Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. (x)-अक्ष पर (p(x)=0) होता है/On the (x)-axis (p(x)=0)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक तभी मिलता है जब आलेख (x)-अक्ष पर हो। टिप: (y=0) को हमेशा पहचानें। / A zero is obtained only when the graph lies on the (x)-axis. Tip: always identify (y=0).
कटान बिंदुओं के पहले निर्देशांक शून्यक होते हैं। टिप: दूसरे निर्देशांक को (0) देखकर बिंदु चुनें। / The first coordinates of intersection points are the zeroes. Tip: choose points whose second coordinate is (0).
मध्य मान \(\frac{-4+6}{2}=1\) है। टिप: दो शून्यकों का औसत उनके बीच का मध्य देता है। / The middle value is \(\frac{-4+6}{2}=1\). Tip: the average of two zeroes gives the middle value.
कारक शून्य करने पर (x=-7) और (x=1) मिलते हैं। टिप: हर कारक को अलग से (0) रखें। / Setting the factors equal to zero gives (x=-7) and (x=1). Tip: set each factor separately to (0).
स्पर्श और कटान दोनों (x)-अक्ष से मिलना दिखाते हैं। टिप: अलग (x)-मान गिनें। / Both touching and crossing show meeting the (x)-axis. Tip: count distinct (x)-values.
जहाँ (p(x)=0) है वहीं शून्यक मिलता है। टिप: तालिका में (0) वाला फलन मान खोजें। / A zero occurs where (p(x)=0). Tip: find the function value (0) in the table.
A. आलेख ((0,-3)) से गुजरता है/The graph passes through ((0,-3))
Explanation
Simple Explanation
(p(0)=-3) (y)-अक्ष कटान बताता है, शून्यक नहीं। टिप: (0) शून्यक तभी होगा जब (p(0)=0) हो। / The value (p(0)=-3) shows a (y)-intercept, not a zero. Tip: (0) is a zero only if (p(0)=0).
आलेख (x)-अक्ष से नहीं मिलता इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: शीर्ष की स्थिति से भी कटान का अंदाजा लग सकता है। / The graph does not meet the (x)-axis, so there is no real zero. Tip: the vertex position can help judge intersections.
(x-2-2x=x(x-2)) इसलिए शून्यक (0) और (2) हैं। टिप: पहले सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-2-2x=x(x-2)), so the zeroes are (0) and (2). Tip: factor out the common term first.
शून्यक दिखाने वाले बिंदुओं में (y=0) होता है। टिप: बिंदु चुनते समय दूसरा निर्देशांक देखें। / Points showing zeroes have (y=0). Tip: check the second coordinate when choosing points.
वर्ग कारक से एक दोहराया शून्यक (6) मिलता है। टिप: दोहराया शून्यक अक्सर स्पर्श दिखाता है। / The squared factor gives one repeated zero (6). Tip: a repeated zero often shows touching.
चार अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (4) होना चाहिए। टिप: शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For four distinct real zeroes, the degree must be at least (4). Tip: the number of zeroes cannot exceed the degree.
B. आलेख ((0,5)) से गुजरता है/The graph passes through ((0,5))
Explanation
Simple Explanation
((0,5)) में (p(0)=5) है इसलिए (0) शून्यक नहीं है। टिप: (x=0) तभी शून्यक है जब (y=0) भी हो। / At ((0,5)), (p(0)=5), so (0) is not a zero. Tip: (x=0) is a zero only when (y=0) too.
(p(a)=0) होने पर बिंदु ((a,0)) बनता है। टिप: फलन मान को दूसरे निर्देशांक में रखें। / When (p(a)=0), the point is ((a,0)). Tip: place the function value as the second coordinate.
(x-2+4x+4=(x+2)2) इसलिए केवल एक अलग शून्यक है। टिप: पूर्ण वर्ग को पहचानें। / (x-2+4x+4=(x+2)2), so there is only one distinct zero. Tip: recognize a perfect square.
शून्यक (-7) और (2) हैं इसलिए गुणनफल (-14) है। टिप: चिह्नों का ध्यान रखें। / The zeroes are (-7) and (2), so the product is (-14). Tip: pay attention to signs.
कटान बिंदु का (x)-मान (-5) शून्यक है। टिप: ऋण चिह्न को न बदलें। / The (x)-value (-5) of the intersection point is the zero. Tip: do not change the negative sign.
B. यह शून्यकों को नहीं बदलता/It does not change the zeroes
Explanation
Simple Explanation
अशून्य स्थिर गुणक शून्यकों को नहीं बदलता। टिप: शून्यक कारकों से निकालें। / A non-zero constant multiplier does not change the zeroes. Tip: find zeroes from the factors.
A. यह (x=1) पर स्पर्श करेगा/It will touch at (x=1)
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष (x)-अक्ष पर है इसलिए परवलय वहाँ स्पर्श करता है। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो स्पर्श की जाँच करें। / The vertex is on the (x)-axis, so the parabola touches there. Tip: if the vertex has (y=0), check for touching.
B. बीच में कम से कम एक (x)-अक्ष कटान हो सकता है/There may be at least one (x)-axis intersection between them
Explanation
Simple Explanation
चिह्न बदलने से बीच में (p(x)=0) होने का संकेत मिलता है। टिप: बहुपद आलेख टूटता नहीं है। / A sign change suggests (p(x)=0) in between. Tip: a polynomial graph does not break.
(x-2-6x+9=(x-3)2) इसलिए स्पर्श बिंदु ((3,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग का शून्यक तुरंत पहचानें। / (x-2-6x+9=(x-3)2), so the touching point is ((3,0)). Tip: identify the zero of a perfect square quickly.
हर अलग कटान या स्पर्श बिंदु एक अलग वास्तविक शून्यक देता है। टिप: अलग बिंदुओं को गिनें। / Each distinct crossing or touching point gives a distinct real zero. Tip: count distinct points.
एक ही (x)-मान (4) दोहराया गया है इसलिए अलग शून्यक एक है। टिप: अलग शून्यक में दोहराव न गिनें। / The same (x)-value (4) is repeated, so there is one distinct zero. Tip: do not count repetition for distinct zeroes.
((0,-1)) में \(y\neq0\) है इसलिए यह शून्यक नहीं दिखाता। टिप: यह (y)-अक्ष कटान है। / ((0,-1)) has \(y\neq0\), so it does not show a zero. Tip: it is a (y)-axis intercept.
संख्या रेखा पर (-2), (-9) के दाईं ओर है। टिप: कम ऋणात्मक संख्या बड़ी होती है। / On the number line, (-2) is to the right of (-9). Tip: the less negative number is greater.
शून्यक (-10) और (0) हैं इसलिए गुणनफल (0) है। टिप: (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होता है। / The zeroes are (-10) and (0), so the product is (0). Tip: multiplying by (0) gives (0).
C. यह (x)-अक्ष के समांतर है और उसे नहीं काटता/It is parallel to the (x)-axis and does not cut it
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=5) कभी (0) नहीं होता। टिप: अशून्य स्थिर बहुपद का वास्तविक शून्यक नहीं होता। / (p(x)=5) is never (0). Tip: a non-zero constant polynomial has no real zero.
तीन अलग (x)-मान तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु देते हैं। टिप: (p(a)=0) से ((a,0)) मिलता है। / Three distinct (x)-values give three distinct (x)-axis points. Tip: (p(a)=0) gives ((a,0)).
सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है, \(\frac{-2+6}{2}=2\)। टिप: परवलय में दो शून्यकों का औसत उपयोगी होता है। / The axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes, \(\frac{-2+6}{2}=2\). Tip: the average of two zeroes is useful for a parabola.
C. कोई वास्तविक शून्यक नहीं है/It has no real zero
Explanation
Simple Explanation
यह ((x+1)2+4) है जो हमेशा धनात्मक है। टिप: यदि मान कभी (0) न बने तो (x)-अक्ष कटान नहीं होगा। / It is ((x+1)2+4), which is always positive. Tip: if the value never becomes (0), there is no (x)-axis intersection.
\(2x^2-8=0\) से \(x^2=4\) और \(x=\pm2\) मिलता है। टिप: पहले समान गुणक से सरल करें। / From \(2x^2-8=0\), \(x^2=4\) and \(x=\pm2\). Tip: simplify by the common factor first.
कटान का पहला निर्देशांक (r) ही शून्यक है और (r<0) है। टिप: प्रतीकात्मक प्रश्न में भी नियम वही रहता है। / The first coordinate (r) of the intersection is the zero, and (r<0). Tip: the same rule works in symbolic questions.
ऋण चिह्न शून्यक नहीं बदलता और ((x+3)2=0) से (x=-3) है। टिप: बाहर का गुणक शून्यक नहीं बदलता। / The negative sign does not change the zero, and ((x+3)2=0) gives (x=-3). Tip: an outside multiplier does not change the zero.
शून्यक (a) और (-a) हैं जिनका योग (0) है। टिप: विपरीत संख्याएँ जोड़ने पर (0) देती हैं। / The zeroes are (a) and (-a), whose sum is (0). Tip: opposite numbers add to (0).
दोहराया (2) अलग शून्यक में एक बार गिना जाता है। टिप: अलग शून्यक में समान मान पुनः न लिखें। / The repeated (2) is counted once for distinct zeroes. Tip: do not rewrite the same value for distinct zeroes.
(x-3-x=x(x-1)(x+1)) इसलिए शून्यक (-1), (0), (1) हैं। टिप: पहले सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-x=x(x-1)(x+1)), so the zeroes are (-1), (0), (1). Tip: factor out the common term first.
स्पर्श बिंदु पर भी फलन मान (0) होता है। टिप: छूना भी (x)-अक्ष से मिलना है। / At a touching point, the function value is also (0). Tip: touching also means meeting the (x)-axis.
(x-2-7x+12=(x-3)(x-4)) इसलिए शून्यक (3) और (4) हैं। टिप: गुणनखंड बनाकर कटान बिंदु लिखें। / (x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), so the zeroes are (3) and (4). Tip: factor and then write intersection points.
औसत \(\frac{3+12}{2}=7.5\) है। टिप: औसत में योग को (2) से भाग दें। / The average is \(\frac{3+12}{2}=7.5\). Tip: divide the sum by (2) for the average.
B. शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर हैं/The zeroes are equally distant from the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(-5) और (5) (y)-अक्ष से बराबर दूरी पर हैं। टिप: विपरीत शून्यक सममित स्थिति दिखाते हैं। / (-5) and (5) are equally distant from the (y)-axis. Tip: opposite zeroes show symmetric positions.
केवल (p(2)=0) है इसलिए ((2,0)) (x)-अक्ष पर होगा। टिप: असमानता वाले मान शून्यक नहीं बताते। / Only (p(2)=0), so ((2,0)) lies on the (x)-axis. Tip: inequality values do not show zeroes.
शून्यक (-6), (-2), (4) हैं और (4) सबसे बड़ा है। टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर का मान बड़ा होता है। / The zeroes are (-6), (-2), (4), and (4) is the greatest. Tip: the value to the right on the number line is greater.
तीन अलग कारक तीन अलग शून्यक (1), (4), (-2) देते हैं। टिप: हर रैखिक कारक एक संभावित कटान देता है। / The three different factors give three distinct zeroes (1), (4), (-2). Tip: each linear factor gives a possible intersection.
