यदि बहुपद p(x) का ग्राफ निरन्तर है और \(p(-1)>0\) तथा \(p(4)<0\) है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?

Correct Answer: B. कैसे भी, \(-1\) और \(4\) के बीच कम से कम एक x-अक्ष पर अन्तरसन्निकटन होगा / There is at least one x-axis intersection between \(-1\) and \(4\). Explanation: क्यों सही: बहुपद फलन हमेशा निरन्तर होता है। यदि किसी निरन्तर फलन के दो बिंदुओं पर मानों के चिह्न बदले हों (यहाँ \(p(-1)>0\) और \(p(4)<0\)), तो Intermediate Value Theorem के अनुसार उनके बीच किसी स्थान पर ऐसा मान होगा जहाँ \(p(x)=0\)। इसलिए कम से कम एक x-अक्ष कटान मौजूद होगा। क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: A गलत है क्योंकि केवल \(p(-1)>0\) और \(p(4)<0\) होना यह नहीं दर्शाता कि दोनों बिंदु खुद शून्य हैं। C गलत है क्योंकि संकेत परिवर्तन होने पर शून्य का होना असम्भव नहीं बल्कि अनिवार्य है। D गलत है क्योंकि y-अक्ष पर कटना x-अक्ष पर कटने से सम्बन्धित नहीं है और यहाँ उस बारे में कोई जानकारी नहीं दी गयी। टिप: दो बिंदुओं पर फलन के चिह्न देखकर Intermediate Value Theorem लागू करें — संकेत बदलते हैं तो बीच में रूट जरूरी है। / Why correct: A polynomial is continuous everywhere. If a continuous function takes opposite signs at two points (here \(p(-1)>0\) and \(p(4)<0\)), the Intermediate Value Theorem guarantees at least one point in between where \(p(x)=0\). Hence there is at least one x-axis intersection in \((-1,4)\). Why other options are wrong: A is wrong because positive at \(-1\) and negative at \(4\) does not mean those points themselves are zeros. C contradicts the sign change — a root must exist. D is irrelevant: cutting the y-axis is unrelated and not implied by the given values. Exam tip: For polynomials check values at two x's — a sign change implies a root between them by the Intermediate Value Theorem.