Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(\frac{1}{2}\) शून्यक है/\(\frac{1}{2}\) is a zero
Explanation
Simple Explanation
शून्यक भिन्न भी हो सकता है और छूना पर्याप्त है। जरूरी बात (p\left\(\frac{1}{2}\right\)=0) है। / A zero can be a fraction and touching is enough. The key point is (p\left\(\frac{1}{2}\right\)=0).
(x-2-6x+9=(x-3)2) है इसलिए शून्यक (3) दोहराया है। दोहराया शून्यक ग्राफ में छूने जैसा दिखता है। / (x-2-6x+9=(x-3)2), so (3) is a repeated zero. A repeated zero appears as touching on the graph.
दोहराए गुणनखंड से समान शून्यक (-2) मिलता है। द्विघात परवलय ऐसे बिंदु पर सामान्यतः (x)-अक्ष को छूता है। / The repeated factor gives equal zero (-2). A quadratic parabola generally touches the (x)-axis at such a point.
A. दो बिंदु, (x=-5) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-5)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-5) और (14) हैं तथा ((x+5)2) के कारण (-5) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (11) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-5) and (14), and ((x+5)2) causes touching at (-5). Tip: the outside (11) does not change the zeroes.
स्पर्श करने वाला बिंदु भी शून्यक होता है, अतः शून्यक 11 और -6 हैं। उनका गुणनफल 11 × (−6) = −66। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प 66 है जो संकेत (sign) भूलकर लिया गया उत्तर है — वास्तविक उत्तर का चिह्न नकारात्मक है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु पर "स्पर्श" का अर्थ है वह x मान भी एक शून्यक है (आमतौर पर सम बहुता), पर गुणनफल पर बस उन मानों का गुणा करना होता है। / A touching point is still a zero, so the zeroes are 11 and −6. Their product is 11 × (−6) = −66. The closest distractor 66 fails because it ignores the negative sign. Exam tip: "touches" means the x-value is a root (often with even multiplicity), but for product you simply multiply the zeros with their signs.
A. (x=4) पर स्पर्श और (x=-3) पर कटान/Touches at (x=4) and crosses at (x=-3)
Explanation
Simple Explanation
सम घात वाला शून्यक स्पर्श और विषम घात वाला शून्यक कटान देता है। टिप: कारक की घात से ग्राफ का व्यवहार पहचानें। / An even-power zero gives touching and an odd-power zero gives crossing. Tip: identify graph behavior from the power of the factor.
A. दो बिंदु, (x=-4) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-4)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-4) और (12) हैं तथा ((x+4)2) के कारण (-4) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (9) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-4) and (12), and ((x+4)2) causes touching at (-4). Tip: the outside (9) does not change the zeroes.
B. ग्राफ (x)-अक्ष को स्पर्श करेगा/The graph will touch the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
((x-7)4) सम घात का कारक है, इसलिए (x=7) पर स्पर्श होगा। टिप: सम घात में ग्राफ आमतौर पर लौटता है। / ((x-7)4) is an even-power factor, so the graph touches at (x=7). Tip: at an even power the graph usually turns back.
A. (x=-5) पर काटेगा और (x=2) पर स्पर्श करेगा/It crosses at (x=-5) and touches at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
विषम घात वाला शून्यक कटान और सम घात वाला शून्यक स्पर्श देता है। टिप: कारक की घात से ग्राफ का व्यवहार पहचानें। / An odd-power zero gives crossing and an even-power zero gives touching. Tip: identify graph behavior from the power of the factor.
A. दो बिंदु, (x=-3) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-3)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-3) और (10) हैं तथा ((x+3)2) के कारण (-3) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (7) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-3) and (10), and ((x+3)2) causes touching at (-3). Tip: the outside (7) does not change the zeroes.
ग्राफ के x‑अक्ष पर मिलने वाले x‑मान शून्यक होते हैं। दिए गए बिंदु (7,0) और (−4,0) से शून्यक 7 और −4 हैं। इसलिए इनका योग 7 + (−4) = 3। नोट: ‘‘स्पर्श’’ का मतलब है वह शून्यक सम गुणांकीय (even multiplicity) हो सकता है, परन्तु शून्यक का मान वही 7 है — सामान्य परीक्षा प्रश्नों में इन्हें एक‑एक करके लिया जाता है। निकटतम विकर्षक: −3 साइन में उलट है; 11 और −11 साधारण गणनात्मक गलतियां हैं। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर जहाँ भी ग्राफ मिलता है उसे शून्यक मानें; गुणांकीयता केवल बहुलकता बताती है, जब तक बहुलकता गिनने को न कहा गया हो, प्रत्येक शून्यक एक बार लें। / Zeroes are the x-values where the graph meets the x‑axis. From (7,0) and (−4,0) the zeroes are 7 and −4, so their sum is 7 + (−4) = 3. ‘‘Touches’’ indicates an even multiplicity and ‘‘crosses’’ an odd multiplicity, but the zero values remain 7 and −4 — standard exam questions treat these zeroes once each unless multiplicity is explicitly requested. Closest distractor: −3 is simply the wrong sign; 11 and −11 arise from arithmetic errors. Exam tip: count every x‑intercept as a zero; only account for multiplicity if the question asks for sum with multiplicity.
B. ग्राफ (x)-अक्ष को स्पर्श करेगा/The graph will touch the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
((x+4)2) सम घात का कारक है इसलिए (x=-4) पर स्पर्श होगा। टिप: घात (2) दोहराया शून्यक दिखाती है। / ((x+4)2) is an even-power factor, so the graph touches at (x=-4). Tip: power (2) shows a repeated zero.
B. (x=-6) पर स्पर्श और (x=2) पर कटान/Touches at (x=-6) and crosses at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
सम घात वाला कारक ((x+6)2) स्पर्श देता है और एकल कारक (x-2) कटान देता है। टिप: कारक की घात से ग्राफ का व्यवहार पहचानें। / The even-power factor ((x+6)2) gives touching and the single factor (x-2) gives crossing. Tip: identify graph behavior from the power of the factor.
A. दो बिंदु, (x=-2) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-2)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-2) और (7) हैं, तथा ((x+2)2) के कारण (-2) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (5) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-2) and (7), and ((x+2)2) causes touching at (-2). Tip: the outside (5) does not change the zeroes.
B. ग्राफ (x)-अक्ष को स्पर्श करेगा/The graph will touch the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
((x-3)2) सम घात का कारक है, इसलिए (x=3) पर स्पर्श होगा। टिप: घात (2) दोहराया शून्यक दिखाती है। / ((x-3)2) is an even-power factor, so the graph touches at (x=3). Tip: power (2) shows a repeated zero.
A. (x=3) पर स्पर्श और (x=-4) पर कटान/Touches at (x=3) and crosses at (x=-4)
Explanation
Simple Explanation
सम घात वाला कारक ((x-3)2) स्पर्श देता है और एकल कारक (x+4) कटान देता है। टिप: गुणनखंड की घात से व्यवहार पहचानें। / The even-power factor ((x-3)2) gives touching and the single factor (x+4) gives crossing. Tip: identify behavior from factor power.
A. दो बिंदु, (x=2) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (2) और (-1) हैं, तथा ((x-2)2) के कारण (x=2) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (3) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (2) and (-1), and ((x-2)2) causes touching at (x=2). Tip: the outside (3) does not change the zeroes.
स्पर्श बिंदु (4,0) का अर्थ है x=4 एक शून्य है और कटान बिंदु (-2,0) का अर्थ है x=-2 एक शून्य है। इसलिए शून्यकों का योग
\(4+(-2)=2\)। नज़दीकी भ्रमित करने वाला विकल्प: 6 तब गलत होगा जब कोई चिह्न भूलकर मात्राओँ को जोड़कर |4|+|2| = 6 लिख दे; यहाँ संकेत का चिह्न मायने रखता है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु पर ग्राफ का 'स्पर्श' भी रूट (zero) होता है — यह अक्सर even multiplicity देता है, पर योग में वही मान जोड़ते हैं। / A touch at (4,0) means x=4 is a zero and a crossing at (-2,0) means x=-2 is a zero. Thus the sum of zeros is \(4+(-2)=2\). Closest distractor: 6 would result from incorrectly adding absolute values (4+2) and ignoring the sign; that is incorrect. Exam tip: a touch-point is still a root (often with even multiplicity), and you must include its value when summing zeros.
B. ग्राफ (x)-अक्ष को स्पर्श करेगा/The graph will touch the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
((x-2)2) सम घात का कारक है, इसलिए (x=2) पर स्पर्श होगा। टिप: घात (2) दोहराया शून्यक दिखाती है। / ((x-2)2) is an even-power factor, so the graph touches at (x=2). Tip: power (2) shows a repeated zero.
तीनों अलग (x)-मानों पर ग्राफ (x)-अक्ष से मिलता है। टिप: स्पर्श और कटान दोनों शून्यक देते हैं। / The graph meets the (x)-axis at three distinct (x)-values. Tip: both touching and crossing give zeroes.
C. (4) और (-6) दोनों शून्यक हैं/Both (4) and (-6) are zeroes
Explanation
Simple Explanation
स्पर्श और कटान दोनों स्थितियों में ग्राफ (x)-अक्ष से मिलता है। टिप: शून्यक पहचानते समय मिलना देखें, पार करना जरूरी नहीं। / In both touching and crossing, the graph meets the (x)-axis. Tip: for a zero, meeting the axis is enough, crossing is not necessary.
जब ग्राफ x-अक्ष को काटता है तो वह उस बिंदु पर एक सरल शून्यक (odd multiplicity) दर्शाता है; काटने पर x=2 एक शून्यक है। जब ग्राफ स्पर्श करता है तो वह बिंदु एक द्वैतीय या सम गुणांक वाले शून्यक (even multiplicity) को दर्शाता है; स्पर्श करने पर x=−1 एक शून्यक है। दोनों बिंदु अलग x-मान हैं इसलिए कुल अलग वास्तविक शून्यक 2 हैं। नज़दीकी ग़लत विकल्प — "तीन": स्पर्श का अर्थ नया अलग x-मान नहीं बनता, यह सिर्फ उसी x-मान का सम गुणांक दर्शाता है। परीक्षात्मक टिप: शून्यकों की संख्या गिनते समय गुणांक (multiplicity) न देखकर अलग x-मूल्यों की गिनती करें। / Crossing the x-axis at a point indicates a root with odd multiplicity (a simple real zero); crossing at (2,0) gives the root x=2. Touching the axis indicates a root with even multiplicity; touching at (−1,0) gives the root x=−1. These are two distinct x-values, so there are 2 distinct real zeros. Why "three" is wrong: touching does not create an extra distinct x-value, it only implies even multiplicity at x=−1. Exam tip: count distinct x-values of intercepts; use multiplicity only to determine crossing vs touching behavior.
