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sign change MCQ Questions for Class 10

sign change se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.

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3 questions tagged with sign change.

Question 1/3 Expert Mathematics Polynomials Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Class 10 Level 24

यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष के ऊपर से नीचे की ओर पार करता है और बिंदु (9,0) उस पार के ठीक बीच में स्थित है, तो (9,0) क्या दर्शाता है?

If the graph of a polynomial goes from above the x-axis to below it and the point (9,0) lies exactly at that crossing, what does (9,0) represent?

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Correct Answer

A. (x=9) एक शून्यक (root) है(x=9) is a zero

Explanation

Simple Explanation

बिंदु (9,0) x-अक्ष पर है, इसलिए बहुपद p(x) के लिए p(9)=0 होगा — अर्थात् x=9 एक शून्यक है। साथ ही ग्राफ ऊपर से नीचे जाता है: यह संकेत देता है कि ग्राफ x-अक्ष को पार कर रहा है, अतः वह जड़ सम क्रम पर छूकर लौटने के बजाय पार करने वाली वस्तु है; अर्थात् यह आम तौर पर विषम क्रम (odd order) की जड़ होगी। विकल्प B गलत है क्योंकि y=9 किसी x-अक्ष पर स्थित बिंदु का अर्थ नहीं बताता; विकल्प C गलत है क्योंकि एक स्थिर (nonzero constant) फलन x-अक्ष को पार नहीं करता; विकल्प D विपरीत है क्योंकि बिंदु सीधे x-अक्ष पर होने से वह शून्यक निश्चित है। परीक्षा-सूचना: किसी बिंदु पर ग्राफ का x-अक्ष को पार करना उसे शून्यक और विषम क्रम की जड़ संकेत करता है; यदि ग्राफ केवल स्पर्श करके लौटे तो वह सम क्रम की जड़ होगी। / The point (9,0) lies on the x-axis, so for the polynomial p(x) we have \(p(9)=0\); hence x=9 is a root (zero). The fact that the graph goes from above to below shows the curve crosses the axis at that point, which indicates a root of odd order (often a simple root). Option B is wrong because y=9 is not implied by a point on the x-axis; option C is wrong because a nonzero constant polynomial does not cross the x-axis; option D contradicts the given point lying on the x-axis. Exam tip: A crossing of the x-axis implies a zero with odd multiplicity; touching-and-returning implies even multiplicity.

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Question 2/3 Medium Mathematics Polynomials Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Class 10 Level 23

यदि बहुपद p(x) का ग्राफ निरन्तर है और \(p(-1)>0\) तथा \(p(4)<0\) है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?

If the polynomial \(p(x)\) is continuous and \(p(-1)>0\) while \(p(4)<0\), which of the following statements is true?

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Correct Answer

B. कैसे भी, \(-1\) और \(4\) के बीच कम से कम एक x-अक्ष पर अन्तरसन्निकटन होगाThere is at least one x-axis intersection between \(-1\) and \(4\)

Explanation

Simple Explanation

क्यों सही: बहुपद फलन हमेशा निरन्तर होता है। यदि किसी निरन्तर फलन के दो बिंदुओं पर मानों के चिह्न बदले हों (यहाँ \(p(-1)>0\) और \(p(4)<0\)), तो Intermediate Value Theorem के अनुसार उनके बीच किसी स्थान पर ऐसा मान होगा जहाँ \(p(x)=0\)। इसलिए कम से कम एक x-अक्ष कटान मौजूद होगा। क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: A गलत है क्योंकि केवल \(p(-1)>0\) और \(p(4)<0\) होना यह नहीं दर्शाता कि दोनों बिंदु खुद शून्य हैं। C गलत है क्योंकि संकेत परिवर्तन होने पर शून्य का होना असम्भव नहीं बल्कि अनिवार्य है। D गलत है क्योंकि y-अक्ष पर कटना x-अक्ष पर कटने से सम्बन्धित नहीं है और यहाँ उस बारे में कोई जानकारी नहीं दी गयी। टिप: दो बिंदुओं पर फलन के चिह्न देखकर Intermediate Value Theorem लागू करें — संकेत बदलते हैं तो बीच में रूट जरूरी है। / Why correct: A polynomial is continuous everywhere. If a continuous function takes opposite signs at two points (here \(p(-1)>0\) and \(p(4)<0\)), the Intermediate Value Theorem guarantees at least one point in between where \(p(x)=0\). Hence there is at least one x-axis intersection in \((-1,4)\). Why other options are wrong: A is wrong because positive at \(-1\) and negative at \(4\) does not mean those points themselves are zeros. C contradicts the sign change — a root must exist. D is irrelevant: cutting the y-axis is unrelated and not implied by the given values. Exam tip: For polynomials check values at two x's — a sign change implies a root between them by the Intermediate Value Theorem.

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Question 3/3 Medium Mathematics Polynomials Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Class 10 Level 22

यदि (p(2)) धनात्मक और (p(5)) ऋणात्मक है, तो ग्राफ के बारे में कौन सा कथन सबसे उचित है?

If (p(2)) is positive and (p(5)) is negative, which statement about the graph is most appropriate?

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Correct Answer

A. ग्राफ (x=2) और (x=5) के बीच (x)-अक्ष को पार कर सकता हैThe graph may cross the (x)-axis between (x=2) and (x=5)

Explanation

Simple Explanation

चिह्न बदलना बीच में (x)-अक्ष से मिलने का संकेत देता है। टिप: बहुपद के ग्राफ सतत होते हैं। / A change of sign indicates a meeting with the (x)-axis in between. Tip: polynomial graphs are continuous.

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