Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
coefficient-comparison se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
दो रेखाएँ संपाती होने के लिए उनके संगत गुणांकों का अनुपात समान होना चाहिए। दोनों समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर \(\frac{2}{2}=\frac{a}{3}=\frac{18}{18}\) मिलता है। इसलिए \(\frac{a}{3}=1\), अर्थात \(a=3\)। विकल्प 2 केवल \(x\) के गुणांक से संबंधित है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: संपाती रेखाओं के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) का उपयोग करें। / For two lines to be coincident, the ratios of their corresponding coefficients must be equal. Writing both equations in standard form gives \(\frac{2}{2}=\frac{a}{3}=\frac{18}{18}\). Hence \(\frac{a}{3}=1\), so \(a=3\). Option 2 refers only to the coefficient of \(x\), so it is not correct. Exam tip: for coincident lines, use \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\).
\(f(1)=0\) और \(f(2)=0\) से बहुपद के शून्यक 1 और 2 हैं। अतः शून्यकों के आधार पर \(f(x)=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2\)। इसकी तुलना \(x^2+px+q\) से करने पर \(p=-3\) और \(q=2\) मिलते हैं। इसलिए \(p+q=-3+2=-1\), अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: एक द्विघात बहुपद \(x^2+px+q\) के शून्यकों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) होता है। / Since \(f(1)=0\) and \(f(2)=0\), the zeroes of the polynomial are 1 and 2. Therefore, \(f(x)=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2\). Comparing this with \(x^2+px+q\), we get \(p=-3\) and \(q=2\). Hence, \(p+q=-3+2=-1\), so option A is correct. Exam tip: for a quadratic \(x^2+px+q\), the sum of zeroes is \(-p\) and their product is \(q\).
पूर्ण वर्ग बहुपद का रूप \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\) होता है। यहाँ स्थिर पद \(16=4^2\) है, इसलिए \(p(x)=(x-4)^2=x^2-8x+16\), जिससे \(k=-8\) मिलता है। \(k<0\) होने के कारण \(k=8\) नहीं चुना जा सकता। परीक्षा-टिप: \(x^2+bx+c^2\) के पूर्ण वर्ग होने पर मध्य पद का गुणांक \(\pm 2c\) होता है। / A perfect-square polynomial with leading coefficient 1 has the form \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\). Since the constant term is \(16=4^2\), we get \(p(x)=(x-4)^2=x^2-8x+16\), so \(k=-8\). The condition \(k<0\) rules out \(k=8\). Exam tip: For \(x^2+bx+c^2\) to be a perfect square, the middle coefficient must be \(\pm 2c\).
चूँकि \(p(2)=0\) और \(p(4)=0\), इसलिए 2 और 4 इस बहुपद के शून्यक हैं। अतः \(p(x)=(x-2)(x-4)=x^2-6x+8\)। तुलना करने पर \(a=-6\) और \(b=8\), इसलिए \(a+b=-6+8=2\)। विकल्प 3 सही नहीं है; सही उत्तर पाने के लिए गुणांकों की तुलना अवश्य करें। परीक्षा-युक्ति: एकक अग्रणी द्विघात बहुपद के शून्यक \(r,s\) हों, तो \(p(x)=x^2-(r+s)x+rs\)। / Since \(p(2)=0\) and \(p(4)=0\), 2 and 4 are the zeros of the polynomial. Therefore, \(p(x)=(x-2)(x-4)=x^2-6x+8\). Comparing coefficients gives \(a=-6\) and \(b=8\), so \(a+b=-6+8=2\). Option 3 is not correct; the coefficients must be compared after factoring. Exam tip: if the zeros of a monic quadratic are \(r\) and \(s\), then \(p(x)=x^2-(r+s)x+rs\).
दिए गए शून्यकों से बहुपद को \((x-1)(x-2)(x-3)\) के रूप में लिखा जा सकता है। विस्तार करने पर \(x^3-6x^2+11x-6\) मिलता है। अतः गुणांकों की तुलना से \(p=-6\) और \(q=11\), इसलिए \(p+q=-6+11=5\)। परीक्षा-युक्ति: एकक अग्रणी गुणांक वाले घन बहुपद में \(x^2\) और \(x\) के गुणांकों की तुलना सीधे करें। / Using the given zeroes, the polynomial can be written as \((x-1)(x-2)(x-3)\). On expansion, this becomes \(x^3-6x^2+11x-6\). Comparing coefficients gives \(p=-6\) and \(q=11\), so \(p+q=-6+11=5\). Exam tip: For a monic cubic polynomial, compare the coefficients of \(x^2\) and \(x\) directly after forming the product of the corresponding linear factors.
दिए गए शून्यकों के आधार पर बहुपद को \((x-1)(x-2)(x-3)\) के रूप में लिखा जा सकता है। विस्तार करने पर \(x^3-6x^2+11x-6\) प्राप्त होता है। अतः \(p=-6\) और \(q=11\), इसलिए \(p+q=-6+11=5\)। \(-5\) प्राप्त करने के लिए जोड़ के बजाय घटाव करना एक सामान्य गलती है। परीक्षा में शून्यकों से बने गुणनखंडों का विस्तार करके समान घातों के गुणांकों की तुलना करें। / Using the given zeroes, the polynomial can be written as \((x-1)(x-2)(x-3)\). On expansion, this becomes \(x^3-6x^2+11x-6\). Therefore, \(p=-6\) and \(q=11\), so \(p+q=-6+11=5\). The value \(-5\) results from subtracting instead of adding the coefficients. In an exam, form the factors from the zeroes, expand them, and compare coefficients of like powers.
वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-6, c=k\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\)। अतः \(36-4k=0\), जिससे \(k=9\) प्राप्त होता है। विकल्प 6 केवल \(b\) के परिमाण से जुड़ा है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For real and equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1, b=-6, c=k\), so \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\). Setting \(D=0\) gives \(36-4k=0\), hence \(k=9\). The value 6 is only the magnitude of the coefficient of \(x\), so it is not correct. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, always use \(b^2-4ac=0\).
द्विघात समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{C}{A}\) होता है। यहाँ मूलों का गुणनफल \(3\times5=15\) और \(\frac{C}{A}=\frac{15}{a}\) है। इसलिए \(\frac{15}{a}=15\), जिससे \(a=1\) प्राप्त होता है। विकल्प 15 स्थिर पद है, \(a\) का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का गुणनफल हमेशा \(\frac{c}{a}\) और योग \(-\frac{b}{a}\) से मिलाएँ। / For a quadratic equation \(Ax^2+Bx+C=0\), the product of its roots is \(\frac{C}{A}\). Here, the product is \(3\times5=15\), while \(\frac{C}{A}=\frac{15}{a}\). Thus, \(\frac{15}{a}=15\), giving \(a=1\). The value 15 is the constant term, not the coefficient \(a\). Exam tip: use \(\frac{c}{a}\) for the product of roots and \(-\frac{b}{a}\) for their sum.
मूलों का योग \((-1)+(-4)=-5\) है। द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। अतः \(-\frac{p}{2}=-5\), जिससे \(p=10\) प्राप्त होता है। विकल्प C \(8\) अचर पद है, \(p\) का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल क्रमशः \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) से जाँचें। / The sum of the roots is \((-1)+(-4)=-5\). For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\). Therefore, \(-\frac{p}{2}=-5\), giving \(p=10\). Option C, \(8\), is the constant term, not the value of \(p\). Exam tip: Check the sum and product of roots using \(-\frac{b}{a}\) and \(\frac{c}{a}\), respectively.
द्विघात समीकरण \(x^2+px+36=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है। यहाँ दोनों मूल \(-6\) हैं, इसलिए उनका योग \(-6+(-6)=-12\) है। अतः \(-p=-12\), जिससे \(p=12\) प्राप्त होता है। विकल्प \(-12\) मूलों का योग है, \(p\) का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+c=0\) में मूलों का योग हमेशा \(-p\) याद रखें। / For the quadratic equation \(x^2+px+36=0\), the sum of the roots is \(-p\). Since both roots are \(-6\), their sum is \(-6+(-6)=-12\). Therefore, \(-p=-12\), giving \(p=12\). The value \(-12\) is the sum of the roots, not the value of \(p\). Exam tip: In \(x^2+px+c=0\), the sum of the roots is always \(-p\).
द्विघात समीकरण \\(x^2+mx+20=0\\) में मूलों का योग \\(-m\\) होता है। दिए गए मूलों का योग \\((-4)+(-5)=-9\\) है, इसलिए \\(-m=-9\\), अर्थात \\(m=9\\)। अतः सही उत्तर 9 है। परीक्षा में \\(x^2+bx+c=0\\) के लिए मूलों का योग \\(-b\\) याद रखें। / For the quadratic equation \\(x^2+mx+20=0\\), the sum of the roots is \\(-m\\). The given roots have sum \\((-4)+(-5)=-9\\), so \\(-m=-9\\), which gives \\(m=9\\). Therefore, 9 is correct. Exam tip: for \\(x^2+bx+c=0\\), the sum of the roots is \\(-b\\).
गणितीय पहचान के अनुसार \((x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\). दिया गया बहुपद \(x^2 + 28x + 196\) से तुलनात्मक गुणांक लेने पर \(2a = 28\) मिलता है, इसलिए \(a = 14\). साथ ही \(a^2 = 196\) भी सत्य है जब \(a = 14\). विकल्प \(-14\) को खारिज इसलिए किया जाता है क्योंकि यदि \(a = -14\) होता तो मध्य पद का गुणांक \(2a = -28\) होना चाहिए, जो दिए गए बहुपद से मेल नहीं खाता। परीक्षा सुझाव: बराबर की शक्तियों वाले पदों के गुणांक की तुलना करें — यह तेज़ और सुरक्षित तरीका है। / Using the identity \((x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\), compare coefficients with \(x^2 + 28x + 196\). From the coefficient of \(x\) we get \(2a = 28\), so \(a = 14\). Also \(a^2 = 196\) holds for \(a=14\). The option \(-14\) is incorrect because it would give \(2a = -28\), which contradicts the given linear coefficient. Exam tip: equate coefficients of like powers of \(x\) to find unknown parameters quickly.
विस्तार करने पर \\((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\\) मिलता है। दोनों पक्षों में \\(x\\) के गुणांक की तुलना करने पर \\(2a=-20\\), इसलिए \\(a=-10\\) है। यह मान रखने पर \\(a^2=100\\) भी मिलता है, इसलिए अचर पद की शर्त भी पूरी होती है। परीक्षा-युक्ति: सर्वसमिका में समान घातों वाले पदों के गुणांकों की तुलना करें। / Expanding gives \\((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\\). Comparing the coefficients of \\(x\\) on both sides, \\(2a=-20\\), so \\(a=-10\\). Substituting this value also gives \\(a^2=100\\), confirming the constant term. Exam tip: For an identity, compare coefficients of like powers of the variable.
वियत के सूत्र के अनुसार, समीकरण \(x^2+bx+100=0\) के मूलों का योग \(-b\) होता है। दोनों मूल \(-10\) हैं, इसलिए उनका योग \(-10+(-10)=-20\) है। अतः \(-b=-20\), जिससे \(b=20\)। परीक्षा में \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग हमेशा \(-b\) याद रखें; ऋण चिह्न की गलती से विकल्प B आ सकता है। / By Vieta’s formula, the sum of the roots of \(x^2+bx+100=0\) is \(-b\). Since both roots are \(-10\), their sum is \(-10+(-10)=-20\). Therefore, \(-b=-20\), giving \(b=20\). Exam tip: for \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is always \(-b\); missing this negative sign leads to option B.
विस्तार करने पर \\(x+a\\)2=x-2+2ax+a-2"). अब \\(x\\) के गुणांक की तुलना करने पर \\(2a=18\\), अतः \\(a=9\\)। साथ ही, \\(a^2=81\\) भी संतुष्ट होता है। \\(-9\\) से स्थिर पद तो 81 मिलता है, लेकिन \\(x\\) का गुणांक \\(-18\\) हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: सर्वसमिका में समान घात वाले पदों के गुणांकों की तुलना करें। / Expanding gives \\(x+a\\)2=x-2+2ax+a-2"). Comparing the coefficients of \\(x\\), we get \\(2a=18\\), so \\(a=9\\). This also satisfies the constant-term condition \\(a^2=81\\). Although \\(-9\\) gives the same constant term, it makes the coefficient of \\(x\\) equal to \\(-18\\), so it is incorrect. Exam tip: For an identity, compare coefficients of like powers on both sides.
विस्तार करने पर \\(x+a\\)2 = x-2 + 2ax + a-2 मिलता है। x के गुणांकों की तुलना करने पर \\(2a=-12\\), इसलिए \\(a=-6\\)। यद्यपि स्थिर पद से \\(a^2=36\\) और a के लिए 6 या -6 दोनों संभव दिखते हैं, x के गुणांक की तुलना केवल -6 को सही ठहराती है। परीक्षा-युक्ति: सर्वसमिका में समान घात वाले पदों के गुणांकों की तुलना करें। / Expanding gives \\(x+a\\)2 = x-2 + 2ax + a-2\. Comparing the coefficients of x, \\(2a=-12\\), so \\(a=-6\\). The constant term gives \\(a^2=36\\), which alone allows both 6 and -6; the coefficient of x identifies -6 uniquely. Exam tip: For an identity, compare coefficients of like powers of the variable.
विस्तार करने पर \\(x+a)^2=x^2+2ax+a^2\\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में \\(x\\) के गुणांक की तुलना करने पर \\(2a=10\\), अतः \\(a=5\\)। विकल्प B में \\(a=-5\\) लेने पर \\(x\\) का गुणांक \\(-10\\) हो जाएगा, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: सर्वसमिका में समान घात वाले पदों के गुणांकों की तुलना करें। / Expanding gives \\(x+a)^2=x^2+2ax+a^2\\). Comparing the coefficients of \\(x\\) on both sides, \\(2a=10\\), so \\(a=5\\). Option B is incorrect because \\(a=-5\\) would make the coefficient of \\(x\\) equal to \\(-10\\). Exam tip: In an identity, compare the coefficients of like powers of the variable.
मूलों का योग \((-5)+(-5)=-10\) है। समीकरण \(x^2+bx+25=0\) में मूलों का योग \(-b\) होता है, इसलिए \(-b=-10\), अर्थात \(b=10\)। परीक्षा में \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) याद रखें। / The sum of the two roots is \((-5)+(-5)=-10\). For \(x^2+bx+25=0\), the sum of the roots is \(-b\). Hence, \(-b=-10\), giving \(b=10\). Exam tip: for \(x^2+bx+c=0\), remember that the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\).
