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(8x-2-32x=8x(x-4)), इसलिए (x=0) और (x=4) दोनों मूल हैं। परीक्षा में चर से भाग देने पर (x=0) छूट सकता है। / (8x-2-32x=8x(x-4)), so (x=0) and (x=4) are both roots. In exams, dividing by the variable can miss (x=0).
(6x-2-18x=6x(x-3)), इसलिए (x=0) और (x=3) दोनों मूल हैं। परीक्षा में चर से भाग देने पर (x=0) छूट सकता है। / (6x-2-18x=6x(x-3)), so (x=0) and (x=3) are both roots. In exams, dividing by the variable can miss (x=0).
सही रूप (5x(x-4)=0) है, जिससे (x=0) और (x=4) मिलते हैं। परीक्षा में चर से सीधे भाग देने से (x=0) छूट सकता है। / The correct form is (5x(x-4)=0), giving (x=0) and (x=4). In exams, dividing directly by the variable can miss (x=0).
(x-2-11x=x(x-11)), इसलिए शून्य गुणनफल नियम से (x=0) मिलता है। परीक्षा में चर से भाग देकर यह मूल न खोएं। / (x-2-11x=x(x-11)), so zero product rule gives (x=0). In exams, do not lose this root by dividing by the variable.
(x-2-5x=x(x-5)), इसलिए शून्य गुणनफल नियम से (x=0) मिलता है। परीक्षा में चर से भाग देकर यह मूल न खोएं। / (x-2-5x=x(x-5)), so zero product rule gives (x=0). In exams, do not lose this root by dividing by the variable.
(x-2-3x=x(x-3)), इसलिए शून्य गुणनफल नियम से (x=0) मिलता है। परीक्षा में (x) से भाग देकर (x=0) न खोएं। / (x-2-3x=x(x-3)), so zero product rule gives (x=0). In exams, do not lose (x=0) by dividing by (x).
किसी जड़ को सत्यापित करने के लिए उसका मान समीकरण में रखें। \(x=0\) रखने पर \(a(0)^2+b(0)+c=0\), अतः \(c=0\) आवश्यक है। \(b=0\) या \(a+b=0\) होना अनिवार्य नहीं है, और \(a=0\) होने पर समीकरण द्विघात नहीं रहेगा। परीक्षा-युक्ति: यदि \(0\) किसी बहुपद की जड़ है, तो उसका स्थिर पद हमेशा शून्य होता है। / Substitute the proposed root into the equation: \(a(0)^2+b(0)+c=0\), which gives \(c=0\). Thus the constant term must be zero. Neither \(b=0\) nor \(a+b=0\) is necessary, while \(a=0\) would make the equation non-quadratic. Exam tip: If zero is a root of a polynomial, its constant term is always zero.
किसी मूल का मान समीकरण में रखने पर समीकरण सत्य होना चाहिए। \(x=0\) रखने पर \(2(0)^2+m(0)+n=0\), इसलिए \(n=0\)। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी द्विघात समीकरण का शून्य मूल हो, तो उसका अचर पद शून्य होता है। / The equation must be satisfied when a root is substituted. Putting \(x=0\) gives \(2(0)^2+m(0)+n=0\), so \(n=0\). Exam tip: if zero is a root of a quadratic equation, its constant term must be zero.
किसी मूल का अर्थ है कि उसका मान रखने पर समीकरण का बायाँ पक्ष शून्य हो जाता है। (x=0) रखने पर a(0)2+b(0)+c=c मिलता है, इसलिए c=0 होना आवश्यक है। \(a\ne0\) केवल यह सुनिश्चित करता है कि समीकरण वास्तव में द्विघात है; इससे a=0 या b=0 निष्कर्षित नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: शून्य मूल होने पर अचर पद हमेशा शून्य होता है। / A root is a value that makes the left-hand side of the equation equal to zero. Substituting (x=0) gives a(0)2+b(0)+c=c, so c=0 is necessary. The condition \(a\ne0\) only ensures that the equation is genuinely quadratic; it does not imply a=0 or b=0. Exam tip: if zero is a root of a quadratic equation, its constant term must be zero.
मूल \\(x=0\\) होने पर इसे समीकरण में रखने से \\(a(0)^2+b(0)+c=0\\), अर्थात् \\(c=0\\) प्राप्त होता है। इसलिए शून्य मूल होने की आवश्यक शर्त अचर पद का शून्य होना है। विकल्प D इसका उल्टा कथन है। परीक्षा-टिप: यदि किसी द्विघात समीकरण का एक मूल शून्य हो, तो उसका अचर पद अवश्य शून्य होगा। / Since \\(x=0\\) is a root, substituting it gives \\(a(0)^2+b(0)+c=0\\), so \\(c=0\\). Thus, a zero root requires the constant term to be zero. Option D states the opposite condition. Exam tip: whenever zero is a root of a quadratic equation, its constant term must be zero.
किसी समीकरण का 0 मूल होने का अर्थ है कि \(x=0\) रखने पर समीकरण सत्य हो। रखने पर \(5(0)^2+k(0)+c=0\), अतः \(c=0\) होना आवश्यक है। \(k=0\) होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा में 0 मूल की शर्त के लिए सीधे \(p(0)=0\) का उपयोग करें। / For 0 to be a root, substituting \(x=0\) must satisfy the equation: \(5(0)^2+k(0)+c=0\). Hence, \(c=0\) is necessary. The coefficient \(k\) need not be zero. Exam tip: for a zero root, evaluate the polynomial at \(x=0\).
A. \(0\) दोहराया हुआ मूल है/\(0\) is a repeated root
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(11\neq 0\), इसलिए \(11x^2=0\) को 11 से भाग देने पर \(x^2=0\) मिलता है। अतः \(x=0\) दोनों बार आता है, इसलिए 0 दोहराया हुआ मूल है। परीक्षा-युक्ति: \(ax^2=0\) में, जहाँ \(a\neq0\), मूल हमेशा \(x=0\) होता है और उसकी बहुलता 2 होती है। / Since \(11\neq 0\), dividing \(11x^2=0\) by 11 gives \(x^2=0\). Thus \(x=0\) occurs twice, so 0 is a repeated root. Exam tip: In an equation of the form \(ax^2=0\), where \(a\neq0\), the root is always \(x=0\) with multiplicity 2.
समीकरण को गुणनखंडित करने पर \(x^2+6x=x(x+6)=0\) मिलता है। अतः \(x=0\) या \(x+6=0\), जिससे \(x=-6\) प्राप्त होता है। इसलिए मूल \(0\) और \(-6\) हैं। विकल्प B में \(-6\) का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे समीकरणों में पहले सामान्य गुणनखंड निकालकर प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें। / Factoring the equation gives \(x^2+6x=x(x+6)=0\). Hence, either \(x=0\) or \(x+6=0\), which gives \(x=-6\). Therefore, the roots are \(0\) and \(-6\). Option B has the incorrect sign for the second root. Exam tip: When a quadratic has no constant term, take the common factor first and set each factor equal to zero.
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल 0 और 8 हों, तो उसका रूप \((x-0)(x-8)=0\) होगा। अतः \(x(x-8)=0\), जिसे खोलने पर \(x^2-8x=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में मूल 0 और −8 होते हैं, जबकि विकल्प C में मूल 8 और −8 होते हैं। परीक्षा में मूल दिए हों तो \((x-\alpha)(x-\beta)=0\) का प्रयोग करें। / If the roots of a quadratic equation are 0 and 8, its factored form is \((x-0)(x-8)=0\). Thus, \(x(x-8)=0\), which expands to \(x^2-8x=0\). Option B has roots 0 and −8, while option C has roots 8 and −8. Exam tip: for roots \(\alpha\) and \(\beta\), use \((x-\alpha)(x-\beta)=0\).
यदि \(x=0\) किसी द्विघात समीकरण का मूल है तो समीकरण में \(x\) की जगह \(0\) रखने पर शेष पद शून्य होना चाहिए। \(2(0)^2+b(0)+c=c\) से हमें \(c=0\) मिलता है। विकल्प C (\(c=b\)) भ्रम से आता है क्योंकि \(b\) मध्यम गुणांक है—कोई विशेष जानकारी न होने पर यह बराबर नहीं माना जा सकता। विकल्प B और D (\(2\) या \(-2\)) केवल मनमानी संख्याएँ हैं और अतिरिक्त शर्तों के बिना सत्य नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: यदि \(x=0\) मूल है तो हमेशा स्वतंत्र पद (constant term) को पहले जाँचें—वह शून्य होगा। / If \(x=0\) is a root, substitute \(x=0\) into \(2x^2+bx+c\). That gives \(2(0)^2+b(0)+c=c\), so \(c=0\). Option C (\(c=b\)) is incorrect because the coefficient \(b\) need not equal the constant term without extra conditions. Options B and D are arbitrary numeric values and are not determined by the given information. Exam tip: For a zero root, check the constant term first—it must be zero.
समीकरण \(7x^2=0\) को 7 से भाग देने पर \(x^2=0\) मिलता है। यह बराबर \(x^2=(x-0)^2\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए \(x=0\) दोहरा (मल्टीप्लिसिटी 2) मूल है। डिस्क्रिमिनेन्ट के द्वारा भी: सामान्य रूप \(ax^2+bx+c\) में यहाँ \(a=7,b=0,c=0\) है और \(b^2-4ac=0^2-4\cdot7\cdot0=0\) जो दोहरे मूल को दर्शाता है। विकल्प C निकटतम भ्रमित करने वाला है पर गलत है क्योंकि \(x=7\) पर \(7\cdot7^2=343\neq0\)। परीक्षा टिप: किसी भी द्विघात का दोहरा मूल तात्कालिक रूप से डिस्क्रिमिनेन्ट \(=0\) से जाँचा जा सकता है या समीकरण को गुणनखण्ड में लिखकर परखा जा सकता है। / Dividing \(7x^2=0\) by 7 gives \(x^2=0\). This is \((x-0)^2\), so \(x=0\) is a repeated root (multiplicity 2). Using coefficients \(a=7,b=0,c=0\), the discriminant is \(b^2-4ac=0^2-4\cdot7\cdot0=0\), confirming a double root. The closest distractor C is wrong because substituting \(x=7\) gives \(7\cdot7^2=343\ne0\). Exam tip: check the discriminant or factor out common terms to quickly identify repeated roots.
समीकरण को गुणा किए गए रूप में लिखा जा सकता है: \(x^2-5x = x(x-5)\). यदि किसी गुणनखंड का गुणनफल शून्य है तो कम से कम एक गुणनखंड शून्य होगा। इसलिए \(x=0\) अथवा \(x-5=0\) से \(x=5\)। अतः मूल 0 और 5 हैं। निकटतम विचलक विकल्प D (0 और -5) इसलिए गलत है क्योंकि वहाँ दूसरा मूल का संकेत गलत लिया गया है — सही गुणनखंड \(x-5\) से +5 मिलता है, -5 नहीं। परीक्षात्मक टिप: किसी द्विघात को हमेशा गुणनखंडों में तोड़कर प्रत्येक कारक को शून्य मानकर जाँच करें और संकेतों पर विशेष ध्यान दें। / Factor the quadratic: \(x^2-5x = x(x-5)\). If a product is zero, at least one factor is zero, so \(x=0\) or \(x-5=0\) giving \(x=5\). Thus the roots are 0 and 5. The closest distractor is D (0 and -5) — it has 0 correct but the sign of the other root is wrong because the factor is \(x-5\), not \(x+5\). Exam tip: Always factor and set each factor to zero; carefully check signs when solving for roots.
A सही है क्योंकि \(x^2+5x= x(x+5)\) के रूप में फैक्टर होता है और इसलिए \(x=0\) एक मूल है। सामान्य नियम: किसी द्विघात समीकरण में शून्य (0) तब ही मूल होगा जब स्थायी पद (constant term) शून्य हो। उदाहरण के लिए विकल्प C का फैक्टरisation \((x-2)(x-3)\) है और D का \((x+1)^2\) है, इसलिए उनके मूल 2, 3 और −1 हैं, न कि 0। परीक्षात्मक सुझाव: जल्दी जाँच के लिए constant term देखें — यदि वह 0 है तो तुरंत x=0 एक मूल होगा। / A is correct because \(x^2+5x = x(x+5)\), so \(x=0\) is a root. Rule: a quadratic has 0 as a root only if its constant term is 0 (i.e., the polynomial is divisible by x). For contrast, option C factors as \((x-2)(x-3)\) and D as \((x+1)^2\), so their roots are 2, 3 and −1 respectively, not 0. Exam tip: check the constant term quickly — if it is 0, then x=0 is a root.
यदि हम \(x=0\) पर रखते हैं तो समीकरण बनता है \(a(0)^2+b(0)+c=c=0\)। अतः \(x=0\) मूल तभी होगा जब स्थिर पद \(c\) शून्य हो। यदि \(c=0\) होगा तो समीकरण \(ax^2+bx=0\) बनकर \(x(ax+b)=0\) हो जाता है और \(x=0\) स्पष्टतः एक मूल है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(a=0\) होने पर समीकरण द्विघात नहीं बल्कि रेखीय हो जाता है और शून्य मूल मिलने की गारंटी नहीं है; विकल्प C तभी शून्य देगा जब साथ में \(c=0\) भी हो; विकल्प D (\(a=b\)) का शून्य होने से कोई संबंध नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: किसी भी संभावित मूल को त्वरित जाँच के लिए समीकरण में स्थानापन्न (substitute) कर के देखें। / Substitute \(x=0\) into \(ax^2+bx+c=0\): this gives \(c=0\). Therefore \(x=0\) is a root only when the constant term \(c\) is zero. If \(c=0\), the equation reduces to \(ax^2+bx=0\) or \(x(ax+b)=0\), so \(x=0\) is indeed a root. Option B is incorrect because \(a=0\) makes the equation linear (not necessarily giving zero as a root); option C (\(b=0\)) does not ensure zero is a root unless \(c=0\) also; option D (\(a=b\)) is irrelevant to whether zero is a root. Exam tip: always test a suspected root by direct substitution into the equation.
समीकरण में \(x=0\) रखकर प्राप्त होगा: \(3(0)^2+2(0)=0\)। इसलिए बाएँ पक्ष शून्य होता है और \(x=0\) समीकरण का मूल है। वैकल्पिक रूप से समीकरण को गुणा करके देखें: \(3x^2+2x=x(3x+2)=0\) से मूल \(x=0\) और \(x=-\tfrac{2}{3}\) मिलते हैं। विकल्प (C) गलत है क्योंकि \(x=2\) रखने पर \(3(2)^2+2(2)=16\neq0\)। विकल्प (D) गलत है क्योंकि दिए गए बहुपद में मान प्रतिस्थापित कर सत्य की जाँच की जा सकती है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी दिये गए मूल्य को जाँचने के लिए सीधे समीकरण में प्रतिस्थापित करें या बहुपद को गुणाकर शून्य-गुणनफल खोजें। / Substituting \(x=0\) gives \(3(0)^2+2(0)=0\). Hence the left-hand side is zero and \(x=0\) is a root. Alternatively factor: \(3x^2+2x=x(3x+2)=0\), giving roots \(x=0\) and \(x=-\tfrac{2}{3}\). Option (C) is incorrect because substituting \(x=2\) yields \(3(2)^2+2(2)=16\neq0\). Option (D) is wrong since the equation is explicit and substitution determines whether a value is a root. Exam tip: To check a root substitute the value into the polynomial or factor the polynomial to find all roots quickly.
मूल (0) और (5) होने पर समीकरण (x(x-5)=0) अर्थात \(x^2-5x=0\) होगा। मूलों से समीकरण बनाते समय (x-r) रूप याद रखें। / With roots (0) and (5) the equation is (x(x-5)=0) that is \(x^2-5x=0\). Remember the form (x-r) while forming an equation from roots.
विकल्प A में \(x^2+7x=x(x+7)\) है। इसलिए इसके मूल \(x=0\) और \(x=-7\) हैं; दूसरा मूल ऋणात्मक है। विकल्प B के मूल \(0\) और \(7\) हैं, इसलिए वह ऋणात्मक मूल की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: यदि समीकरण \(x^2+bx=0\) के रूप में हो, तो मूल \(0\) और \(-b\) होते हैं। / In option A, \(x^2+7x=x(x+7)\). Hence, the roots are \(x=0\) and \(x=-7\), so the second root is negative. Option B has roots \(0\) and \(7\), and therefore does not satisfy the condition. Exam tip: For an equation of the form \(x^2+bx=0\), the roots are \(0\) and \(-b\).
विकल्प A में \(x^2-6x=x(x-6)\), इसलिए इसके मूल \(x=0\) और \(x=6\) हैं। दूसरा मूल \(6\) धनात्मक है। विकल्प B के मूल \(0\) और \(-6\) हैं, इसलिए दूसरा मूल ऋणात्मक है; विकल्प C के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं और विकल्प D में \(0\) मूल नहीं है। परीक्षा में जाँचने का त्वरित तरीका है कि समीकरण में \(x=0\) रखने पर स्थिर पद शून्य होना चाहिए। / In option A, \(x^2-6x=x(x-6)\), so the roots are \(x=0\) and \(x=6\). Since \(6\) is positive, this option is correct. Option B has roots \(0\) and \(-6\), so its other root is negative; option C has no real roots, and option D does not have zero as a root. A quick exam check is that an equation with \(x=0\) as a root must have a zero constant term.
