Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
जहाँ (y=0) है वहीं शून्यक मिलते हैं। टिप: केवल (x)-अक्ष पर पड़े बिंदु चुनें। / Zeroes occur where (y=0). Tip: choose only points lying on the (x)-axis.
औसत \(\frac{-5+3}{2}=-1\) है। टिप: दो शून्यकों का औसत परवलय के मध्य से जुड़ता है। / The average is \(\frac{-5+3}{2}=-1\). Tip: the average of two zeroes is linked to the middle of a parabola.
कारक शून्य करने पर (x=-2) और (x=7) मिलते हैं। टिप: शून्यक को ((x,0)) बिंदु में बदलें। / Setting the factors to zero gives (x=-2) and (x=7). Tip: convert each zero into the point ((x,0)).
शून्यक (-9), (-1), (4) हैं और सबसे बड़ा (4) है। टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर वाला मान बड़ा होता है। / The zeroes are (-9), (-1), (4) and the greatest is (4). Tip: the value to the right on the number line is greater.
जहाँ (p(x)=0) है वहीं (x)-अक्ष कटान होता है। टिप: (p(2)=5) शून्यक नहीं देता। / An (x)-axis intersection occurs where (p(x)=0). Tip: (p(2)=5) does not give a zero.
यह ((x-5)2) है इसलिए केवल (x=5) पर स्पर्श होगा। टिप: पूर्ण वर्ग दोहराया शून्यक देता है। / It is ((x-5)2), so it touches only at (x=5). Tip: a perfect square gives a repeated zero.
C. कोई वास्तविक शून्यक नहीं है/It has no real zero
Explanation
Simple Explanation
यह ((x+3)2+1) है इसलिए कभी (0) नहीं होता। टिप: हमेशा धनात्मक रूप (x)-अक्ष कटान नहीं देता। / It is ((x+3)2+1), so it is never (0). Tip: an always positive form gives no (x)-axis intersection.
A. क्योंकि यह (y)-अक्ष कटान है और \(y\neq0\)/Because it is a (y)-axis intercept and \(y\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
((0,-6)) पर फलन मान (0) नहीं है। टिप: शून्यक के लिए बिंदु (x)-अक्ष पर होना चाहिए। / At ((0,-6)), the function value is not (0). Tip: for a zero the point must lie on the (x)-axis.
मध्यबिंदु का (x)-मान \(\frac{-2+10}{2}=4\) है। टिप: (x)-अक्ष पर दोनों बिंदुओं का (y)-मान (0) रहता है। / The (x)-value of the midpoint is \(\frac{-2+10}{2}=4\). Tip: on the (x)-axis both points keep (y=0).
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत \(x=\frac{1+7}{2}=4\) से गुजरता है। टिप: परवलय में दो शून्यकों का मध्य उपयोगी है। / The axis of symmetry passes through the average \(x=\frac{1+7}{2}=4\). Tip: the middle of two zeroes is useful in a parabola.
B. कटान नहीं बदलते/The intersections do not change
Explanation
Simple Explanation
अशून्य स्थिर गुणक शून्यकों को नहीं बदलता। टिप: शून्यक केवल शून्य बनाने वाले कारकों से मिलते हैं। / A non-zero constant multiplier does not change zeroes. Tip: zeroes come from factors that make the value zero.
(x-3-4x=x(x-2)(x+2)) इसलिए शून्यक (-2), (0), (2) हैं। टिप: पहले सामान्य गुणनखंड लें। / (x-3-4x=x(x-2)(x+2)), so the zeroes are (-2), (0), (2). Tip: take the common factor first.
B. ग्राफ ((0,0)) से गुजरता है/The graph passes through ((0,0))
Explanation
Simple Explanation
(0) शून्यक तब है जब (p(0)=0) हो। टिप: मूल बिंदु से गुजरना (0) शून्यक बताता है। / (0) is a zero when (p(0)=0). Tip: passing through the origin shows zero as a zero.
पाँच अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (5) होनी चाहिए। टिप: शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For five distinct real zeroes the degree must be at least (5). Tip: the number of zeroes cannot exceed the degree.
बाहरी (-2) शून्यक नहीं बदलता और ((x+5)2=0) से (x=-5) है। टिप: वर्ग कारक स्पर्श दिखा सकता है। / The outside (-2) does not change the zero and ((x+5)2=0) gives (x=-5). Tip: a squared factor can show touching.
शून्यक (a) और (b) हैं और (a<b) है। टिप: प्रतीकों में भी पहला निर्देशांक शून्यक होता है। / The zeroes are (a) and (b), and (a<b). Tip: even with symbols the first coordinate is the zero.
शून्यक (-1) और (3) हैं इसलिए गुणनफल (-3) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The zeroes are (-1) and (3), so the product is (-3). Tip: take only (x)-values where (p(x)=0).
कटान का पहला निर्देशांक (r) है और (r>0) है। टिप: ((r,0)) से शून्यक (r) पढ़ें। / The first coordinate of the intersection is (r), and (r>0). Tip: read the zero (r) from ((r,0)).
(x-2-3x-10=(x-5)(x+2)) इसलिए शून्यक (5) और (-2) हैं। टिप: गुणनखंडों से कटान बिंदु लिखें। / (x-2-3x-10=(x-5)(x+2)), so the zeroes are (5) and (-2). Tip: write intersection points from factors.
A. जो (x)-अक्ष को दो अलग बिंदुओं पर काटे/One that cuts the (x)-axis at two distinct points
Explanation
Simple Explanation
दो अलग (x)-अक्ष कटान दो अलग वास्तविक शून्यक देते हैं। टिप: (y)-अक्ष कटान को शून्यक न गिनें। / Two distinct (x)-axis intersections give two distinct real zeroes. Tip: do not count (y)-axis intersections as zeroes.
दोनों में (x)-मान समान (3) है इसलिए अलग शून्यक एक है। टिप: दोहराए मान को अलग गिनती में एक बार लें। / Both have the same (x)-value (3), so there is one distinct zero. Tip: count a repeated value once for distinct count.
(x=0) या (x+6=0) से शून्यक (0) और (-6) हैं। टिप: गुणनफल शून्य हो तो कोई एक कारक शून्य होता है। / From (x=0) or (x+6=0), the zeroes are (0) and (-6). Tip: if a product is zero then one factor is zero.
आलेख (x)-अक्ष से नहीं मिलता इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है। टिप: (p(x)=0) ग्राफ पर (x)-अक्ष कटान है। / The graph does not meet the (x)-axis, so there is no real solution. Tip: (p(x)=0) means an (x)-axis intersection on the graph.
\(x^2-49=0\) से \(x=\pm7\) मिलता है। टिप: वर्गों के अंतर को पहचानें। / Solving \(x^2-49=0\) gives \(x=\pm7\). Tip: recognize the difference of squares.
दोहराया (5) अलग शून्यक में एक बार ही गिना जाता है। टिप: अलग मानों की सूची बनाएं। / The repeated (5) is counted only once among distinct zeroes. Tip: make a list of distinct values.
A. केवल (-2) अलग शून्यक है/Only (-2) is the distinct zero
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष (x)-अक्ष पर है इसलिए परवलय ((-2,0)) पर स्पर्श करता है। टिप: खुलने की दिशा स्पर्श बिंदु का (x)-मान नहीं बदलती। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-2,0)). Tip: the opening direction does not change the touching (x)-value.
(-4) संख्या रेखा पर (-12) से दाईं ओर है। टिप: कम ऋणात्मक संख्या बड़ी होती है। / The number (-4) lies to the right of (-12) on the number line. Tip: the less negative number is greater.
(x=9) शून्यक होने का अर्थ (p(9)=0) है। टिप: शून्यक को पहले निर्देशांक में रखें। / A zero (x=9) means (p(9)=0). Tip: place the zero as the first coordinate.
(x-2+x-6=(x+3)(x-2)) इसलिए शून्यक (-3) और (2) हैं। टिप: गुणनखंडों के चिह्न ध्यान से पढ़ें। / (x-2+x-6=(x+3)(x-2)), so the zeroes are (-3) and (2). Tip: read the signs in the factors carefully.
शून्यक (a), (0), (-a) हैं जिनका योग (0) है। टिप: विपरीत संख्याएँ एक-दूसरे को काट देती हैं। / The zeroes are (a), (0), (-a), whose sum is (0). Tip: opposite numbers cancel each other.
केवल (p(4)=0) है इसलिए (x=4) पर ग्राफ (x)-अक्ष से मिलेगा। टिप: ऋणात्मक मान शून्यक नहीं होते। / Only (p(4)=0), so the graph meets the (x)-axis at (x=4). Tip: negative values are not zeroes.
A. दो अलग वास्तविक शून्यक हैं/There are two distinct real zeroes
Explanation
Simple Explanation
दो अलग कटान दो अलग शून्यक देते हैं। टिप: अलग बिंदु अलग (x)-मान बताते हैं। / Two distinct crossings give two distinct zeroes. Tip: distinct points show distinct (x)-values.
A. क्योंकि \(x^2+1\) हमेशा धनात्मक है/Because \(x^2+1\) is always positive
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक (x) के लिए \(x^2\geq0\) इसलिए \(x^2+1>0\) है। टिप: (p(x)) कभी (0) न हो तो कटान नहीं होगा। / For real (x), \(x^2\geq0\), so \(x^2+1>0\). Tip: if (p(x)) never becomes (0), there is no intersection.
गुणनफल ((-5)\times5=-25) है। टिप: विपरीत चिह्नों का गुणनफल ऋणात्मक होता है। / The product is ((-5)\times5=-25). Tip: the product of opposite signs is negative.
(3x-15=0) से (x=5) मिलता है। टिप: रैखिक बहुपद में (p(x)=0) रखकर शून्यक निकालें। / Solving (3x-15=0) gives (x=5). Tip: set (p(x)=0) to find the zero of a linear polynomial.
एक ही स्पर्श बिंदु एक अलग वास्तविक शून्यक देता है। टिप: छूना भी (p(x)=0) है। / One touching point gives one distinct real zero. Tip: touching also means (p(x)=0).
तीन अलग रैखिक कारक तीन अलग शून्यक (2), (5), (8) देते हैं। टिप: हर अलग कारक एक कटान दे सकता है। / Three distinct linear factors give three distinct zeroes (2), (5), (8). Tip: each distinct factor can give one intersection.
((0,0)) (y)-अक्ष और (x)-अक्ष दोनों पर है। टिप: मूल बिंदु दोनों अक्षों का साझा बिंदु है। / The point ((0,0)) lies on both the (y)-axis and the (x)-axis. Tip: the origin is common to both axes.
यह ((x-6)2) है इसलिए अलग शून्यक (6) है। टिप: पूर्ण वर्ग देखकर दोहराया शून्यक पहचानें। / It is ((x-6)2), so the distinct zero is (6). Tip: identify a repeated zero from a perfect square.
गुणनफल ((-2)\times3\times7=-42) है। टिप: सभी (x)-अक्ष कटान के (x)-मानों को गुणा करें। / The product is ((-2)\times3\times7=-42). Tip: multiply the (x)-values of all (x)-axis intersections.
C. कोई वास्तविक हल नहीं है/There is no real solution
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=4) कभी (0) नहीं होता इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। टिप: अशून्य स्थिर बहुपद का शून्यक नहीं होता। / (p(x)=4) is never (0), so the graph does not cut the (x)-axis. Tip: a non-zero constant polynomial has no zero.
B. हर वास्तविक (x) शून्यक है/Every real (x) is a zero
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद हर (x) पर (0) देता है। टिप: इसे सामान्य स्थिर बहुपद से अलग समझें। / The zero polynomial gives (0) for every (x). Tip: treat it differently from a usual constant polynomial.
औसत \(\frac{2+14}{2}=8\) है। टिप: औसत में (x)-निर्देशांकों का प्रयोग करें। / The average is \(\frac{2+14}{2}=8\). Tip: use the (x)-coordinates for the average.
बाहरी ऋण चिह्न शून्यकों को नहीं बदलता। टिप: (x-1=0) और (x+4=0) हल करें। / The outside negative sign does not change the zeroes. Tip: solve (x-1=0) and (x+4=0).
A. ग्राफ ((-6,0)), ((0,0)), ((5,0)) से गुजरेगा/The graph will pass through ((-6,0)), ((0,0)), ((5,0))
Explanation
Simple Explanation
प्रत्येक (p(a)=0) से बिंदु ((a,0)) मिलता है। टिप: फलन मान को दूसरे निर्देशांक में रखें। / Each (p(a)=0) gives the point ((a,0)). Tip: place the function value as the second coordinate.
शून्यक (-3) और (1) हैं, इसलिए दो अलग बिंदु मिलेंगे। टिप: दोहराए हुए शून्यक (1) को अलग गिनती में एक बार गिनें। / The zeroes are (-3) and (1), so there are two distinct meeting points. Tip: count the repeated zero (1) only once for distinct points.
