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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Introduction to Quadratic Equations Hard Level 29

समीकरण \(x^2+2kx+9=0\) के वास्तविक मूल होने के लिए \(k\) की कौन-सी शर्त आवश्यक और पर्याप्त है?

What condition on \(k\) is necessary and sufficient for the equation \(x^2+2kx+9=0\) to have real roots?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\)\(k\leq -3\) or \(k\geq 3\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2k\) और \(c=9\) हैं, इसलिए \(D=(2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\)। अतः \(4k^2-36\geq 0\), यानी \(k^2\geq 9\), जिससे \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\)। विकल्प B में \(D<0\) होता है, इसलिए मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq 0\) जाँचें। / A quadratic equation has real roots only when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is non-negative. Here, \(a=1\), \(b=2k\), and \(c=9\), so \(D=(2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\). Thus \(4k^2-36\geq 0\), which gives \(k^2\geq 9\), and hence \(k\leq -3\) or \(k\geq 3\). In option B, \(D<0\), so the roots are not real. Exam tip: For real roots, always check the condition \(D\geq 0\).

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समीकरण \(x^2+2kx+9=0\) के वास्तविक मूल होने के लिए \(k\) की कौन-सी शर्त आवश्यक और पर्याप्त है? / What condition on \(k\) is necessary and sufficient for the equation \(x^2+2kx+9=0\) to have real roots?

Correct Answer: A. \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\) / \(k\leq -3\) or \(k\geq 3\). Explanation: द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2k\) और \(c=9\) हैं, इसलिए \(D=(2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\)। अतः \(4k^2-36\geq 0\), यानी \(k^2\geq 9\), जिससे \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\)। विकल्प B में \(D<0\) होता है, इसलिए मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq 0\) जाँचें। / A quadratic equation has real roots only when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is non-negative. Here, \(a=1\), \(b=2k\), and \(c=9\), so \(D=(2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\). Thus \(4k^2-36\geq 0\), which gives \(k^2\geq 9\), and hence \(k\leq -3\) or \(k\geq 3\). In option B, \(D<0\), so the roots are not real. Exam tip: For real roots, always check the condition \(D\geq 0\).