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roots of a quadratic equation MCQ Questions for Class 10
roots of a quadratic equation se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
दिया गया समीकरण \(x^2+x-6=0\) इस प्रकार गुणनखंडित होता है: \((x-2)(x+3)=0\)। अतः इसके मूल \(2\) और \(-3\) हैं। इसलिए \(\alpha^5+\beta^5=2^5+(-3)^5=32-243=-211\)। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: उच्च घात वाले मूलों के लिए पहले समीकरण का गुणनखंडन करके मूल ज्ञात करना सबसे सरल तरीका है; ऋणात्मक मूल की विषम घात का चिह्न ऋणात्मक रहता है। / The equation \(x^2+x-6=0\) factors as \((x-2)(x+3)=0\), so its roots are \(2\) and \(-3\). Hence, \(\alpha^5+\beta^5=2^5+(-3)^5=32-243=-211\). Therefore, option A is correct. Exam tip: For a power sum such as this, factor the quadratic first when the roots are integral, and remember that an odd power preserves the negative sign of a negative root.
मूलों का योग �(-2)+(-3)=-5� है। द्विघात समीकरण �\(ax^2+bx+c=0\)� में मूलों का योग �-��\frac{b}{a}� होता है। इसलिए �-\frac{p}{3}=-5�, जिससे �p=15� प्राप्त होता है। विकल्प B में चिह्न की गलती है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग के लिए �-\frac{b}{a}� और गुणनफल के लिए �\frac{c}{a}� याद रखें। / The sum of the roots is �(-2)+(-3)=-5�. For a quadratic equation �\(ax^2+bx+c=0\)�, the sum of the roots is �-\frac{b}{a}�. Hence, �-\frac{p}{3}=-5�, giving �p=15�. Option B results from an incorrect sign. Exam tip: use �-\frac{b}{a}� for the sum of roots and �\frac{c}{a}� for their product.
द्विघात समीकरण c\(x^2-6x+2=0c\) के लिए मूलों का योग c\(\alpha+\beta=6c\) और मूलों का गुणनफल c\(\alpha\beta=2c\) है। पहचान c(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\betac) से c(\alpha-2+\beta-2=62-2(2)=36-4=32c) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के वर्गों का योग निकालते समय c(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\betac) का प्रयोग करें; 36 केवल c(\(\alpha+\beta\)2c) है, पूरा उत्तर नहीं। / For the quadratic equation c\(x^2-6x+2=0c\), the sum of the roots is c\(\alpha+\beta=6c\) and their product is c\(\alpha\beta=2c\). Using the identity c(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\betac), we get c(\alpha-2+\beta-2=62-2(2)=36-4=32c). Therefore, option A is correct. Exam tip: use c(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\betac); 36 is only c(\(\alpha+\beta\)2c), not the required value.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=5\) और \(c=q\), इसलिए मूलों का गुणनफल \(\frac{q}{5}\) है। अतः \(\frac{q}{5}=3\times(-4)=-12\)। विकल्प \(12\) में ऋणात्मक चिन्ह छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=5\) and \(c=q\), so the product of the roots is \(\frac{q}{5}\). Therefore, \(\frac{q}{5}=3\times(-4)=-12\). The distractor \(12\) results from missing the negative sign. Exam tip: remember that the sum of roots is \(-\frac{b}{a}\), while their product is \(\frac{c}{a}\).
विएटा के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=9\) और \(\alpha\beta=18\)। अतः \((\alpha-2)(\beta-2)=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=18-18+4=4\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि केवल \(\alpha\beta\) पूछे जाने पर उत्तर 18 होता, लेकिन यहाँ दोनों मूलों में से 2 घटाकर गुणनफल निकालना है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=18\). Therefore, \((\alpha-2)(\beta-2)=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=18-18+4=4\). Hence, option A is correct. Exam tip: 18 is only the product \(\alpha\beta\); the required expression also involves the sum of the roots.
दोनों मूल ऋणात्मक और अनुपात \(1:2\) में हैं, इसलिए उन्हें \(-t\) और \(-2t\) मान सकते हैं। मूलों का गुणनफल \((-t)(-2t)=2t^2=18\) है, अतः \(t=3\) और मूल \(-3,-6\) हैं। मूलों का योग \(-9\) है। विएटा के सूत्र के अनुसार मूलों का योग \(-p\) होता है, इसलिए \(-p=-9\), अर्थात् \(p=9\)। परीक्षा में \(x^2+px+c=0\) के लिए मूलों का योग \(-p\) याद रखें। / Since both roots are negative and their ratio is \(1:2\), let them be \(-t\) and \(-2t\). Their product is \((-t)(-2t)=2t^2=18\), giving \(t=3\). Thus, the roots are \(-3\) and \(-6\), whose sum is \(-9\). By Vieta’s relation, the sum of the roots is \(-p\), so \(-p=-9\) and \(p=9\). Exam tip: for \(x^2+px+c=0\), the sum of the roots is \(-p\).
वियत के सूत्र के अनुसार, समीकरण 8x-2-6x+5=09 के मूलों का योग 8\alpha+\beta9 = -\frac{-6}{1}=6 है। इसलिए नए व्यंजकों का योग 8\alpha+39+\u00028\beta+39 = \alpha+\beta+6 = 6+6=12 होगा। विकल्प 9 में केवल एक बार 3 जोड़ने की भूल होती है। परीक्षा-युक्ति: दोनों मूलों में समान संख्या जोड़ने पर मूलों का योग उस संख्या के दोगुने से बढ़ता है। / By Vieta’s formula, the sum of the roots of 8x-2-6x+5=09 is 8\alpha+\beta9 = -\frac{-6}{1}=6. Hence, 8\alpha+39+8\beta+39 = \alpha+\beta+6 = 6+6=12. The distractor 9 results from adding 3 only once. Exam tip: when the same number is added to both roots, their sum increases by twice that number.
द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग -b होता है। यहाँ b=-(m+3) है, इसलिए मूलों का योग m+3 होगा। दिए गए मूलों से 3+6=9=m+3, अतः m=6। विकल्प 3 केवल m+3 को भूल से m मानने पर मिलता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल क्रमशः -(coefficient of x) और स्थिर पद से तुरंत जाँचें। / For a quadratic equation x-2+bx+c=0, the sum of the roots is -b. Here, b=-(m+3), so the sum of the roots is m+3. Since the roots are 3 and 6, 3+6=9=m+3, giving m=6. Option 3 results from mistakenly treating m+3 as m. Exam tip: Verify the result using both the sum of roots and their product; 3\times6=18 matches the constant term.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=8\), इसलिए \(\alpha\beta=8\)। अतः \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=8^2=64\)। विकल्प B केवल \(\alpha\beta\) का मान है, उसका वर्ग नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग और गुणनफल के लिए विएटा के सूत्र सीधे लागू करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Here, \(a=1\) and \(c=8\), so \(\alpha\beta=8\). Therefore, \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=8^2=64\). Option B is only the value of \(\alpha\beta\), not its square. Exam tip: Apply Vieta’s formula directly for the sum and product of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=3\) और \(c=q\), इसलिए मूलों का गुणनफल \(\frac{q}{3}\) है। दिए गए मूलों का गुणनफल \(2\times(-3)=-6\) है, अतः \(\frac{q}{3}=-6\)। ध्यान रखें कि मूलों का योग \(-\frac{p}{3}\) होता है, जबकि गुणनफल \(\frac{q}{3}\) होता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=3\) and \(c=q\), so the product of the roots is \(\frac{q}{3}\). The given product is \(2\times(-3)=-6\); therefore, \(\frac{q}{3}=-6\). Remember that the sum of roots is \(-\frac{p}{3}\), whereas their product is \(\frac{q}{3}\).
मान लें कि मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। मूलों के योग और गुणनफल से \(\alpha+\beta=9\) तथा \(\alpha\beta=14\)। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=9^2-2(14)=81-28=53\)। अतः सही उत्तर 53 है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के वर्गों का योग निकालने के लिए सीधे \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) का प्रयोग करें; केवल \((\alpha+\beta)^2=81\) लेना सही नहीं होगा। / Let the roots be \(\alpha\) and \(\beta\). By the relations between the roots and coefficients, \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=14\). Hence, \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=9^2-2(14)=81-28=53\). Therefore, the correct answer is 53. Exam tip: use \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\); \(81\) alone is only \((\alpha+\beta)^2\), not the required sum.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=4\) और \(b=-20\), इसलिए \(\alpha+\beta=-\frac{-20}{4}=5\)। विकल्प \(\frac{7}{4}\) मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) है, योग नहीं। परीक्षा-टिप: \(b\) के ऋणात्मक चिन्ह को सूत्र में सावधानी से रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=4\) and \(b=-20\), so \(\alpha+\beta=-\frac{-20}{4}=5\). The value \(\frac{7}{4}\) is the product of the roots, \(\frac{c}{a}\), not their sum. Exam tip: handle the negative sign of \(b\) carefully in the formula.
द्विघात समीकरण \(x^2+px+36=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है। यहाँ दोनों मूल \(-6\) हैं, इसलिए उनका योग \(-6+(-6)=-12\) है। अतः \(-p=-12\), जिससे \(p=12\) प्राप्त होता है। विकल्प \(-12\) मूलों का योग है, \(p\) का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+c=0\) में मूलों का योग हमेशा \(-p\) याद रखें। / For the quadratic equation \(x^2+px+36=0\), the sum of the roots is \(-p\). Since both roots are \(-6\), their sum is \(-6+(-6)=-12\). Therefore, \(-p=-12\), giving \(p=12\). The value \(-12\) is the sum of the roots, not the value of \(p\). Exam tip: In \(x^2+px+c=0\), the sum of the roots is always \(-p\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=5\) और \(c=-2\), इसलिए \(\alpha\beta=\frac{-2}{5}=-\frac{2}{5}\)। विकल्प B में ऋणात्मक चिन्ह छूट गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग और गुणनफल के लिए क्रमशः \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Here, \(a=5\) and \(c=-2\), so \(\alpha\beta=\frac{-2}{5}=-\frac{2}{5}\). Option B has the wrong sign and is therefore incorrect. Exam tip: remember that the sum of roots is \(-\frac{b}{a}\), while their product is \(\frac{c}{a}\).
द्विघात समीकरण \\(x^2+mx+20=0\\) में मूलों का योग \\(-m\\) होता है। दिए गए मूलों का योग \\((-4)+(-5)=-9\\) है, इसलिए \\(-m=-9\\), अर्थात \\(m=9\\)। अतः सही उत्तर 9 है। परीक्षा में \\(x^2+bx+c=0\\) के लिए मूलों का योग \\(-b\\) याद रखें। / For the quadratic equation \\(x^2+mx+20=0\\), the sum of the roots is \\(-m\\). The given roots have sum \\((-4)+(-5)=-9\\), so \\(-m=-9\\), which gives \\(m=9\\). Therefore, 9 is correct. Exam tip: for \\(x^2+bx+c=0\\), the sum of the roots is \\(-b\\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) और मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-8, c=15\), इसलिए \(\alpha+\beta=8\) तथा \(\alpha\beta=15\)। अतः \(\alpha+\beta+\alpha\beta=8+15=23\)। विकल्प 8 केवल मूलों का योग है और 15 केवल मूलों का गुणनफल है। परीक्षा-युक्ति: पहले मूलों के योग और गुणनफल के सूत्र पहचानें, फिर दिए गए व्यंजक में मान रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) and their product is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Here, \(a=1, b=-8, c=15\), so \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\). Therefore, \(\alpha+\beta+\alpha\beta=8+15=23\). The values 8 and 15 represent only the sum and product respectively, not their total. Exam tip: identify the sum and product of the roots first, then substitute them into the required expression.
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के मूलों का गुणनफल \\(\\frac{c}{a}\\) होता है। यहाँ \\(a=5\\) और \\(c=-8\\) हैं, इसलिए मूलों का गुणनफल \\(\\frac{-8}{5}=-\\frac{8}{5}\\) होगा। विकल्प B में ऋणात्मक चिह्न छूट गया है। परीक्षा में मूलों का योग और गुणनफल ज्ञात करने के लिए क्रमशः \\( -\\frac{b}{a} \\) और \\( \\frac{c}{a} \\) सूत्र याद रखें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the product of its roots is \\(\\frac{c}{a}\\). Here, \\(a=5\\) and \\(c=-8\\), so the product is \\(\\frac{-8}{5}=-\\frac{8}{5}\\). Option B has the wrong sign. Exam tip: remember that the sum of the roots is \\( -\\frac{b}{a} \\), while their product is \\( \\frac{c}{a} \\).
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल α और β हों, तो उसका समीकरण (x − α)(x − β) = 0 होता है। यहाँ α = −3 और β = 6 हैं, इसलिए (x + 3)(x − 6) = 0। विस्तार करने पर x² − 3x − 18 = 0 मिलता है, इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि मूलों का योग x का गुणांक बदलकर −3 देता है और मूलों का गुणनफल अचर पद −18 देता है। / If α and β are the roots of a quadratic equation, its equation is (x − α)(x − β) = 0. Here α = −3 and β = 6, so (x + 3)(x − 6) = 0. Expanding gives x² − 3x − 18 = 0, making option A correct. Exam tip: the sum of the roots is 3, so the coefficient of x is −3, while their product is −18, the constant term.
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल (alpha) और (beta) हों, तो उसका मोनिक रूप (x-2-(alpha+beta)x+alpha beta=0) होता है। दिए गए मान रखने पर (x-2-(-3)x-10=0), अर्थात \(x^2+3x-10=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में योग का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग के सामने हमेशा ऋण चिह्न और मूलों के गुणनफल के सामने धन चिह्न लगाएँ। / For roots (alpha) and (beta), the monic quadratic equation is (x-2-(alpha+beta)x+alpha beta=0). Substituting the given values gives (x-2-(-3)x-10=0), which simplifies to \(x^2+3x-10=0\). Option B has the wrong sign for the sum of the roots. Exam tip: use the pattern (x-2-(sum of roots)x+product of roots=0).
द्विघात समीकरण \(x^2+ax+9=0\) में मूलों का योग \(-\frac{a}{1}=-a\) होता है। यहाँ मूलों का योग \(3+3=6\) है, इसलिए \(-a=6\), अर्थात \(a=-6\)। विकल्प \(6\) में चिह्न की गलती है। परीक्षा में \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग हमेशा \(-b\) याद रखें। / For the quadratic equation \(x^2+ax+9=0\), the sum of the roots is \(-\frac{a}{1}=-a\). Since the roots are \(3\) and \(3\), their sum is \(6\). Thus, \(-a=6\), giving \(a=-6\). The value \(6\) results from missing the negative sign. In exams, remember that the sum of roots of \(x^2+bx+c=0\) is \(-b\).
द्विघात समीकरण �ax-2+bx+c=0� के मूलों का गुणनफल �\alpha\beta=\frac{c}{a}� होता है। यहाँ �a=4� और �c=-3� हैं, इसलिए �\alpha\beta=\frac{-3}{4}=-\frac{3}{4}�। विकल्प B में परिमाण सही है, लेकिन ऋणात्मक चिन्ह छूट गया है। परीक्षा में मूलों के योग और गुणनफल के सूत्र में �c� का चिन्ह अवश्य जाँचें। / For a quadratic equation �ax-2+bx+c=0�, the product of its roots is �\alpha\beta=\frac{c}{a}�. Here, �a=4� and �c=-3�, so �\alpha\beta=\frac{-3}{4}=-\frac{3}{4}�. Option B has the correct magnitude but misses the negative sign. In an exam, always check the sign of �c� when applying the product-of-roots formula.
मूलों का योग \(1+4=5\) है। मोनिक द्विघात समीकरण का सामान्य रूप \(x^2-(\text{मूलों का योग})x+(\text{मूलों का गुणनफल})=0\) होता है। इसलिए \(x\) का गुणांक \(-5\) होगा। विकल्प B में केवल मूलों का योग दिया गया है; गुणांक में ऋण चिह्न आवश्यक है। परीक्षा में याद रखें: मोनिक द्विघात समीकरण में \(x\) का गुणांक मूलों के योग का ऋणात्मक होता है। / The sum of the roots is \(1+4=5\). A monic quadratic equation has the form \(x^2-(\text{sum of roots})x+(\text{product of roots})=0\). Therefore, the coefficient of \(x\) is \(-5\). Option B gives only the sum of the roots and misses the negative sign. Exam tip: in a monic quadratic, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the roots.
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के मूलों का गुणनफल \\(\\frac{c}{a}\\) होता है। यहाँ \\(a=7\\) और \\(c=-14\\), इसलिए गुणनफल \\(\\frac{-14}{7}=-2\\) है। विकल्प B में चिह्न की गलती है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग और गुणनफल के लिए क्रमशः \\( -\\frac{b}{a}\\) और \\(\\frac{c}{a}\\) याद रखें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the product of its roots is \\(\\frac{c}{a}\\). Here, \\(a=7\\) and \\(c=-14\\), so the product is \\(\\frac{-14}{7}=-2\\). Option B has the sign wrong. Exam tip: remember that the sum and product of roots are \\( -\\frac{b}{a}\\) and \\(\\frac{c}{a}\\), respectively.
