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यह (p(x)=(x-2)3) है, इसलिए (2) तीन बार शून्यक है। घन पूर्ण पहचान को पहचानना उपयोगी है। / This is (p(x)=(x-2)3), so (2) is a zero three times. Recognizing cube identities is useful.
A. \(0\) दोहराया हुआ मूल है/\(0\) is a repeated root
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(11\neq 0\), इसलिए \(11x^2=0\) को 11 से भाग देने पर \(x^2=0\) मिलता है। अतः \(x=0\) दोनों बार आता है, इसलिए 0 दोहराया हुआ मूल है। परीक्षा-युक्ति: \(ax^2=0\) में, जहाँ \(a\neq0\), मूल हमेशा \(x=0\) होता है और उसकी बहुलता 2 होती है। / Since \(11\neq 0\), dividing \(11x^2=0\) by 11 gives \(x^2=0\). Thus \(x=0\) occurs twice, so 0 is a repeated root. Exam tip: In an equation of the form \(ax^2=0\), where \(a\neq0\), the root is always \(x=0\) with multiplicity 2.
एक बहुपद का ग्राफ़ \\((-5,0)\\) पर \(x\)-अक्ष को काटता और \\((2,0)\\) पर \(x\)-अक्ष को छूता है। इस सूचना के आधार पर वास्तविक (distinct) शून्यकों की संख्या क्या है?
ग्राफ़ पर \\((-5,0)\\) पर काटना दर्शाता है कि \(x=-5\) एक वास्तविक शून्यक है (आम तौर पर विषम बहुलकता)। \\((2,0)\\) पर छूना दर्शाता है कि \(x=2\) भी वास्तविक शून्यक है (समान्यतः सम बहुलकता, जैसे गुणनफल में द्वि-गुणकता)। दोनों अलग-अलग \(x\)-मान हैं इसलिए अलग-अलग वास्तविक शून्यक की कुल संख्या 2 है। विकल्प तीन उस भ्रम पर आधारित हो सकता है कि multiplicity के साथ गिने तो \(x=2\) की बहुलकता 2 होने पर कुल शून्यक 3 हो सकते हैं — पर प्रश्न में distinct (अलग) शून्यक माँगे गए हैं। परीक्षा टिप: ध्यान दें कि प्रश्न में "distinct" या "with multiplicity" पूछा गया है; छूना (touch) हमेशा एक वास्तविक शून्यक देता है भले ही उसकी बहुलकता 2 या सम हो। / Crossing at \((-5,0)\) means \(x=-5\) is a real root (typically odd multiplicity). Touching at \((2,0)\) means \(x=2\) is also a real root (typically even multiplicity, e.g. multiplicity 2). These are two distinct real zeros, so the answer is two. The option "three" might arise if one counts multiplicities (for example multiplicity 1 at \(-5\) and multiplicity 2 at \(2\) gives three roots counting multiplicity), but the question asks for distinct real zeros. Exam tip: always check whether the question asks for distinct roots or roots counted with multiplicity when interpreting touch vs. cross.
A. वह बिंदु एक शून्यक है जिसकी गुणांक (multiplicity) सम है (जैसे \,2,4,...)/It is a zero of even multiplicity (e.g., multiplicity 2, 4, ...)
Explanation
Simple Explanation
जब बहुपद किसी अंक a पर x-अक्ष को केवल छूता है और पार नहीं करता तो उस बिंदु पर शून्यक की गुणांक सम होती है। उदाहरण के लिए \,(x-a)2 का ग्राफ x=a पर छूता है पर पार नहीं करता। सम गुणांक वाले शून्यक के दोनों तरफ बहुपद के मानों का चिन्ह एक सा रहता है, इसलिए अक्ष पार नहीं होता। विकल्प B गलत है क्योंकि विषम गुणांक (जैसे \,1 या 3) पर ग्राफ अक्ष को काटता है। परीक्षा-टिप: किसी निर्देशांक a पर जाँचें कि f(a)=0 और f'(a)=0 हो तो अक्सर यह पुनरावृत्ति शून्य (repeated root) यानी सम गुणांक का संकेत है। / If a polynomial's graph touches the x-axis at x=a without crossing, the root at a has even multiplicity. For example, (x-a)2 touches but does not cross. For even multiplicity the sign of f(x) on both sides of a is the same, so the curve does not pass through the axis. Option B is incorrect because an odd multiplicity root (e.g., 1 or 3) causes the graph to cross the axis. Exam tip: factor or check derivatives — if f(a)=0 and f'(a)=0 (and higher derivatives as needed), the root is likely repeated (even multiplicity).
A. दो बिंदु, (x=-5) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-5)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-5) और (14) हैं तथा ((x+5)2) के कारण (-5) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (11) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-5) and (14), and ((x+5)2) causes touching at (-5). Tip: the outside (11) does not change the zeroes.
A. ग्राफ (x)-अक्ष को काटेगा/The graph will cross the (x)-axis
Explanation
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((x-3)5) विषम घात का कारक है, इसलिए (x=3) पर कटान होगा। टिप: विषम घात में ग्राफ सामान्यतः अक्ष पार करता है। / ((x-3)5) is an odd-power factor, so the graph crosses at (x=3). Tip: at an odd power the graph usually crosses the axis.
(x-c=0) से (c) और (x+d=0) से (-d) मिलता है। टिप: अलग शून्यकों में दोहराव न गिनें। / From (x-c=0) we get (c), and from (x+d=0) we get (-d). Tip: do not count repetition among distinct zeroes.
A. (x=4) पर स्पर्श और (x=-3) पर कटान/Touches at (x=4) and crosses at (x=-3)
Explanation
Simple Explanation
सम घात वाला शून्यक स्पर्श और विषम घात वाला शून्यक कटान देता है। टिप: कारक की घात से ग्राफ का व्यवहार पहचानें। / An even-power zero gives touching and an odd-power zero gives crossing. Tip: identify graph behavior from the power of the factor.
A. दो बिंदु, (x=-4) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-4)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-4) और (12) हैं तथा ((x+4)2) के कारण (-4) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (9) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-4) and (12), and ((x+4)2) causes touching at (-4). Tip: the outside (9) does not change the zeroes.
B. ग्राफ (x)-अक्ष को स्पर्श करेगा/The graph will touch the (x)-axis
Explanation
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((x-7)4) सम घात का कारक है, इसलिए (x=7) पर स्पर्श होगा। टिप: सम घात में ग्राफ आमतौर पर लौटता है। / ((x-7)4) is an even-power factor, so the graph touches at (x=7). Tip: at an even power the graph usually turns back.
(x+a=0) से (-a) और (x-b=0) से (b) मिलता है। टिप: अलग शून्यकों में दोहराव न गिनें। / From (x+a=0) we get (-a), and from (x-b=0) we get (b). Tip: do not count repetition among distinct zeroes.
A. (x=-5) पर काटेगा और (x=2) पर स्पर्श करेगा/It crosses at (x=-5) and touches at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
विषम घात वाला शून्यक कटान और सम घात वाला शून्यक स्पर्श देता है। टिप: कारक की घात से ग्राफ का व्यवहार पहचानें। / An odd-power zero gives crossing and an even-power zero gives touching. Tip: identify graph behavior from the power of the factor.
A. दो बिंदु, (x=-3) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-3)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-3) और (10) हैं तथा ((x+3)2) के कारण (-3) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (7) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-3) and (10), and ((x+3)2) causes touching at (-3). Tip: the outside (7) does not change the zeroes.
ग्राफ के x‑अक्ष पर मिलने वाले x‑मान शून्यक होते हैं। दिए गए बिंदु (7,0) और (−4,0) से शून्यक 7 और −4 हैं। इसलिए इनका योग 7 + (−4) = 3। नोट: ‘‘स्पर्श’’ का मतलब है वह शून्यक सम गुणांकीय (even multiplicity) हो सकता है, परन्तु शून्यक का मान वही 7 है — सामान्य परीक्षा प्रश्नों में इन्हें एक‑एक करके लिया जाता है। निकटतम विकर्षक: −3 साइन में उलट है; 11 और −11 साधारण गणनात्मक गलतियां हैं। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर जहाँ भी ग्राफ मिलता है उसे शून्यक मानें; गुणांकीयता केवल बहुलकता बताती है, जब तक बहुलकता गिनने को न कहा गया हो, प्रत्येक शून्यक एक बार लें। / Zeroes are the x-values where the graph meets the x‑axis. From (7,0) and (−4,0) the zeroes are 7 and −4, so their sum is 7 + (−4) = 3. ‘‘Touches’’ indicates an even multiplicity and ‘‘crosses’’ an odd multiplicity, but the zero values remain 7 and −4 — standard exam questions treat these zeroes once each unless multiplicity is explicitly requested. Closest distractor: −3 is simply the wrong sign; 11 and −11 arise from arithmetic errors. Exam tip: count every x‑intercept as a zero; only account for multiplicity if the question asks for sum with multiplicity.
B. ग्राफ (x)-अक्ष को स्पर्श करेगा/The graph will touch the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
((x+4)2) सम घात का कारक है इसलिए (x=-4) पर स्पर्श होगा। टिप: घात (2) दोहराया शून्यक दिखाती है। / ((x+4)2) is an even-power factor, so the graph touches at (x=-4). Tip: power (2) shows a repeated zero.
B. (x=-6) पर स्पर्श और (x=2) पर कटान/Touches at (x=-6) and crosses at (x=2)
Explanation
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सम घात वाला कारक ((x+6)2) स्पर्श देता है और एकल कारक (x-2) कटान देता है। टिप: कारक की घात से ग्राफ का व्यवहार पहचानें। / The even-power factor ((x+6)2) gives touching and the single factor (x-2) gives crossing. Tip: identify graph behavior from the power of the factor.
A. दो बिंदु, (x=-2) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-2)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-2) और (7) हैं, तथा ((x+2)2) के कारण (-2) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (5) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-2) and (7), and ((x+2)2) causes touching at (-2). Tip: the outside (5) does not change the zeroes.
स्पर्श बिंदु \\((5,0)\\) और कटने का बिंदु \\((-3,0)\\) दोनों x के मान 5 और −3 को शून्यक बनाते हैं। इसलिए शून्यकों का योग है \\(5+(-3)=2\\)। नोट: स्पर्श भी शून्यक माना जाता है (आमतौर पर सम गुणता), और कटना विषम गुणता दिखाता है — पर इनसे शून्यकों के मान पर फर्क नहीं पड़ता। परीक्षात्मक टिप: x-अक्ष पर दिए गए बिंदुओं के x-कोऑर्डिनेट ही शून्यक होते हैं। / The x-intercepts \\((5,0)\\) and \\((-3,0)\\) correspond to zeroes 5 and −3. Their sum is \\(5+(-3)=2\\). Note: a touch-point is still a zero (usually even multiplicity) and a cross-point is a zero with odd multiplicity, but multiplicity does not change the numerical values of the zeroes. Exam tip: use the x-coordinates of the given intercepts as the roots directly.
B. ग्राफ (x)-अक्ष को स्पर्श करेगा/The graph will touch the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
((x-3)2) सम घात का कारक है, इसलिए (x=3) पर स्पर्श होगा। टिप: घात (2) दोहराया शून्यक दिखाती है। / ((x-3)2) is an even-power factor, so the graph touches at (x=3). Tip: power (2) shows a repeated zero.
A. (x=3) पर स्पर्श और (x=-4) पर कटान/Touches at (x=3) and crosses at (x=-4)
Explanation
Simple Explanation
सम घात वाला कारक ((x-3)2) स्पर्श देता है और एकल कारक (x+4) कटान देता है। टिप: गुणनखंड की घात से व्यवहार पहचानें। / The even-power factor ((x-3)2) gives touching and the single factor (x+4) gives crossing. Tip: identify behavior from factor power.
A. दो बिंदु, (x=2) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (2) और (-1) हैं, तथा ((x-2)2) के कारण (x=2) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (3) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (2) and (-1), and ((x-2)2) causes touching at (x=2). Tip: the outside (3) does not change the zeroes.
B. ग्राफ (x)-अक्ष को स्पर्श करेगा/The graph will touch the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
((x-2)2) सम घात का कारक है, इसलिए (x=2) पर स्पर्श होगा। टिप: घात (2) दोहराया शून्यक दिखाती है। / ((x-2)2) is an even-power factor, so the graph touches at (x=2). Tip: power (2) shows a repeated zero.
किसी बहुपद के ग्राफ़ का x-अक्ष को काटना या उससे स्पर्श करना दोनों ही स्थिति पर उस x का मान बहुपद के लिए \\((p(x)=0)\\) होता है; अतः वे दोनों वास्तविक शून्यक हैं। अधिक जानकारी के लिए: जहाँ ग्राफ़ काटता है (crossing) वहाँ शून्यक की बहुल्यता सामान्यतः विषम (odd) होती है (अक्सर 1), और जहाँ ग्राफ़ केवल स्पर्श करता है (touching) वहाँ बहुल्यता सम (even) होती है (\(\ge2\)) — पर दोनों ही मामलों में वह x जड़ होती है। सबसे करीबी गलत विकल्प B यह मानता है कि केवल \\(-3\\) जड़ है; यह गलत है क्योंकि स्पर्श का अर्थ भी जड़ होना है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु पर ग्राफ़ का x-अक्ष से व्यवहार (cut या touch) देखकर आप तय कर सकते हैं कि वह बिंदु शून्यक है और बहुल्यता के बारे में अनुमान (odd/even) लगा सकते हैं। / If a polynomial's graph either crosses or merely touches the x-axis at a value of x, the polynomial equals zero at that x (\\(p(x)=0\\)). Therefore both x = -3 (crossing) and x = 2 (touching) are real zeroes. Geometrically, crossing usually indicates an odd multiplicity (often 1) and touching indicates an even multiplicity (\\(\ge2\\)), but both imply roots. The closest distractor B is wrong because 'touching' still means the polynomial vanishes there. Exam tip: check whether the graph crosses or touches the axis — that tells you the presence of a root and suggests whether its multiplicity is odd or even.
यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल (m, 0) बिंदु पर छूता है और किसी अन्य स्थान पर x-अक्ष को नहीं काटता, तो उस बहुपद के अलग वास्तविक शून्यकों की संख्या क्या होगी?
छूने का अर्थ है कि उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य है, यानी \(p(m)=0\)। जब ग्राफ x-अक्ष को स्पर्श करता है और पार नहीं करता तो उस शून्य का गुणन‑घात (multiplicity) सम (even) होता है — उदाहरण के लिए 2 या 4 आदि। इसलिए, बावजूद गुणन‑घात के बड़े होने के, अलग वास्तविक शून्य का मान केवल एक ही होता है, अर्थात् x = m। नज़ीर के तौर पर, निकटतम भ्राँतिक (दो) गलत है क्योंकि दो अलग बिंदुओं पर छूने के लिए ग्राफ को x-अक्ष को कम-से-कम दो अलग स्थानों पर शून्य होना चाहिए। परीक्षा‑टिप: किसी छूने वाले बिंदु पर हमेशा जाँचें कि वह शून्य है (\(p(m)=0\)) और गुणन‑घात सम होने पर ग्राफ छूता है न कि पार करता है। / A touch at (m,0) means the polynomial satisfies \(p(m)=0\). If the graph only touches and does not cross the x-axis at that point, the root at x = m has even multiplicity (2, 4, ...). Regardless of that multiplicity, it represents a single distinct real zero — x = m. The distractor 'two' is incorrect because two distinct real zeros would require the graph to meet the x-axis at two different x-values. Exam tip: check \(p(m)=0\) and use root multiplicity (even → touch, odd → cross) to decide crossing vs touching.
A. दो अलग वास्तविक शून्यक हैं/There are two distinct real zeroes
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ x-अक्ष को दो अलग‑अलग बिंदुओं पर काटता है तो उन प्रत्येक बिंदु के अनुरूप अलग‑अलग वास्तविक शून्यक होते हैं। सामान्यतः किसी बिंदु पर काटना बताता है कि उस शून्यक की गुणसूत्रMultiplicity विषम (अक्सर 1) है। विकल्प B गलत है क्योंकि "दोहराया शून्यक" का अर्थ वही x‑मान दोहराया होना होता है (यानी एक ही बिंदु पर स्पर्श या विशेष व्यवहार), न कि दो अलग बिंदु। C और D स्पष्टतः असंगत हैं: यदि कोई वास्तविक शून्यक न होता तो कोई कटान नहीं होता और हर बिंदु शून्यक तब ही संभव है जब बहुपद शून्य बहुपद हो। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर मिलने वाले भिन्न बिंदु सीधे भिन्न वास्तविक मूल (roots) दर्शाते हैं; स्पर्श करने पर गुणसूत्र का सम-गुणांक (even multiplicity) देखने को मिलता है। / If the graph crosses the x-axis at two distinct points, each crossing corresponds to a different real root of the polynomial. Crossing typically indicates an odd multiplicity (often 1) at that root. Choice B is incorrect because a repeated root refers to the same x-value occurring multiple times (leading to touching or flattened behavior at one point), not two separate intersection points. C and D are clearly wrong: no real roots would give no intersections, and every point being a root would mean the polynomial is identically zero. Exam tip: count distinct intersection x-values for number of distinct real roots; check whether the graph crosses (odd multiplicity) or merely touches (even multiplicity).
कोई भी मान जब अलग‑अलग शून्यकों की सूची में लिया जाता है तो दोहराव को एक बार ही गिना जाता है। यहाँ (5) दोहराया हुआ है, इसलिए अलग शून्यक केवल (5) और (−1) होंगे। विकल्प C गलत है क्योंकि उसने (5) को दो बार शामिल किया है; विकल्प B और D गलत हैं क्योंकि वे एक मान को छोड़ देते हैं। परीक्षा‑टिप: अलग मानों की सूची बनाकर या एक सेट की तरह सोचकर दोहराव हटा दें। / When listing distinct zeroes, repeated roots are counted only once. Here 5 is repeated, so the distinct real zeroes are 5 and −1. Option C is incorrect because it lists 5 twice; options B and D are incorrect because each omits one of the values. Exam tip: write the values and remove duplicates (think of a set) to list distinct roots quickly.
कटना (cross) दर्शाता है कि उस शून्य की गुणांक (multiplicity) विषम है और स्पर्श (touch) दर्शाता है कि गुणांक सम है; परन्तु दोनों ही स्थितियों में \(p(x)=0\) हो जाता है। यहाँ दिए गए भिन्न x‑मान \(x=1\) और \(x=6\) हैं, इसलिए भिन्न वास्तविक शून्यक दो हैं। नज़दीकी भ्रमितिकर विकल्प “तीन” गलत है क्योंकि गुणांश की संख्या अलग‑अलग शून्यों की संख्या नहीं बढ़ाती — वही x‑मान ही अलग शून्य गिनते हैं। परीक्षात्मक टिप: केवल अलग‑अलग x‑मान गिनें; कटान/स्पर्श से गुणांक का प्रकार समझें पर वह भिन्न शून्यों की संख्या नहीं बदलता। / A crossing at a point means the zero has odd multiplicity and a touch means even multiplicity, but in both cases the polynomial satisfies \(p(x)=0\). The x‑values given are \(x=1\) and \(x=6\), so there are two distinct real zeros. The distractor “three” is incorrect because multiplicities (odd/even) do not create additional distinct x‑values. Exam tip: count distinct x‑values where the graph meets the axis; use crossing vs touching only to infer multiplicity, not the number of distinct zeros.
A. \(x=11\) वास्तविक शून्यक है/\(x=11\) is a real zero
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर स्पर्श करता है तो उस बिंदु पर फलन का मान शून्य होता है, अर्थात् उस x‑मान पर बहुपद का मान \(0\) होता है। अतः \(x=11\) निश्चित रूप से एक वास्तविक शून्यक (मूल) है। सामान्यतः ऐसा स्पर्श सम गुणता (even multiplicity) वाले शून्यक से जुड़ा होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि यदि ग्राफ अक्ष को स्पर्श कर रहा है तो उस बिंदु पर f(x)=0 अवश्य होगा; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि वे भिन्न x‑स्थान सुझाते हैं। परीक्षा टिप: 'छूना' भी 'मिलना' है — किसी x‑स्थान पर अक्ष को छूते ही वह x उस बहुपद का शून्यक है और अक्सर उसकी गुणता सम होती है। / If a graph touches the x‑axis at a point, the function value there is zero, so the corresponding x is a real root. Therefore x=11 is a real zero (usually with even multiplicity). Option B is wrong because touching implies f(11)=0; options C and D are incorrect because they give different x‑values. Exam tip: touching the x‑axis at x=a means x=a is a root (often of even multiplicity).
जब ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (a,0) पर छूता है, तो उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य होता है, यानी \,p(a)=0\. इसलिए x=a बहुपद का वास्तविक शून्यक है। सामान्यतः यदि शून्यक की गुणांकिता (multiplicity) सम (even) होती है तो ग्राफ उस बिंदु पर छूता है और पार नहीं करता; विषम (odd) गुणांकिता पर पार कर जाता है। विकल्प A गलत है क्योंकि छूने पर भी शून्यक बनता है। विकल्प D गलत है क्योंकि (a,0) x-अक्ष पर स्थित है न कि y-अक्ष पर। परीक्षात्मक सुझाव: किसी भी प्रत्याशी a को बहुपद में प्रत्यक्ष रूप से रखकर \,p(a)\ की गणना करें या बहुपद को गुणा-कारकों में तोड़कर गुणांकिता जाँचें। / If the graph touches the x-axis at (a,0), the polynomial evaluates to zero at x=a, i.e. \(p(a)=0\); thus x=a is a real zero. Typically an even multiplicity zero causes the graph to touch (not cross) the axis, while an odd multiplicity causes crossing. Option A is incorrect because touching still implies a zero. Option D is wrong because (a,0) lies on the x-axis, not the y-axis. Exam tip: substitute x=a into the polynomial to verify \(p(a)=0\), or factor the polynomial to check the multiplicity of the root.
x-अक्ष पर स्थित कोई भी इंटरसेप्ट का वास्तविक शून्यक उसका x-निर्देशांक होता है। बिंदु (-5,0) का x-मान -5 है, इसलिए वास्तविक शून्यक -5 है। 'ग्राफ वहाँ पार करता है' का अर्थ है शून्यक की गुणोत्तरी विषम (आम तौर पर 1) है, पर प्रश्न केवल शून्यक पूछ रहा है इसलिए उत्तर -5 ही है। सबसे नज़दीकी ग़लत विकल्प 5 है क्योंकि वहाँ का संकेत (+) बदल दिया गया है; 0 गलत है क्योंकि y-अक्ष का मान नहीं देखा गया; 'कोई वास्तविक शून्य नहीं' गलत है क्योंकि इंटरसेप्ट मौजूद है। टिप: इंटरसेप्ट का x-मान ही शून्यक होता है — संकेत नहीं बदलना। / The x-coordinate of an x-axis intersection gives the real zero. For the point (-5, 0) the x-value is -5, so the real zero is -5. The phrase 'graph crosses there' indicates an odd multiplicity (often 1) but the asked quantity is simply the x-value. The closest distractor 5 is wrong because it flips the sign; 0 is wrong because the intersection's x-coordinate is not 0; 'No real zero' is wrong because an intersection exists. Exam tip: read the ordered pair carefully and take the x-coordinate (including its sign).
