crossing se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
13 questions tagged with crossing.
What are lines that cut each other called?
B. प्रतिच्छेदी रेखाएंIntersecting lines
प्रतिच्छेदी रेखाएं किसी बिंदु पर मिलती या काटती हैं। परीक्षा में intersecting को crossing से याद रखें। / Intersecting lines meet or cross at a point. Exam tip: remember intersecting as crossing.
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A. (x=9) एक शून्यक (root) है(x=9) is a zero
बिंदु (9,0) x-अक्ष पर है, इसलिए बहुपद p(x) के लिए p(9)=0 होगा — अर्थात् x=9 एक शून्यक है। साथ ही ग्राफ ऊपर से नीचे जाता है: यह संकेत देता है कि ग्राफ x-अक्ष को पार कर रहा है, अतः वह जड़ सम क्रम पर छूकर लौटने के बजाय पार करने वाली वस्तु है; अर्थात् यह आम तौर पर विषम क्रम (odd order) की जड़ होगी। विकल्प B गलत है क्योंकि y=9 किसी x-अक्ष पर स्थित बिंदु का अर्थ नहीं बताता; विकल्प C गलत है क्योंकि एक स्थिर (nonzero constant) फलन x-अक्ष को पार नहीं करता; विकल्प D विपरीत है क्योंकि बिंदु सीधे x-अक्ष पर होने से वह शून्यक निश्चित है। परीक्षा-सूचना: किसी बिंदु पर ग्राफ का x-अक्ष को पार करना उसे शून्यक और विषम क्रम की जड़ संकेत करता है; यदि ग्राफ केवल स्पर्श करके लौटे तो वह सम क्रम की जड़ होगी। / The point (9,0) lies on the x-axis, so for the polynomial p(x) we have \(p(9)=0\); hence x=9 is a root (zero). The fact that the graph goes from above to below shows the curve crosses the axis at that point, which indicates a root of odd order (often a simple root). Option B is wrong because y=9 is not implied by a point on the x-axis; option C is wrong because a nonzero constant polynomial does not cross the x-axis; option D contradicts the given point lying on the x-axis. Exam tip: A crossing of the x-axis implies a zero with odd multiplicity; touching-and-returning implies even multiplicity.
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A. -66
स्पर्श करने वाला बिंदु भी शून्यक होता है, अतः शून्यक 11 और -6 हैं। उनका गुणनफल 11 × (−6) = −66। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प 66 है जो संकेत (sign) भूलकर लिया गया उत्तर है — वास्तविक उत्तर का चिह्न नकारात्मक है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु पर "स्पर्श" का अर्थ है वह x मान भी एक शून्यक है (आमतौर पर सम बहुता), पर गुणनफल पर बस उन मानों का गुणा करना होता है। / A touching point is still a zero, so the zeroes are 11 and −6. Their product is 11 × (−6) = −66. The closest distractor 66 fails because it ignores the negative sign. Exam tip: "touches" means the x-value is a root (often with even multiplicity), but for product you simply multiply the zeros with their signs.
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If (p(x)=x(x+6)4(x-3)5), what will be the graph behavior at (x=3)?
A. ग्राफ (x)-अक्ष को काटेगाThe graph will cross the (x)-axis
((x-3)5) विषम घात का कारक है, इसलिए (x=3) पर कटान होगा। टिप: विषम घात में ग्राफ सामान्यतः अक्ष पार करता है। / ((x-3)5) is an odd-power factor, so the graph crosses at (x=3). Tip: at an odd power the graph usually crosses the axis.
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If (p(x)=(x-4)4(x+3)3), where will the graph touch and where will it cross?
A. (x=4) पर स्पर्श और (x=-3) पर कटानTouches at (x=4) and crosses at (x=-3)
सम घात वाला शून्यक स्पर्श और विषम घात वाला शून्यक कटान देता है। टिप: कारक की घात से ग्राफ का व्यवहार पहचानें। / An even-power zero gives touching and an odd-power zero gives crossing. Tip: identify graph behavior from the power of the factor.
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If (p(x)=(x+5)3(x-2)2), where will the graph cross and where will it touch?
A. (x=-5) पर काटेगा और (x=2) पर स्पर्श करेगाIt crosses at (x=-5) and touches at (x=2)
विषम घात वाला शून्यक कटान और सम घात वाला शून्यक स्पर्श देता है। टिप: कारक की घात से ग्राफ का व्यवहार पहचानें। / An odd-power zero gives crossing and an even-power zero gives touching. Tip: identify graph behavior from the power of the factor.
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If a graph touches the x-axis at (7,0) and crosses it at (-4,0), what is the sum of the zeroes?
A. 3
ग्राफ के x‑अक्ष पर मिलने वाले x‑मान शून्यक होते हैं। दिए गए बिंदु (7,0) और (−4,0) से शून्यक 7 और −4 हैं। इसलिए इनका योग 7 + (−4) = 3। नोट: ‘‘स्पर्श’’ का मतलब है वह शून्यक सम गुणांकीय (even multiplicity) हो सकता है, परन्तु शून्यक का मान वही 7 है — सामान्य परीक्षा प्रश्नों में इन्हें एक‑एक करके लिया जाता है। निकटतम विकर्षक: −3 साइन में उलट है; 11 और −11 साधारण गणनात्मक गलतियां हैं। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर जहाँ भी ग्राफ मिलता है उसे शून्यक मानें; गुणांकीयता केवल बहुलकता बताती है, जब तक बहुलकता गिनने को न कहा गया हो, प्रत्येक शून्यक एक बार लें। / Zeroes are the x-values where the graph meets the x‑axis. From (7,0) and (−4,0) the zeroes are 7 and −4, so their sum is 7 + (−4) = 3. ‘‘Touches’’ indicates an even multiplicity and ‘‘crosses’’ an odd multiplicity, but the zero values remain 7 and −4 — standard exam questions treat these zeroes once each unless multiplicity is explicitly requested. Closest distractor: −3 is simply the wrong sign; 11 and −11 arise from arithmetic errors. Exam tip: count every x‑intercept as a zero; only account for multiplicity if the question asks for sum with multiplicity.
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If (p(x)=(x+6)2(x-2)), where will the graph touch and where will it cross?
B. (x=-6) पर स्पर्श और (x=2) पर कटानTouches at (x=-6) and crosses at (x=2)
सम घात वाला कारक ((x+6)2) स्पर्श देता है और एकल कारक (x-2) कटान देता है। टिप: कारक की घात से ग्राफ का व्यवहार पहचानें। / The even-power factor ((x+6)2) gives touching and the single factor (x-2) gives crossing. Tip: identify graph behavior from the power of the factor.
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If (p(x)=(x-3)2(x+4)), where will the graph touch and where will it cross?
A. (x=3) पर स्पर्श और (x=-4) पर कटानTouches at (x=3) and crosses at (x=-4)
सम घात वाला कारक ((x-3)2) स्पर्श देता है और एकल कारक (x+4) कटान देता है। टिप: गुणनखंड की घात से व्यवहार पहचानें। / The even-power factor ((x-3)2) gives touching and the single factor (x+4) gives crossing. Tip: identify behavior from factor power.
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If a graph touches the x-axis at (4,0) and crosses it at (-2,0), what is the sum of the zeros?
A. 2
स्पर्श बिंदु (4,0) का अर्थ है x=4 एक शून्य है और कटान बिंदु (-2,0) का अर्थ है x=-2 एक शून्य है। इसलिए शून्यकों का योग \(4+(-2)=2\)। नज़दीकी भ्रमित करने वाला विकल्प: 6 तब गलत होगा जब कोई चिह्न भूलकर मात्राओँ को जोड़कर |4|+|2| = 6 लिख दे; यहाँ संकेत का चिह्न मायने रखता है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु पर ग्राफ का 'स्पर्श' भी रूट (zero) होता है — यह अक्सर even multiplicity देता है, पर योग में वही मान जोड़ते हैं। / A touch at (4,0) means x=4 is a zero and a crossing at (-2,0) means x=-2 is a zero. Thus the sum of zeros is \(4+(-2)=2\). Closest distractor: 6 would result from incorrectly adding absolute values (4+2) and ignoring the sign; that is incorrect. Exam tip: a touch-point is still a root (often with even multiplicity), and you must include its value when summing zeros.
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B. तीनThree
तीनों अलग (x)-मानों पर ग्राफ (x)-अक्ष से मिलता है। टिप: स्पर्श और कटान दोनों शून्यक देते हैं। / The graph meets the (x)-axis at three distinct (x)-values. Tip: both touching and crossing give zeroes.
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C. (4) और (-6) दोनों शून्यक हैंBoth (4) and (-6) are zeroes
स्पर्श और कटान दोनों स्थितियों में ग्राफ (x)-अक्ष से मिलता है। टिप: शून्यक पहचानते समय मिलना देखें, पार करना जरूरी नहीं। / In both touching and crossing, the graph meets the (x)-axis. Tip: for a zero, meeting the axis is enough, crossing is not necessary.
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B. दोTwo
जब ग्राफ x-अक्ष को काटता है तो वह उस बिंदु पर एक सरल शून्यक (odd multiplicity) दर्शाता है; काटने पर x=2 एक शून्यक है। जब ग्राफ स्पर्श करता है तो वह बिंदु एक द्वैतीय या सम गुणांक वाले शून्यक (even multiplicity) को दर्शाता है; स्पर्श करने पर x=−1 एक शून्यक है। दोनों बिंदु अलग x-मान हैं इसलिए कुल अलग वास्तविक शून्यक 2 हैं। नज़दीकी ग़लत विकल्प — "तीन": स्पर्श का अर्थ नया अलग x-मान नहीं बनता, यह सिर्फ उसी x-मान का सम गुणांक दर्शाता है। परीक्षात्मक टिप: शून्यकों की संख्या गिनते समय गुणांक (multiplicity) न देखकर अलग x-मूल्यों की गिनती करें। / Crossing the x-axis at a point indicates a root with odd multiplicity (a simple real zero); crossing at (2,0) gives the root x=2. Touching the axis indicates a root with even multiplicity; touching at (−1,0) gives the root x=−1. These are two distinct x-values, so there are 2 distinct real zeros. Why "three" is wrong: touching does not create an extra distinct x-value, it only implies even multiplicity at x=−1. Exam tip: count distinct x-values of intercepts; use multiplicity only to determine crossing vs touching behavior.
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