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multiplicity MCQ Questions for Class 10

multiplicity se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.

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Practice Questions

35 questions tagged with multiplicity.

Question 31/35 Medium Mathematics Polynomials Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Class 10 Level 23

यदि \(p(x)=(x-6)^2\) है तो आलेख \(x\)-अक्ष के साथ क्या करेगा?

If \(p(x)=(x-6)^2\), what will the graph do with the x-axis?

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Correct Answer

A. \(x=6\) पर स्पर्श करेगाIt will touch at \(x=6\)

Explanation

Simple Explanation

\(p(x)=(x-6)^2\) में \(x=6\) एक पुनरावृत्त शून्य (multiplicity 2) है। किसी शून्य का गुणांक यदि सम (even) होता है तो ग्राफ x-अक्ष को स्पर्श करके वापस मुड़ता है, इसलिए ग्राफ \(x=6\) पर स्पर्श करेगा। विकल्प B गलत है क्योंकि सही शून्य \(6\) है न कि \(-6\)। विकल्प C तभी सही होता यदि दो अलग वास्तविक शून्य होते; यहाँ दोनों मूल एक ही बिंदु पर दोहराए गए हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि वास्तविक शून्य मौजूद है। परीक्षा युक्ति: गुणता (multiplicity) सम → स्पर्श, विषम → काटना। / In \(p(x)=(x-6)^2\) the root \(x=6\) has multiplicity 2 (a repeated root). An even multiplicity causes the graph to touch the x-axis and turn back, so the curve touches at \(x=6\). Option B is wrong due to the wrong sign; option C would require two distinct real roots, not a repeated one; option D is wrong because a real root exists. Exam tip: even multiplicity → touch/turn, odd multiplicity → cross the axis.

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Question 32/35 Medium Mathematics Polynomials Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Class 10 Level 23

यदि किसी बहुपद का ग्राफ़ बिंदु (2, 0) पर x-अक्ष को स्पर्श करता और बिंदु (5, 0) पर x-अक्ष को काटता है, तो उस बहुपद के कितने अलग वास्तविक शून्यक हैं?

If the graph of a polynomial touches the x-axis at (2, 0) and crosses the x-axis at (5, 0), how many distinct real zeros does the polynomial have?

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Correct Answer

B. दोTwo

Explanation

Simple Explanation

x-अक्ष से मिलने वाले हर अलग x‑मान बहुपद का एक वास्तविक शून्यक है. यहाँ ग्राफ़ (2,0) पर स्पर्श करता है (अर्थात x=2 एक शून्यक है, संभवतः सम गुणक के साथ) और (5,0) पर काटता है (अर्थात x=5 एक शून्यक है, विषम गुणक). गुणकों से अलग, दोनों x‑मान अलग हैं, इसलिए अलग वास्तविक शून्यक = 2। नज़दीकी विचलन: "एक" गलत है क्योंकि दो अलग x‑अंक दिए हैं; "तीन" और "शून्य" भी गलत हैं क्योंकि तीसरा शून्यक या कोई शून्यक न होने का संकेत नहीं मिलता। परीक्षा टिप: ग्राफ़ के x‑अक्ष से मिलने वाले अलग x‑मानों की गिनती करें — स्पर्श/काटना केवल गुणात्मक जानकारी देता है। / Each distinct x-value where the graph meets the x-axis is a real zero of the polynomial. The graph touches at (2,0), so x=2 is a zero (typically even multiplicity), and crosses at (5,0), so x=5 is another zero (odd multiplicity). These are two distinct real zeros. Why distractors fail: "One" is wrong because there are two different x-values; "Three" and "Zero" are not supported by the given points. Exam tip: count distinct x-coordinates where the graph meets the x-axis; touching vs crossing tells multiplicity, not distinctness.

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Question 33/35 Easy Mathematics Polynomials Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Class 10 Level 23

यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को \,\((r,0)\\) पर छू रहा है, तो \,\(r\\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?

If the graph of a polynomial touches the x-axis at \,\((r,0)\\), what can be said about \,\(r\\)?

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Correct Answer

A. \,\(r\\) उस बहुपद का शून्यक (root) हैr is a zero (root) of the polynomial

Explanation

Simple Explanation

जब ग्राफ x-अक्ष को बिंदु \,\((r,0)\\) पर छूता है तो उस बिंदु पर y का मान शून्य होता है, यानी बहुपद का मान \,\(f(r)=0\\) होता है। इसलिए \,\(r\\) उस बहुपद का शून्यक (मूल) है। विकल्प B गलत है क्योंकि स्थिर पद से तात्पर्य \(x=0\\) पर बहुपद का मान होता है, न कि किसी सामान्य बिंदु \(r\\) से। विकल्प D स्पष्टतः गलत है क्योंकि \(y=0\\) होने पर वह शून्यक ही माना जाएगा। (अतिरिक्त जानकारी: यदि ग्राफ केवल छूता है और काटकर नहीं जाता तो उस शून्यक की गुणांकीयता (multiplicity) सम (even) होगी।) परीक्षा-सुझाव: ग्राफ के किसी बिंदु पर y=0 हो तो सीधे वह x-मूल है; छूना/काटना देखकर गुणांकीयता के बारे में अनुमान लगाइए। / If the graph touches the x-axis at \,\((r,0)\\) then the function value there is zero, i.e. \,\(f(r)=0\\). Hence \,\(r\\) is a zero (root) of the polynomial. Option B is wrong because the constant term means the value of the polynomial at \(x=0\\), not the x-coordinate of a general intercept. Option D is incorrect since \(y=0\\) at that point implies it is a root. (Additional note: when the graph only touches and does not cross, the root typically has even multiplicity.) Exam tip: whenever a graph meets the x-axis at a point, that x-coordinate is a root; use whether it crosses or only touches to infer multiplicity.

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Question 34/35 Easy Mathematics Polynomials Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Class 10 Level 22

किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल (-2, 0) पर स्पर्श करता है। इसका अलग वास्तविक शून्यक कौन-सा है?

The graph of a polynomial touches the x-axis only at (-2, 0). What is the distinct real zero?

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Correct Answer

A. -2

Explanation

Simple Explanation

x-अक्ष पर स्पर्श करने वाला बिंदु उस बहुपद का शून्यक (root) होता है क्योंकि उस बिंदु पर \,p(x)=0\\ होता है। "स्पर्श" का अर्थ यह है कि जड़ की गुणनशीलता (multiplicity) सम (even) हो सकती है, परन्तु वह अंक फिर भी वास्तविक शून्यक ही है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक x = -2 है। विकल्प B (2) गलत है क्योंकि वह बिंदु +2 पर होगा, विकल्प C (0) गलत है क्योंकि शून्य (origin) दिया ही नहीं गया, और विकल्प D (कोई नहीं) गलत है क्योंकि स्पर्श करने वाला बिंदु निश्चित रूप से शून्यक देता है। टिप: परीक्षा में "touches" = even multiplicity; "cuts" = odd multiplicity। / A point where the graph touches the x-axis is a real root because at that point p(x)=0. "Touches" usually indicates an even multiplicity root, but regardless of multiplicity it is still a zero of the polynomial. Thus the distinct real zero is x = -2. Option B (2) is wrong because the given x-coordinate is -2, not +2; option C (0) is wrong because the origin is not the given intercept; option D (None) is wrong because a touching point is indeed a root. Exam tip: remember that "touches" implies an even multiplicity root, while "cuts" implies an odd multiplicity.

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Question 35/35 Easy Mathematics Polynomials Geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Class 10 Level 22

यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल बिंदु (5,0) पर छूता है, तो निम्न में से कौन-सा कथन सही है?

If the graph of a polynomial touches the x-axis only at the point (5,0), which of the following statements is correct?

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Correct Answer

A. x = 5 शून्यक हैx = 5 is a zero

Explanation

Simple Explanation

जब किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (5,0) पर छूता है तो उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य होता है, यानी \(p(5)=0\)। इसलिए \(x=5\) शून्यक है। ध्यान दें कि "छूना" संकेत देता है कि उस शून्य का गुणनफल (multiplicity) सम (even) हो सकता है, पर प्रश्न केवल शून्य होने की बात पूछता है। विकल्प B और D गलत हैं क्योंकि दिए गए बिंदु का x-समान्‍यांक 0 या −5 नहीं है; विकल्प C गलत है क्योंकि छूने का अर्थ ही किसी शून्य पर होना है। परीक्षा-सुझाव: ग्राफ में जहाँ x-अक्ष को छूया या काटा गया हो, उस बिंदु का x‑मान बदलें और सीधे \(p(x)=0\) जाँचें। / If the graph touches the x-axis at (5,0) then the polynomial evaluates to zero at x=5, i.e. \(p(5)=0\). Hence x=5 is a zero. "Touching" typically implies the root has even multiplicity, but the essential fact here is the value is zero. Options B and D are incorrect because the contact point has x-coordinate 5, not 0 or -5; option C is wrong because touching the axis means the polynomial is zero at that point. Exam tip: use the x-coordinate of the contact point and substitute into \(p(x)\) to verify a zero; if it only touches (doesn't cross), expect even multiplicity.

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