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दिए गए मूलों से समीकरण के गुणनखंड \((x+6)(x+7)=0\) होंगे। विस्तार करने पर \(x^2+13x+42=0\) मिलता है, इसलिए \(p=13\)। विकल्प \(-13\) में चिह्न की गलती है; क्योंकि मूलों का योग \(-6+(-7)=-13=-p\) होता है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है। / The given roots form the factors \((x+6)(x+7)=0\). Expanding gives \(x^2+13x+42=0\), so \(p=13\). The distractor \(-13\) results from missing the negative sign in the relation that the sum of roots is \(-p\): \(-6+(-7)=-13=-p\). Exam tip: For \(x^2+px+q=0\), the sum of the roots is \(-p\).
दिया गया समीकरण \(x^2+x-6=0\) इस प्रकार गुणनखंडित होता है: \((x-2)(x+3)=0\)। अतः इसके मूल \(2\) और \(-3\) हैं। इसलिए \(\alpha^5+\beta^5=2^5+(-3)^5=32-243=-211\)। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: उच्च घात वाले मूलों के लिए पहले समीकरण का गुणनखंडन करके मूल ज्ञात करना सबसे सरल तरीका है; ऋणात्मक मूल की विषम घात का चिह्न ऋणात्मक रहता है। / The equation \(x^2+x-6=0\) factors as \((x-2)(x+3)=0\), so its roots are \(2\) and \(-3\). Hence, \(\alpha^5+\beta^5=2^5+(-3)^5=32-243=-211\). Therefore, option A is correct. Exam tip: For a power sum such as this, factor the quadratic first when the roots are integral, and remember that an odd power preserves the negative sign of a negative root.
दिए गए द्विघात बहुपद को इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है: \\(x^2-(2a+9)x+(a+4)(a+5)=(x-(a+4))(x-(a+5))\\)। इसलिए इसकी जड़ें \\(a+4\\) और \\(a+5\\) हैं, जिनका अंतर 1 है। विकल्प B में भी जड़ों का योग \\(2a+9\\) आता है, लेकिन उनका गुणनफल \\( (a+3)(a+6)\\) है, जो दिए गए गुणनफल से सामान्यतः अलग है। परीक्षा-युक्ति: \\(x^2-Sx+P\\) में ऐसी दो राशियाँ खोजें जिनका योग \\(S\\) और गुणनफल \\(P\\) हो। / The quadratic factors as \\(x^2-(2a+9)x+(a+4)(a+5)=(x-(a+4))(x-(a+5))\\)। Hence, its roots are \\(a+4\\) and \\(a+5\\), which differ by 1. Option B has the same sum of roots, \\(2a+9\\), but its product is \\( (a+3)(a+6)\\), which is generally not the given product. Exam tip: For \\(x^2-Sx+P\\), identify two expressions whose sum is \\(S\\) and whose product is \\(P\\).
बहुपद को गुणनखंडों में लिखने पर \(x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)\) मिलता है। अतः \((x-a)(x-b)=0\) के लिए शून्य गुणनफल नियम से \(x=a\) या \(x=b\) होगा। इसलिए सही जड़ें \(a\) और \(b\) हैं। विकल्प B में \(a+b\) और \(ab\) गुणांकों से संबंधित राशियाँ हैं, जड़ें नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2-Sx+P=0\) में ऐसी संख्याएँ खोजें जिनका योग \(S\) और गुणनफल \(P\) हो। / Factoring the polynomial gives \(x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)\). Hence, by the zero-product property, \((x-a)(x-b)=0\) implies \(x=a\) or \(x=b\). Therefore, the roots are \(a\) and \(b\). Option B lists the sum and product of the roots, not the roots themselves. Exam tip: In \(x^2-Sx+P=0\), look for two numbers whose sum is \(S\) and product is \(P\).
मूलों के योग और गुणनफल से \(\alpha+\beta=10\) तथा \(\alpha\beta=21\) मिलते हैं। पहचान \(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+eta)\) का प्रयोग करने पर \(10^3-3\times21\times10=1000-630=370\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 370 है। परीक्षा-युक्ति: घन के योग वाले प्रश्नों में पहले मूलों का योग और गुणनफल पहचानें। / From the coefficients, \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=21\). Using the identity \(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+eta)^3-3\alpha\beta(\alpha+eta)\), we get \(10^3-3\times21\times10=1000-630=370\). Hence, the correct answer is 370. Exam tip: For the sum of cubes of roots, first find their sum and product using Vieta’s relations.
मूलों का योग \(4+(-1)=3\) है। समीकरण \(x^2+px+q=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है, इसलिए \(-p=3\), अर्थात् \(p=-3\)। मूलों का गुणनफल \(4\times(-1)=-4\) है, इसलिए \(q=-4\)। अतः \(p-q=-3-(-4)=1\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q=0\) के लिए मूलों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) याद रखें। / The sum of the roots is \(4+(-1)=3\). For \(x^2+px+q=0\), the sum of the roots is \(-p\), so \(-p=3\) and hence \(p=-3\). Their product is \(4\times(-1)=-4\), so \(q=-4\). Therefore, \(p-q=-3-(-4)=1\). Exam tip: For \(x^2+px+q=0\), remember that the sum of roots is \(-p\) and their product is \(q\).
मूलों को (t) और (2t) मानें। द्विघात समीकरण के मूलों का योग -\frac{b}{a}=6 होता है, इसलिए t+2t=6 से t=2 मिलता है। अतः मूल 2 और 4 हैं। मूलों का गुणनफल \frac{c}{a}=c होता है, इसलिए c=2\times4=8। परीक्षा-युक्ति: x-2+bx+c के लिए मूलों का योग -b और गुणनफल c याद रखें। / Let the roots be t and (2t). By the sum-of-roots relation, t+2t=6, so t=2 and the roots are 2 and 4. Their product is c because the coefficient of x-2 is 1; hence c=2\times4=8. Exam tip: For x-2+bx+c, the sum of roots is -b and their product is c.
द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=c\) होता है। यहाँ \(c=k\), इसलिए \(k=(-2)(-4)=8\)। विकल्प \(-8\) ऋणात्मक चिह्न की गलती से प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल क्रमशः \(-b\) और \(c\) से मिलाकर उत्तर जाँचें। / For a quadratic equation \(x^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\alpha\beta=c\). Here, \(c=k\), so \(k=(-2)(-4)=8\). The option \(-8\) results from an incorrect sign in multiplying two negative numbers. Exam tip: Verify the roots using both their sum \((-b)\) and product \(c\).
मान लें कि मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। मूलों के योग और गुणनफल से \(\alpha+\beta=9\) तथा \(\alpha\beta=14\)। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=9^2-2(14)=81-28=53\)। अतः सही उत्तर 53 है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के वर्गों का योग निकालने के लिए सीधे \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) का प्रयोग करें; केवल \((\alpha+\beta)^2=81\) लेना सही नहीं होगा। / Let the roots be \(\alpha\) and \(\beta\). By the relations between the roots and coefficients, \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=14\). Hence, \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=9^2-2(14)=81-28=53\). Therefore, the correct answer is 53. Exam tip: use \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\); \(81\) alone is only \((\alpha+\beta)^2\), not the required sum.
बहुपद का गुणनखंडन करें: \(x^2-14x+45=(x-5)(x-9)\)। अतः \((x-5)(x-9)=0\) से \(x=5\) या \(x=9\), इसलिए सही मूल 5 और 9 हैं। विकल्प B में गुणनफल 45 तो है, लेकिन योग 18 है, 14 नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग 14 और गुणनफल 45 जाँचकर उत्तर की पुष्टि करें। / Factorise the quadratic: \(x^2-14x+45=(x-5)(x-9)\). Thus, \((x-5)(x-9)=0\) gives \(x=5\) or \(x=9\). Therefore, the roots are 5 and 9. In option B, the product is 45, but the sum is 18 rather than 14. Exam tip: verify the roots using sum \(=14\) and product \(=45\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=54\), इसलिए दोनों मूलों का गुणनफल \(54\) है। यदि एक मूल \(6\) है, तो दूसरा मूल \(\frac{54}{6}=9\) होगा। विकल्प 6 को दोहराना और 15 को मूलों के योग से भ्रमित करना है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का गुणनफल ज्ञात करके दिए गए मूल से भाग दें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=1\) and \(c=54\), so the product of the two roots is \(54\). If one root is \(6\), the other root is \(\frac{54}{6}=9\). Option 6 merely repeats the given root, while 15 is the sum of the roots, not their product. Exam tip: use the product-of-roots relation and divide by the known root.
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल α और β हों, तो उसका समीकरण (x − α)(x − β) = 0 होता है। यहाँ α = −3 और β = 6 हैं, इसलिए (x + 3)(x − 6) = 0। विस्तार करने पर x² − 3x − 18 = 0 मिलता है, इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि मूलों का योग x का गुणांक बदलकर −3 देता है और मूलों का गुणनफल अचर पद −18 देता है। / If α and β are the roots of a quadratic equation, its equation is (x − α)(x − β) = 0. Here α = −3 and β = 6, so (x + 3)(x − 6) = 0. Expanding gives x² − 3x − 18 = 0, making option A correct. Exam tip: the sum of the roots is 3, so the coefficient of x is −3, while their product is −18, the constant term.
यहाँ \(a=1\), \(b=-14\) और \(c=49\) हैं। द्विघात समीकरण के लिए मूलों का योग \(-b/a=14\) तथा मूलों का गुणनफल \(c/a=49\) होता है। वास्तव में, \(x^2-14x+49=(x-7)^2\), इसलिए दोनों मूल 7 हैं; उनका योग 14 और गुणनफल 49 है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) सीधे पहचानें। विकल्प C में मूलों को ही योग और गुणनफल समझ लिया गया है। / Here, \(a=1\), \(b=-14\), and \(c=49\). For a quadratic equation, the sum of the roots is \(-b/a=14\), while their product is \(c/a=49\). Indeed, \(x^2-14x+49=(x-7)^2\), so both roots are 7; their sum is 14 and their product is 49. Exam tip: directly apply the relations sum \(=-b/a\) and product \(=c/a\). Option C gives the individual repeated root instead of its sum and product.
दिए गए समीकरण को गुणनखंडित करने पर �(x-2-11x+28=(x-4)(x-7))� प्राप्त होता है। अतः �(x-4=0)� या �(x-7=0)� से मूल 4 और 7 मिलते हैं। विकल्प B में गुणनफल 28 है, लेकिन मूलों का योग 16 है, जबकि समीकरण में मूलों का योग 11 होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग 11 और गुणनफल 28 जाँचकर उत्तर शीघ्र सत्यापित करें। / Factoring the equation gives �(x-2-11x+28=(x-4)(x-7))�. Therefore, �(x-4=0)� or �(x-7=0)�, so the roots are 4 and 7. In option B, the product is 28, but the sum is 16 rather than the required 11. Exam tip: Quickly verify the roots using sum = 11 and product = 28.
विकेटा के अनुसार एक घनत्वीय द्विघात समीकरण \(x^2+px+q=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है। दिए गए मूलों का योग \((p+2)+(q-2)=p+q=8\) है, अतः \(-p=8\) और इसलिए \(p=-8\)। जाँच करने पर गुणनफल की शर्त \((p+2)(q-2)=q\) के साथ यह डेटा असंगत निकलता है: \(p=-8\) व \(q=16\) लेने पर बाएँ ओर \(-84\) मिलता है जो \(q=16\) से मेल नहीं खाता। पर प्रश्न सीधे योग से \(p\) पूछ रहा है, अतः उत्तर \(-8\) है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा योग और गुणनफल दोनों की जाँच करें; साइन में गलती होने पर अक्सर विरोधी विकल्प \(8\) जैसा मिलेगा। / By Vieta's relations for \(x^2+px+q=0\), the sum of roots equals \(-p\). The given roots sum to \((p+2)+(q-2)=p+q=8\), so \(-p=8\) and hence \(p=-8\). Note: checking the product condition \((p+2)(q-2)=q\) with \(p=-8\) (so \(q=16\)) gives \(-84\neq16\), so the full set of data is inconsistent; nevertheless the value of \(p\) is determined by the sum relation asked in the question. Exam tip: check both sum and product; a common mistake is to miss the negative sign and pick \(8\).
