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roots and coefficients se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
मूल 2 होने पर समीकरण में \(x=2\) रखने से \(2^2-5(2)+q=0\), अर्थात \(4-10+q=0\), इसलिए \(q=6\)। वैकल्पिक रूप से, मूलों का योग 5 है, अतः दूसरा मूल 3 और मूलों का गुणनफल \(q=2\times3=6\) होगा। परीक्षा में \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का गुणनफल \(c\) याद रखें; 10 मूलों के योग से संबंधित है, इसलिए सही नहीं है। / Since 2 is a root, substitute \(x=2\) in the equation: \(2^2-5(2)+q=0\), giving \(4-10+q=0\) and hence \(q=6\). Alternatively, the sum of the roots is 5, so the other root is 3 and their product is \(q=2\times3=6\). Exam tip: for \(x^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(c\); 10 is related to neither the required constant term nor the correct substitution result.
दिए गए मूलों से समीकरण के गुणनखंड \((x+6)(x+7)=0\) होंगे। विस्तार करने पर \(x^2+13x+42=0\) मिलता है, इसलिए \(p=13\)। विकल्प \(-13\) में चिह्न की गलती है; क्योंकि मूलों का योग \(-6+(-7)=-13=-p\) होता है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है। / The given roots form the factors \((x+6)(x+7)=0\). Expanding gives \(x^2+13x+42=0\), so \(p=13\). The distractor \(-13\) results from missing the negative sign in the relation that the sum of roots is \(-p\): \(-6+(-7)=-13=-p\). Exam tip: For \(x^2+px+q=0\), the sum of the roots is \(-p\).
दिए गए मूलों से समीकरण के गुणनखंड \((x+3)(x+4)\) होंगे। विस्तार करने पर \(x^2+7x+12=0\) मिलता है, इसलिए \(p=7\) है। विकल्प B में मूलों का योग \(-7\) लिया गया है, जबकि \(p\) उसका ऋणात्मक होता है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है। / The factors corresponding to the roots are \((x+3)(x+4)\). Expanding gives \(x^2+7x+12=0\), so \(p=7\). Option B incorrectly uses the sum of the roots, \(-7\), whereas the coefficient is its negative. Exam tip: for \(x^2+px+q=0\), the sum of the roots is \(-p\).
वियत के सूत्र के अनुसार, जड़ों का योग \\(-p\\) के बराबर होता है और उनका गुणनफल \\(q\\) के बराबर होता है। इसलिए \\((-4)+9=5=-p\\), अतः \\(p=-5\\)। साथ ही, \\((-4)(9)=-36\\), इसलिए \\(q=-36\\)। अतः \\(p-q=-5-(-36)=31\\)। परीक्षा में याद रखें: \\(x^2+px+q=0\\) में जड़ों का योग \\(-p\\) और गुणनफल \\(q\\) होता है। / By Vieta’s formulas, the sum of the roots equals \\(-p\\), while their product equals \\(q\\). Thus, \\((-4)+9=5=-p\\), so \\(p=-5\\). Also, \\((-4)(9)=-36\\), giving \\(q=-36\\). Therefore, \\(p-q=-5-(-36)=31\\). Exam tip: For \\(x^2+px+q=0\\), the sum of the roots is \\(-p\\) and the product is \\(q\\).
समीकरण \(x^2-(u+v)x+uv=0\) को \((x-u)(x-v)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए इसकी जड़ें \(u\) और \(v\) हैं। दोनों जड़ें समान होने के लिए \(u=v\) होना आवश्यक है। विविक्तकर से भी \(D=(u+v)^2-4uv=(u-v)^2\) मिलता है; समान जड़ों के लिए \(D=0\), अतः \(u=v\)। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले गुणनखंड रूप पहचानें या सीधे विविक्तकर का प्रयोग करें। / The equation \(x^2-(u+v)x+uv=0\) factors as \((x-u)(x-v)=0\), so its roots are \(u\) and \(v\). For the roots to be equal, it is necessary that \(u=v\). Equivalently, the discriminant is \(D=(u+v)^2-4uv=(u-v)^2\); equal roots require \(D=0\), giving \(u=v\). Exam tip: Look for the factorised form first, or use the discriminant condition directly.
मूलों के योग के लिए \(-p=5+(-2)=3\), इसलिए \(p=-3\)। मूलों का गुणनफल \(q=5\times(-2)=-10\) होगा। अतः \(p-q=-3-(-10)=7\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q=0\) में मूलों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) होता है। / The sum of the roots is \(5+(-2)=3\). Since the sum of roots is \(-p\), we get \(p=-3\). Their product is \(q=5\times(-2)=-10\). Therefore, \(p-q=-3-(-10)=7\). Exam tip: For \(x^2+px+q=0\), the sum of roots is \(-p\) and their product is \(q\).
यदि मूल 6 और −2 हैं, तो समीकरण \((x-6)(x+2)=0\) होगा। इसका विस्तार करने पर \(x^2-4x-12=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें: मूलों का योग 4 है, इसलिए \(x\) का गुणांक −4 होना चाहिए और मूलों का गुणनफल −12 है। / If the roots are 6 and −2, the equation is \((x-6)(x+2)=0\). Expanding it gives \(x^2-4x-12=0\), so option A is correct. Exam tip: the sum of the roots is 4, giving the coefficient −4 for \(x\), and their product is −12.
द्विघात समीकरण में मूलों का गुणनफल अचर पद और अग्रणी गुणांक के अनुपात के बराबर होता है। यहाँ दोनों मूलों का गुणनफल \(6m\) है। एक मूल \(6\) दिया गया है, इसलिए दूसरा मूल \(\frac{6m}{6}=m\) होगा। ध्यान दें कि \(m+6\) मूलों का योग है, दूसरा मूल नहीं। / For a quadratic equation, the product of the roots equals the constant term divided by the leading coefficient. Here, the product of the roots is \(6m\). Since one root is \(6\), the other root is \(\frac{6m}{6}=m\). Note that \(m+6\) is the sum of the roots, not the other root.
द्विघात समीकरण में मूलों का गुणनफल स्थिर पद और \(x^2\) के गुणांक का अनुपात होता है। यहाँ मूलों का गुणनफल \(5m\) है। एक मूल \(5\) दिया गया है, इसलिए दूसरा मूल \(\frac{5m}{5}=m\) होगा। ध्यान रखें: दूसरे मूल के लिए गुणनफल को दिए गए मूल से भाग दिया जाता है। / For a quadratic equation, the product of the roots equals the constant term divided by the coefficient of \(x^2\). Here, the product of the roots is \(5m\). Since one root is \(5\), the other root is \(\frac{5m}{5}=m\). Exam tip: divide the product of the roots by the known root to obtain the other root.
द्विघात समीकरण \(x^2-sx+p=0\) में मूलों का योग \(s\) और मूलों का गुणनफल \(p\) होता है। इसलिए \(s=5+6=11\) तथा \(p=5\times6=30\)। अतः \(s+p=11+30=41\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2-(\text{मूलों का योग})x+(\text{मूलों का गुणनफल})\) के मानक रूप से सीधे तुलना करें। / For the quadratic equation \(x^2-sx+p=0\), the sum of the roots is \(s\), and their product is \(p\). Thus, \(s=5+6=11\) and \(p=5\times6=30\), so \(s+p=11+30=41\). Exam tip: Compare the equation with \(x^2-(\text{sum of roots})x+(\text{product of roots})\) to identify the parameters quickly.
एकक गुणांक वाले द्विघात समीकरण \(x^2+px+q=0\) में मूलों का गुणनफल नियत पद (q) के बराबर होता है। दिए गए मूल (2) और (p) हैं, इसलिए \(q=2\times p=2p\)। अतिरिक्त रूप से, मूलों का योग (2+p=-p) से (p=-1) और (q=-2) मिलता है, जो इस संबंध की पुष्टि करता है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+ax+b=0\) में मूलों का योग (-a) और गुणनफल (b) होता है। / For the monic quadratic equation \(x^2+px+q=0\), the product of the roots equals the constant term (q). Since the roots are (2) and (p), \(q=2\times p=2p\). Also, their sum gives (2+p=-p), so (p=-1) and (q=-2), confirming the relation. Exam tip: In \(x^2+ax+b=0\), the sum of roots is (-a) and their product is (b).
द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) और मूलों का गुणनफल \(c\) होता है। यहाँ मूलों का योग \(-3+8=5\) है, इसलिए \(-b=5\), अर्थात \(b=-5\)। मूलों का गुणनफल \((-3)\times 8=-24\) है, इसलिए \(c=-24\)। अतः \(b+c=-5-24=-29\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c=0\) के लिए सीधे \(b=-(\text{मूलों का योग})\) और \(c=\text{मूलों का गुणनफल}\) का उपयोग करें। / For the monic quadratic equation \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\). Here, the sum is \(-3+8=5\), so \(-b=5\), giving \(b=-5\). The product is \((-3)(8)=-24\), so \(c=-24\). Therefore, \(b+c=-5-24=-29\). Exam tip: For \(x^2+bx+c=0\), use \(b=-(\text{sum of roots})\) and \(c=\text{product of roots}\).
मूलों का योग \((-7)+(-7)=-14\) है। मानक रूप \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) होता है, इसलिए \(-b=-14\), अतः \(b=14\)। विकल्प B मूलों का योग है, जबकि पूछा गया मान गुणांक \(b\) का है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-\frac{\text{x का गुणांक}}{\text{x}^2 का गुणांक}\) से निकालें। / The sum of the roots is \((-7)+(-7)=-14\). For a quadratic equation \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\). Thus, \(-b=-14\), giving \(b=14\). Option B is the sum of the roots, not the value of the coefficient \(b\). Exam tip: Use the relation \(\text{sum of roots}=-\frac{\text{coefficient of }x}{\text{coefficient of }x^2}\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ मूलों का गुणनफल \(4m\) है। एक मूल \(4\) दिया गया है, इसलिए दूसरा मूल \(\frac{4m}{4}=m\) होगा। ध्यान रखें कि \(m+4\) मूलों का योग है, दूसरा मूल नहीं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). Here, the product of the roots is \(4m\). Since one root is \(4\), the other root is \(\frac{4m}{4}=m\). Remember that \(m+4\) is the sum of the roots, not the other root.
द्विघात समीकरण \(x^2-sx+p=0\) में मूलों का योग \(s\) और मूलों का गुणनफल \(p\) होता है। इसलिए \(s=4+5=9\) तथा \(p=4\times5=20\)। अतः \(s+p=9+20=29\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में मूलों के योग और गुणनफल के मानों की तुलना मानक रूप \(x^2-sx+p=0\) से करें। / For the quadratic equation \(x^2-sx+p=0\), the sum of the roots is \(s\), and their product is \(p\). Thus, \(s=4+5=9\) and \(p=4\times5=20\). Therefore, \(s+p=9+20=29\), so option A is correct. Exam tip: compare the equation directly with the standard form \(x^2-(\text{sum of roots})x+(\text{product of roots})=0\).
मूलों का योग \((-5)+(-5)=-10\) है। समीकरण \(x^2+bx+25=0\) में मूलों का योग \(-b\) होता है, इसलिए \(-b=-10\), अर्थात \(b=10\)। परीक्षा में \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) याद रखें। / The sum of the two roots is \((-5)+(-5)=-10\). For \(x^2+bx+25=0\), the sum of the roots is \(-b\). Hence, \(-b=-10\), giving \(b=10\). Exam tip: for \(x^2+bx+c=0\), remember that the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\).
दोनों शून्यकों का योग और गुणनफल गुणांक से मिलते हैं। बहुपद \(x^2-6x+n\) में शून्यकों का योग \(-\frac{-6}{1}=6\) है और गुणनफल \(n\) है। दिए हुए शून्यक \(3+\sqrt{m}\) और \(3-\sqrt{m}\) का गुणनफल \((3+\sqrt{m})(3-\sqrt{m})=9-m\) होगा। यह गुणनफल \(n=5\) के बराबर है, अतः \(9-m=5\) से \(m=4\)। द्वितीय विकल्प (5) इसीलिए गलत है क्योंकि वह सीधे \(n\) को \(m\) समझ लेने की गलती होगी। परिक्षा युक्ति: द्विघात के लिए शून्यकों का योग और गुणनफल तुरंत याद रखें — यह समय बचाता है। / Use the relations between roots and coefficients for a quadratic. For \(x^2-6x+n\), sum of roots is \(-(-6)/1=6\) and product of roots is \(n\). For roots \(3+\sqrt{m}\) and \(3-\sqrt{m}\), the product is \((3+\sqrt{m})(3-\sqrt{m})=9-m\). Setting this equal to \(n=5\) gives \(9-m=5\), so \(m=4\). Option B (5) is a common distractor from confusing \(m\) with \(n\); option C (9) would give product zero, not 5. Exam tip: immediately write sum and product relations for quadratics to avoid unnecessary algebra.
