस x‑मान पर बहुपद का मान \(0\) होता है। अतः \(x=11\) निश्चित रूप से एक वास्तविक शून्यक (मूल) है। सामान्यतः ऐसा स्पर्श सम गुणता (even multiplicity) वाले शून्यक से जुड़ा होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि यदि ग्राफ अक्ष को स्पर्श कर रहा है तो उस बिंदु पर f(x)=0 अवश्य होगा; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि वे भिन्न x‑स्थान सुझाते हैं। परीक्षा टिप: 'छूना' भी 'मिलना' है — किसी x‑स्थान पर अक्ष को छूते ही वह x उस बहुपद का शून्यक है और अक्सर उसकी गुणता सम होती है। / If a graph touches the x‑axis at a point, the function value there is zero, so the corresponding x is a real root. Therefore x=11 is a real zero (usually with even multiplicity). Option B is wrong because touching implies f(11)=0; options C and D are incorrect because they give different x‑values. Exam tip: touching the x‑axis at x=a means x=a is a root (often of even multiplicity).
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C. तीनThree
यदि \(p(a)=0\) हो तो बहुपद का ग्राफ बिंदु \((a,0)\) से गुजरता है। यहाँ शून्य मान \(2,5,9\) अलग‑अलग हैं, इसलिए तीन अलग‑अलग \(x\)-अक्ष अंतरबिंदु होंगे। सबसे निकटभ्रामक विकल्प 'दो' तब गलत होगा जब किसी दो शून्यों को एक जैसा मान लिया जाए; 'नौ' इस प्रश्न में गिनती की जगह किसी मान को गिनने की भूल है। परीक्षा टिप: दिए गए शून्य मानों की अलग‑अलगता जाँचें — किसी शून्य का गुणकता (multiplicity) होने पर भी वह एक ही इंटरसेप्ट देता है। / If \(p(a)=0\) then the graph passes through the point \((a,0)\). Since the zeros 2, 5 and 9 are distinct, there are three distinct x‑intercepts. The closest distractor 'Two' would only be correct if two of the zeros coincided; 'Nine' confuses the value 9 with the count of intercepts. Exam tip: always check whether zeros are distinct — repeated roots (multiplicity) still produce a single x‑intercept.
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If p(x) is the zero polynomial, which statement about its graph is correct?
A. आलेख x-अक्ष ही हैThe graph is the x-axis itself
शून्य बहुपद का अर्थ है p(x)=0 हर वास्तविक x के लिए। इसलिए सभी बिंदु (x,0) आलेख में होते हैं, जो पूरी x-अक्ष बनाते हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि y-अक्ष वह रेखा है जहाँ x=0 (एक लंबवत रेखा), न कि हर x के लिए y=0। विकल्प C गलत है क्योंकि "ऊपर स्थित" का मतलब y>0 है, जबकि यहाँ y=0 होता है। विकल्प D गलत है क्योंकि आलेख हर बिंदु पर x-अक्ष को छूता है (वास्तव में वही है)। परीक्षा टिप: जब बहुपद शून्य रहता है तो ग्राफ y=0 होता है; शून्य बहुपद की डिग्री सामान्यतः परिभाषित नहीं होती (कुछ संदर्भों में −∞)। / The zero polynomial satisfies p(x)=0 for every real x, so the graph consists of all points (x,0) — i.e. the x-axis. B is wrong because the y-axis is the vertical line x=0, not y=0 for all x. C is wrong because "above the x-axis" means y>0, but here y=0. D is wrong because the graph does touch the x-axis at every point (it is the x-axis). Exam tip: check p(x) for an arbitrary x; if p(x)=0 always then the graph is y=0. Note: the degree of the zero polynomial is not normally defined (sometimes taken as −∞).
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If \(p(x)=x^2-1\), which point on the graph does not represent a zero (root) of the polynomial?
C. (0,-1)
बहुपद के शून्य वे x‑मान हैं जिनके लिए \(p(x)=0\). यहाँ \(x^2-1=0\) से \(x=\pm1\) प्राप्त होते हैं, अतः ग्राफ़ के बिंदु \((-1,0)\) और \((1,0)\) शून्य दर्शाते हैं। बिंदु \((0,-1)\) में \(y=-1\) है (यानी \(y\neq0\)), इसलिए यह शून्य नहीं है। निकटतम भ्रामक विकल्प D (दोनों \((-1,0)\) और \((1,0)\)) गलत है क्योंकि वे वास्तव में शून्य हैं। परीक्षा‑टिप: बहुपद के शून्य = x‑अक्ष पर कटबिंदु (y=0)। / Zeros (roots) occur where \(p(x)=0\). Solving \(x^2-1=0\) gives \(x=\pm1\), so the points \((-1,0)\) and \((1,0)\) are zeros on the graph. The point \((0,-1)\) has \(y=-1\) (i.e. \(y\neq0\)), so it is not a root. The closest distractor D listing both points is incorrect because those two points do represent zeros. Exam tip: roots correspond to x‑intercepts where \(y=0\).
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Which statement is correct when the graph of a polynomial touches the x-axis at the point (a,0)?
C. (a) एक वास्तविक शून्यक है(a) is a real zero
जब ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (a,0) पर छूता है, तो उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य होता है, यानी \,p(a)=0\. इसलिए x=a बहुपद का वास्तविक शून्यक है। सामान्यतः यदि शून्यक की गुणांकिता (multiplicity) सम (even) होती है तो ग्राफ उस बिंदु पर छूता है और पार नहीं करता; विषम (odd) गुणांकिता पर पार कर जाता है। विकल्प A गलत है क्योंकि छूने पर भी शून्यक बनता है। विकल्प D गलत है क्योंकि (a,0) x-अक्ष पर स्थित है न कि y-अक्ष पर। परीक्षात्मक सुझाव: किसी भी प्रत्याशी a को बहुपद में प्रत्यक्ष रूप से रखकर \,p(a)\ की गणना करें या बहुपद को गुणा-कारकों में तोड़कर गुणांकिता जाँचें। / If the graph touches the x-axis at (a,0), the polynomial evaluates to zero at x=a, i.e. \(p(a)=0\); thus x=a is a real zero. Typically an even multiplicity zero causes the graph to touch (not cross) the axis, while an odd multiplicity causes crossing. Option A is incorrect because touching still implies a zero. Option D is wrong because (a,0) lies on the x-axis, not the y-axis. Exam tip: substitute x=a into the polynomial to verify \(p(a)=0\), or factor the polynomial to check the multiplicity of the root.
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If \(p(x)=(x-6)^2\), what will the graph do with the x-axis?
A. \(x=6\) पर स्पर्श करेगाIt will touch at \(x=6\)
\(p(x)=(x-6)^2\) में \(x=6\) एक पुनरावृत्त शून्य (multiplicity 2) है। किसी शून्य का गुणांक यदि सम (even) होता है तो ग्राफ x-अक्ष को स्पर्श करके वापस मुड़ता है, इसलिए ग्राफ \(x=6\) पर स्पर्श करेगा। विकल्प B गलत है क्योंकि सही शून्य \(6\) है न कि \(-6\)। विकल्प C तभी सही होता यदि दो अलग वास्तविक शून्य होते; यहाँ दोनों मूल एक ही बिंदु पर दोहराए गए हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि वास्तविक शून्य मौजूद है। परीक्षा युक्ति: गुणता (multiplicity) सम → स्पर्श, विषम → काटना। / In \(p(x)=(x-6)^2\) the root \(x=6\) has multiplicity 2 (a repeated root). An even multiplicity causes the graph to touch the x-axis and turn back, so the curve touches at \(x=6\). Option B is wrong due to the wrong sign; option C would require two distinct real roots, not a repeated one; option D is wrong because a real root exists. Exam tip: even multiplicity → touch/turn, odd multiplicity → cross the axis.
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How does a polynomial graph meeting the x-axis differ in meaning from it meeting the y-axis?
A. (x)-अक्ष पर आने पर बहुपद का मान शून्य होता है, यानी \(p(x)=0\)On the x-axis the polynomial's value is zero, i.e. \(p(x)=0\)
x-अक्ष पर मिलने का अर्थ y=0 होना है; बहुपद का मान y होने पर y=0 पर आने का मतलब समीकरण \(p(x)=0\) का समाधान होना है—इसीलिए x-अक्ष के छेद बहुपद के शून्यक (roots) होते हैं। y-अक्ष पर मिलने का अर्थ x=0 होना है और उस बिंदु का y-अक्ष पर मान \(p(0)\) होता है; यह शून्य तभी होगा जब \(p(0)=0\)। इसलिए विकल्प B गलत है क्योंकि वह कहता है कि y-अक्ष पर हमेशा \(p(x)=0\) होता है। विकल्प C और D भी गलत हैं: C तभी सही होगा जब शून्यक x=0 भी हो (यानि \(p(0)=0\)), और D गलत है क्योंकि x-अक्ष पर मिलना स्पष्ट रूप से शून्यक दर्शाता है। परीक्षा टिप: शून्यक खोजने के लिए y=0 रखकर \(p(x)=0\) हल करें; y-अवरोध (y-intercept) पाने के लिए x=0 डालकर \(p(0)\) निकालें। / An intersection with the x-axis means y=0, so the x-coordinate satisfies \(p(x)=0\); hence x-axis intercepts are the polynomial's zeros (roots). An intersection with the y-axis occurs at x=0 and the y-value is \(p(0)\), which is not necessarily zero. Thus B is incorrect because it wrongly claims the y-axis always gives \(p(x)=0\). C is only true in the special case that \(p(0)=0\) (i.e. zero is a root); D is false because an x-axis intersection does indicate a zero. Exam tip: set y=0 and solve \(p(x)=0\) for roots; set x=0 to find the y-intercept \(p(0)\).
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B. वे परस्पर विपरीत हैंThey are opposites of each other
x-अक्ष पर काटने के बिंदु के x-निर्देशांक ही बहुपद के शून्यक होते हैं, यहाँ शून्यक -4 और 4 हैं। ये एक ही परिमाण पर विपरीत संकेत वाले मान हैं, अतः परस्पर विपरीत हैं। गणितीय रूप में इनके योग का मान शून्य होता है: \\(alpha+\beta=0\\) (यहाँ \(\alpha=-4,\beta=4\))। नज़दीकी भ्रामक विकल्प A गलत है क्योंकि "दोनों बराबर" का अर्थ होता कि वे बराबर चिह्न और मान में समान हों (जैसे 4 और 4), जो यहाँ सत्य नहीं है। परीक्षा टिप: x-अक्ष के कट बिंदुओं से सीधे x-मान लेकर उनके संकेत और परिमाण जांचें। / The x-intercepts give the zeros of the polynomial; here the zeros are -4 and 4. They have equal magnitude and opposite signs, so they are opposites of each other. In fact their sum is zero: \(\alpha+\beta=0\) (with \(\alpha=-4,\beta=4\)). The closest distractor A is wrong because "both equal" would mean the same number (e.g. 4 and 4), which is not the case. Exam tip: read the x-coordinates of intercepts as the zeros and compare their signs and magnitudes directly.
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A polynomial graph cuts the (x)-axis twice and the (y)-axis once. How many real zeroes does it have?
B. दोTwo
वास्तविक शून्यक केवल (x)-अक्ष कटान से गिने जाते हैं। टिप: (y)-अक्ष कटान को शून्यक में न जोड़ें। / Real zeroes are counted only from (x)-axis intersections. Tip: do not add the (y)-axis intercept to zeroes.
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C. \((a,0),\ (b,0)\)
यदि \(p(a)=0\) है तो उस बिंदु पर ग्राफ का y-निर्देशांक शून्य होगा, अतः वह बिंदु क्षैतिज रूप से \((a,0)\) होगा। इसी तरह \(p(b)=0\) बिंदु \((b,0)\) है। गलत विकल्पों का संक्षेप: \((0,a)\) और \((0,b)\) y-अक्ष पर बिंदु हैं (x=0), न कि शून्यांक वाले x-मूल; \((a,b)\) जैसे निर्देशांक अर्थहीन हैं क्योंकि y शून्य नहीं है। परीक्षा-टिप: कभी भी रूट \(r\) मिलने पर ग्राफ पर वह बिंदु \((r,0)\) होता है — x-मान रूट, y=0। / If \(p(a)=0\), the graph has y-coordinate zero at x=a, so the point is \((a,0)\); similarly \(p(b)=0\) gives \((b,0)\). Closest distractor: \((0,a)\) and \((0,b)\) would be points on the y-axis (x=0), not x-intercepts. Exam tip: a zero (root) of a polynomial is the x-value where the graph crosses the x-axis, so represent it as \((\text{root},0)\).
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How does the graph of \(p(x)=x^2\) meet the x-axis?
A. मूल \(x=0\) पर स्पर्श करता हैIt touches the x-axis at the origin \(x=0\)
\(p(x)=x^2\) का शून्य तब मिलता है जब \(x^2=0\), अर्थात् \(x=0\) मात्र। यह जड़ दोहरायी हुई (multiplicity 2) है, इसलिए परबोला x-अक्ष को काटकर पार नहीं होता बल्कि उसी बिंदु पर स्पर्श कर लौटता है (vertex पर)। विकल्प B गलत है क्योंकि दो अलग शून्य होने पर परबोला x-अक्ष को दो स्थानों पर काटती, पर यहाँ परिणाम एक ही शून्य है। विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=1\) शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद की जड़ों की गुणिता (multiplicity) देखकर तय करें कि ग्राफ x-अक्ष को 'छेदता' है या 'स्पर्श' करता है। / Solve \(x^2=0\) to find zeros: the only root is \(x=0\), with multiplicity 2. A repeated root of even multiplicity means the parabola touches (is tangent to) the x-axis at that point and does not cross it. Option B is incorrect because two distinct real roots would be required to cut the axis at two points (discriminant > 0), which is not the case here. Option D is wrong since \(x=1\) is not a root. Exam tip: check factorization or discriminant and note root multiplicities to determine whether the graph crosses or merely touches the x-axis.
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A. यह (y)-अक्ष पर कटान है और यहाँ y ≠ 0 है, इसलिए 7 शून्यक नहीं हैIt is a y-axis intercept with y ≠ 0, so 7 is not a zero
किसी बहुपद का शून्यक उस बिंदु का x‑निर्देशांक होता है जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को काटता है, अर्थात् उस बिंदु का y‑निर्देशांक 0 होना चाहिए। बिंदु (0, 7) x‑अक्ष पर नहीं है बल्कि y‑अक्ष पर है (y=7), इसलिए 7 शून्यक नहीं है। सबसे करीब भ्रामक विकल्प (C) गलत है क्योंकि y‑अक्ष कटान का x=0 होता है पर y शून्य होना अनिवार्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को शून्यक मानने से पहले उसका दूसरा निर्देशांक (y) 0 है या नहीं जांचें। / A zero (root) corresponds to an x-coordinate where the graph meets the x-axis, so the y-coordinate must be 0. The point (0, 7) lies on the y-axis with y = 7, not on the x-axis, therefore 7 is not a zero. The closest distractor (C) is wrong because a y-intercept has x = 0 but its y need not be 0. Exam tip: always check that the second coordinate (y) equals 0 before calling an x-value a zero.
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In which situation will (-6) be a zero of the polynomial?
A. आलेख (-6,0) पर x-अक्ष को काटेThe graph cuts the x-axis at (-6,0)
किसी बहुपद का शून्यक a होने का अर्थ है p(a)=0। जब ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (-6,0) पर काटता है तो y-मान 0 होता है, अतः p(-6)=0 और -6 शून्यक है। विकल्प B गलत है क्योंकि (0,-6) y-अक्ष पर है जहाँ x=0, न कि x=-6; विकल्प C गलत है क्योंकि वहाँ x=6 है, न कि -6; विकल्प D में y=6 है इसलिए p(-6)=6≠0। टिप: शून्यक के लिए हमेशा बिंदु का दूसरा घटक (y) शून्य होना चाहिए और क्रम (x,y) का ध्यान रखें। / A number a is a zero (root) of a polynomial if p(a)=0. If the graph meets the x-axis at (-6,0) then the function value at x=-6 is 0, so p(-6)=0 and -6 is a zero. Option B is wrong because (0,-6) is a y-axis intercept (x=0), not x=-6. Option C gives x=6, the wrong sign. Option D has y=6, so p(-6)=6≠0. Exam tip: a root corresponds to an x-intercept, so check the coordinate is (-6,0) with y=0 and the correct sign for x.
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If a quadratic polynomial has real zeroes 1 and 4, at which points will its graph cut the x-axis?
A. (1, 0) and (4, 0)
यदि बहुपद का शून्य a है तो बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (a,0) पर काटता है क्योंकि उस बिंदु पर y-मूल्य = 0 होता है। अत: शून्य 1 और 4 होने पर कटान बिंदु (1,0) और (4,0) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वे y-अक्ष के बिंदु हैं, C गलत है क्योंकि वहाँ y ≠ 0 है, और D गलत है क्योंकि संकेत उल्टा दिया गया है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद के शून्य को सीधे x-निर्देशांक मानकर (a,0) लिखें। / If a polynomial has a zero a, its graph meets the x-axis at (a,0) because the y-value is zero there. So zeros 1 and 4 give intersection points (1,0) and (4,0). Option B is wrong because those are points on the y-axis, C is wrong since y≠0 at those coordinates, and D is wrong because the signs of the zeros are incorrect. Exam tip: Always convert a zero a to the point (a,0) on the graph.
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If the graph cuts the x-axis at (6, 0) then what is the value of p(6)?
A. 0
x-अक्ष पर किसी बिंदु का y‑मान हमेशा 0 होता है, इसलिए यदि ग्राफ x‑अक्ष को (6, 0) पर काटता है तो p(6)=0 होगा। गलत विकल्प B (6) इसलिए भ्रामक है क्योंकि 6 केवल x‑निर्देशांक है, y‑मान नहीं। टिप: x‑अक्ष पर हमेशा y=0 होता है — कटान बिंदु से p(x) का मान सीधे पढ़ें। / Any point on the x‑axis has y = 0. Since the graph crosses the x‑axis at (6, 0), the function value p(6) is 0. Option B (6) is misleading because 6 is the x‑coordinate, not the y‑value. Exam tip: an intersection with the x‑axis always means the function value at that x is 0 (p(x)=0).
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If a polynomial has no real zero, what will its graph do with the (x)-axis?
A. न तो काटेगा न छुएगाIt will neither cut nor touch it
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष से मिलने पर दिखता है। कोई वास्तविक शून्यक न होने पर ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलेगा। / A real zero appears when the graph meets the (x)-axis. With no real zero, the graph will not meet the (x)-axis.
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A. दोTwo
(x)-अक्ष से हर अलग मिलन एक वास्तविक शून्यक देता है। दो बार मिलने पर दो वास्तविक शून्यक होंगे। / Each distinct meeting with the (x)-axis gives one real zero. If it meets twice, it has two real zeroes.
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