Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((5x-2)(2x+3)=10x-2+11x-6) है और (7x) घटाने पर \(10x^2+4x-6=0\) मिलता है। पहले विस्तार करें फिर सभी पद एक ओर लाएं। / Here ((5x-2)(2x+3)=10x-2+11x-6) and subtracting (7x) gives \(10x^2+4x-6=0\). First expand and then bring all terms to one side.
द्विघात होने के लिए \(m^2-9\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(m\neq3\) और \(m\neq-3\) दोनों जरूरी हैं। / For the equation to be quadratic, \(m^2-9\neq0\) is needed. Hence both \(m\neq3\) and \(m\neq-3\) are necessary.
पूरे समीकरण को (6) से गुणा करने पर \(3x^2-9+2x-2=24\) मिलता है। इसलिए \(3x^2+2x-35=0\) नहीं बल्कि सही रूप \(3x^2+2x-35=0\) होगा। / Multiplying the whole equation by (6) gives \(3x^2-9+2x-2=24\). Thus the standard form is \(3x^2+2x-35=0\).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-7x+10=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2-7x+10=0) is correct.\)
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए ((-2k)2-64=0) मिलता है। इससे \(k^2=16\) और \(k=\pm4\) है। / For equal roots, (D=0), so ((-2k)2-64=0). This gives \(k^2=16\) and \(k=\pm4\).
A. \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\)/\(k\leq -3\) or \(k\geq 3\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) चाहिए। यहाँ \(4k^2-36\geq0\), इसलिए \(k\leq-3\) या \(k\geq3\)। / For real roots, \(D\geq0\) is needed. Here \(4k^2-36\geq0\), so \(k\leq-3\) or \(k\geq3\).
व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{5}{3}\) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here it is \(\frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{5}{3}\).
\(x^2+x+4=0\) के लिए \(D=1^2-4\cdot1\cdot4=-15\) है। विवेचक निकालते समय (4ac) पूरा घटाएं। / For \(x^2+x+4=0\), \(D=1^2-4\cdot1\cdot4=-15\). Subtract the full (4ac) while finding the discriminant.
मूलों का गुणनफल (12) है, इसलिए दूसरा मूल (4) होगा। योग (7) है और (-a=7), इसलिए (a=-7)। / The product of roots is (12), so the other root is (4). The sum is (7), and (-a=7), so (a=-7).
यदि मूल \(\alpha,\beta\) हैं, तो (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta)। यहाँ (\left\(-\frac{7}{2}\right\)2-2\cdot\frac{3}{2}=\frac{37}{4})। / If the roots are \(\alpha,\beta\), then (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). Here (\left\(-\frac{7}{2}\right\)2-2\cdot\frac{3}{2}=\frac{37}{4}).
(\(\alpha-1\)\(\beta-1\)=\alpha\beta-\(\alpha+\beta\)+1) होता है। यहाँ (15-8+1=8)। / (\(\alpha-1\)\(\beta-1\)=\alpha\beta-\(\alpha+\beta\)+1). Here (15-8+1=8).
पहले विकल्प में (t=2) रखने पर \(x^2\) का गुणांक (0) हो जाता है। तब समीकरण रैखिक बन जाता है। / In the first option, putting (t=2) makes the coefficient of \(x^2\) equal to (0). Then the equation becomes linear.
बाईं ओर \(x^2+3x+2+x^2+7x+12=2x^2+10x+14\) है। (50) घटाने पर \(2x^2+10x-36=0\) मिलता है। / The left side is \(x^2+3x+2+x^2+7x+12=2x^2+10x+14\). Subtracting (50) gives \(2x^2+10x-36=0\).
मूलों का योग (-p) और गुणनफल (q) होता है। दिए मूल (p,q) हैं, इसलिए (p+q=-p) और (pq=q)। / The sum of roots is (-p) and the product is (q). Since the roots are (p,q), we get (p+q=-p) and (pq=q).
गुणनफल (2m) है और एक मूल (2) है। इसलिए दूसरा मूल \(\frac{2m}{2}=m\) है। / The product of roots is (2m) and one root is (2). Hence the other root is \(\frac{2m}{2}=m\).
मूल (2) और \(\frac{4}{3}\) हैं। उनका अंतर \(2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\) है। / The roots are (2) and \(\frac{4}{3}\). Their difference is \(2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\).
दोनों मूल (-5) हैं, इसलिए योग (-10) है। यहाँ मूलों का योग (-b) है, अतः (b=10)। / Both roots are (-5), so their sum is (-10). Here the sum of roots is (-b), so (b=10).
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=5\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=6\) है। दोनों धनात्मक हैं। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=5\) and the product is \(\frac{c}{a}=6\). Both are positive.
क्षेत्रफल ((x+5)(x-2)=84) होगा। विस्तार से \(x^2+3x-10=84\) और \(x^2+3x-94=0\) मिलता है। / The area is ((x+5)(x-2)=84). Expanding gives \(x^2+3x-10=84\) and \(x^2+3x-94=0\).
यदि मूलों का योग (11) और गुणनफल (30) है, तो समीकरण \(x^2-11x+30=0\) होगा। मोनिक रूप का सूत्र याद रखें। / If the sum of roots is (11) and product is (30), the equation is \(x^2-11x+30=0\). Remember the monic form formula.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ मान \(\frac{5}{6}\) है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here the value is \(\frac{5}{6}\).
(x-2-12x+36=(x-6)2), इसलिए दोनों मूल (6) हैं। दोनों मूल बराबर और धनात्मक हैं। / (x-2-12x+36=(x-6)2), so both roots are (6). Both roots are equal and positive.
यह ((2x-k)2=0) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए दोनों मूल समान वास्तविक होते हैं। / It can be written as ((2x-k)2=0). Therefore both roots are equal and real.
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (16) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (16), so it is not possible.
समान मूलों के लिए \(p^2-36=0\) से \(p=\pm6\) मिलता है। ऋणात्मक समान मूल के लिए \(-\frac{p}{2}<0\), इसलिए (p=6)। / For equal roots, \(p^2-36=0\) gives \(p=\pm6\). For equal negative roots, \(-\frac{p}{2}<0\), so (p=6).
(x=1) रखने पर बायां पक्ष (k-5+2=k-3) होता है। मूल न होने के लिए \(k-3\neq0\), इसलिए \(k\neq3\)। / Putting (x=1), the left side becomes (k-5+2=k-3). For it not to be a root, \(k-3\neq0\), so \(k\neq3\).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है। योग (0) और गुणनफल (-49) रखने पर \(x^2-49=0\) मिलता है। \(/ The monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Using sum (0) and product (-49) gives (x^2-49=0).\)
गुणनफल (9) और योग \(-\frac{k}{2}\) है। (9=-3\left\(-\frac{k}{2}\right\)) से (k=6) मिलता है। / The product is (9) and the sum is \(-\frac{k}{2}\). From (9=-3\left\(-\frac{k}{2}\right\)), we get (k=6).
मूलों का योग (2) और गुणनफल (-3) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=8+18=26)। / The sum of roots is (2) and the product is (-3). (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=8+18=26).
मूलों का योग (5) है, इसलिए (b=-5), और गुणनफल (-14) है, इसलिए (c=-14)। अतः (b+c=-19)। / The sum of roots is (5), so (b=-5), and the product is (-14), so (c=-14). Therefore (b+c=-19).
(a=-1) रखने पर \(0x^2+0x+2=0\) मिलता है। यह (2=0) है, जो विरोधाभासी कथन है। / Putting (a=-1) gives \(0x^2+0x+2=0\). This is (2=0), which is a contradictory statement.
विस्तार करने पर बाईं ओर \(2x^2-6x+5\) और दाईं ओर \(x^2-6x+9\) है। घटाने पर \(x^2-4=0\) नहीं बल्कि \(x^2-4=0\) मिलता है। / Expanding gives left side \(2x^2-6x+5\) and right side \(x^2-6x+9\). Subtracting gives \(x^2-4=0\).
मूलों का योग (4) और गुणनफल (1) है। इसलिए \(\alpha+\beta+\alpha\beta=5\)। / The sum of roots is (4) and the product is (1). Therefore \(\alpha+\beta+\alpha\beta=5\).
मूलों का गुणनफल (q) होता है। दिए मूल (1) और (p) हैं, इसलिए \(q=1\cdot p=p\)। / The product of roots is (q). The given roots are (1) and (p), so \(q=1\cdot p=p\).
(\(\alpha-3\)\(\beta-3\)=\alpha\beta-3\(\alpha+\beta\)+9) है। यहाँ (21-30+9=0)। / (\(\alpha-3\)\(\beta-3\)=\alpha\beta-3\(\alpha+\beta\)+9). Here (21-30+9=0).
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) है। पहले विकल्प में \(\frac{-5}{2}<0\), इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। / The product of roots is \(\frac{c}{a}\). In the first option, \(\frac{-5}{2}<0\), so the product is negative.
क्षेत्रफल (\frac{1}{2}(x+1)(x+3)=30) होगा। इसलिए ((x+1)(x+3)=60) और \(x^2+4x-57=0\)। / The area is (\frac{1}{2}(x+1)(x+3)=30). Thus ((x+1)(x+3)=60) and \(x^2+4x-57=0\).
यहाँ \(\alpha+\beta=-3\) और \(\alpha\beta=-18\) है। इसलिए (\alpha\beta-\alpha-\beta=-18-(-3)=-15)। / Here \(\alpha+\beta=-3\) and \(\alpha\beta=-18\). Thus (\alpha\beta-\alpha-\beta=-18-(-3)=-15).
समीकरण ((x-a)2-9=0) है, इसलिए मूल (a+3) और (a-3) हैं। उनका अंतर (6) है। / The equation is ((x-a)2-9=0), so the roots are (a+3) and (a-3). Their difference is (6).
