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sum-and-product-of-roots MCQ Questions for Class 10
sum-and-product-of-roots se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
यदि जड़ें \(\alpha\) और \(\beta\) हों, तो एकक द्विघात समीकरण \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=10\) रखने पर \(x^2-7x+10=0\) प्राप्त होता है। विकल्प A में योग का चिह्न गलत है, जबकि विकल्प B में योग और गुणनफल की भूमिकाएँ बदल गई हैं। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के योग के सामने ऋण चिह्न और गुणनफल के सामने धन चिह्न लगाएँ। / If the roots are \(\alpha\) and \(\beta\), the monic quadratic equation is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\). Substituting \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=10\) gives \(x^2-7x+10=0\). Option A has the wrong sign for the sum, while option B interchanges the sum and product. Exam tip: in the monic form, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of roots, and the constant term is their product.
विएटा के सूत्रों से \(\alpha+\beta=-8\) और \(\alpha\beta=12\)। अब \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=(-8)^2-4(12)=64-48=16\)। अतः \((\alpha-\beta)^2+3\alpha\beta=16+3(12)=52\)। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के योग और गुणनफल वाले प्रश्नों में विएटा के सूत्र सीधे लागू करें; केवल \((\alpha+\beta)^2\) लेने पर सही उत्तर नहीं मिलेगा। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=-8\) and \(\alpha\beta=12\). Therefore, \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=(-8)^2-4(12)=64-48=16\). Hence, \((\alpha-\beta)^2+3\alpha\beta=16+3(12)=52\). Exam tip: For expressions involving the sum and product of roots, apply Vieta’s formulas directly; using only \((\alpha+\beta)^2\) leads to an incorrect result.
दिया गया बहुपद \(x^2-(u-v)x-uv\) को \((x-u)(x+v)\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(x-u=0\) या \(x+v=0\), जिससे मूल \(u\) और \(-v\) प्राप्त होते हैं। जाँच के लिए इन मूलों का योग \(u-v\) तथा गुणनफल \(-uv\) आता है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले गुणनखंडन करके मूल ज्ञात करना सबसे तेज़ तरीका है। / The polynomial \(x^2-(u-v)x-uv\) can be factorised as \((x-u)(x+v)\). Therefore, \(x-u=0\) or \(x+v=0\), giving the roots \(u\) and \(-v\). Their sum is \(u-v\) and their product is \(-uv\), confirming the result. In the exam, factorisation is the quickest method when the expression matches this pattern.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=-28\)। अतः \((\alpha+1)(\beta+1)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=-28+3+1=-24\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि विस्तार करते समय अंतिम \(+1\) पद छोड़ने पर \(-28+3=-25\) प्राप्त होगा, जो सही नहीं है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=-28\). Therefore, \((\alpha+1)(\beta+1)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=-28+3+1=-24\). Hence, option A is correct. Remember to include the final \(+1\) term when expanding the product; omitting it leads to an incorrect result.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=\frac{8}{1}=8\) और \(\alpha\beta=\frac{12}{1}=12\)। अब \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=12+2(8)+4=32\)। इसलिए सही उत्तर 32 है। ध्यान रखें कि \((\alpha+2)(\beta+2)\) को विस्तार देते समय दोनों मूलों के योग वाला पद \(2(\alpha+\beta)\) अवश्य शामिल करें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=\frac{8}{1}=8\) and \(\alpha\beta=\frac{12}{1}=12\). Therefore, \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=12+2(8)+4=32\). Hence, the correct answer is 32. In the exam, remember to include the middle term \(2(\alpha+\beta)\) when expanding the product.
द्विघात समीकरण cx-2+bx+c=0c के लिए मूलों का योग calpha+beta=-b/ac और गुणनफल calphabeta=c/ac होता है। इसलिए यहाँ calpha+beta=7c तथा calphabeta=10c। अतः c(alpha-1)(beta-1)=alphabeta-alpha-beta+1=10-7+1=4c। परीक्षा-युक्ति: मूलों से बने व्यंजकों के लिए पहले मूलों का योग और गुणनफल निकालना प्रायः सबसे तेज़ तरीका होता है। / For a quadratic equation cax-2+bx+c=0c, the sum of the roots is alpha+beta=-b/ac and their product is alphabeta=c/ac. Hence, here alpha+beta=7c and alphabeta=10c. Therefore, (alpha-1)(beta-1)=alphabeta-alpha-beta+1=10-7+1=4c. Exam tip: For expressions involving roots, first find their sum and product instead of solving for the roots individually.
द्विघात समीकरण \(x^2-9x+20=0\) में मूलों का योग \(\alpha+\beta=9\) और मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=20\) होता है। इसलिए \(\alpha+\beta+\alpha\beta=9+20=29\)। अतः सही उत्तर 29 है। परीक्षा में \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग (-b) और गुणनफल (c) याद रखें। / For the quadratic equation \(x^2-9x+20=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=9\) and their product is \(\alpha\beta=20\). Hence, \(\alpha+\beta+\alpha\beta=9+20=29\). Therefore, 29 is correct. Exam tip: for \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is (-b) and their product is (c).
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हों, तो उसका मोनिक रूप \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) होता है। दिए गए मान रखने पर \(x^2-(-5)x+(-14)=0\), अर्थात् \(x^2+5x-14=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में मूलों का योग \(5\) हो जाएगा, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग के सामने ऋण चिह्न और मूलों के गुणनफल के सामने धन चिह्न लगाएँ। / For roots \(\alpha\) and \(\beta\), the monic quadratic equation is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\). Substituting the given values gives \(x^2-(-5)x+(-14)=0\), which simplifies to \(x^2+5x-14=0\). Option B would give the roots a sum of \(5\), so it is incorrect. Exam tip: use the negative of the sum of the roots as the coefficient of \(x\), and use the product directly as the constant term.
यदि मूलों का योग \(S\) और गुणनफल \(P\) हो, तो मोनिक द्विघात समीकरण \(x^2-Sx+P=0\) होता है। यहाँ \(S=0\) और \(P=-25\), इसलिए \(x^2-0x-25=0\), अर्थात् \(x^2-25=0\)। विकल्प B में गुणनफल \(+25\) हो जाता है, जबकि C और D में \(x\) का गुणांक शून्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-x\) के गुणांक का ऋणात्मक मान और गुणनफल अचर पद होता है। / For roots with sum \(S\) and product \(P\), the monic quadratic equation is \(x^2-Sx+P=0\). Substituting \(S=0\) and \(P=-25\) gives \(x^2-0x-25=0\), or \(x^2-25=0\). Option B represents a product of \(+25\), while C and D have a nonzero coefficient of \(x\), so their roots do not have sum zero. Exam tip: in a monic quadratic, the sum of roots is the negative of the coefficient of \(x\), and the product is the constant term.
यदि मूलों का योग \(S\) और गुणनफल \(P\) हो, तो मोनिक द्विघात समीकरण \(x^2-Sx+P=0\) होता है। यहाँ \(S=9\) और \(P=18\) रखने पर \(x^2-9x+18=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में योग का चिह्न गलत है, जबकि विकल्प C और D में योग तथा गुणनफल के स्थान आपस में बदल गए हैं। परीक्षा में याद रखें: मूलों के योग के सामने ऋणात्मक और गुणनफल के सामने धनात्मक चिह्न आता है। / If the sum of the roots is \(S\) and their product is \(P\), the monic quadratic equation is \(x^2-Sx+P=0\). Substituting \(S=9\) and \(P=18\) gives \(x^2-9x+18=0\). Option B has the wrong sign for the sum, while options C and D interchange the sum and product. Exam tip: use a negative coefficient for the sum of roots and a positive constant equal to their product.
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल (alpha) और (beta) हों, तो उसका मोनिक रूप (x-2-(alpha+beta)x+alpha beta=0) होता है। दिए गए मान रखने पर (x-2-(-3)x-10=0), अर्थात \(x^2+3x-10=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में योग का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग के सामने हमेशा ऋण चिह्न और मूलों के गुणनफल के सामने धन चिह्न लगाएँ। / For roots (alpha) and (beta), the monic quadratic equation is (x-2-(alpha+beta)x+alpha beta=0). Substituting the given values gives (x-2-(-3)x-10=0), which simplifies to \(x^2+3x-10=0\). Option B has the wrong sign for the sum of the roots. Exam tip: use the pattern (x-2-(sum of roots)x+product of roots=0).
यदि मूल और हैं, तो मोनिक द्विघात समीकरण का मानक रूप \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=10\), इसलिए समीकरण \(x^2-7x+10=0\) है। विकल्प B में मूलों का योग \(-7\) होगा, जबकि विकल्प C में योग और गुणनफल के स्थान आपस में बदल गए हैं। परीक्षा-युक्ति: मोनिक समीकरण में \(x\) का गुणांक मूलों के योग का ऋणात्मक और अचर पद मूलों का गुणनफल होता है। / If the roots are \(\alpha\) and \(\beta\), the standard form of a monic quadratic equation is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\). Here, \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=10\), so the equation is \(x^2-7x+10=0\). In option B, the sum of the roots would be \(-7\), while option C interchanges the sum and product. Exam tip: in a monic quadratic, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the roots, and the constant term is their product.
यदि दो मूल 6 और 6 हैं, तो मूलों का योग 6+6=12 और गुणनफल 6×6=36 होगा। सम और गुणनफल के संबंध के अनुसार किसी द्विघात समीकरण \(x^2+rx+36=0\) में मूलों का योग \(-r\) और गुणनफल 36 होता है। इसलिए \( -r=12\) से \(r=-12\)। विकल्प A (12) सामान्य साइन-त्रुटि है — वही संख्या सही है पर संकेत गलत है। विकल्प C और D मूलों के मान हैं, पर प्रश्न \(r\) पूछ रहा है। परीक्षा टिप: मूलों का योग और गुणनफल लिखकर सीधे समीकरण बनाएं और साइन का ध्यान रखें। / If the roots are 6 and 6, their sum is 6+6=12 and product is 6×6=36. For the quadratic \(x^2+rx+36=0\), the sum of roots equals \(-r\) and the product equals 36. Hence \(-r=12\) gives \(r=-12\). Option A (12) mistakes the sign. Options C and D are the root values themselves, not the coefficient asked for. Exam tip: Always apply sum = -b/a and product = c/a, and check signs carefully.
किसी द्विघात बहुपद \(ax^2+bx+c\) के लिए शून्यकों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) होता है। यहाँ \(a=1, b=p, c=q\)। दिये गए शून्यक के योग से \((7+\sqrt{13})+(7-\sqrt{13})=14\) मिलता है, अतः \(-p=14\) से \(p=-14\)। गुणनफल \((7+\sqrt{13})(7-\sqrt{13})=49-13=36\) से \(q=36\)। अतः \(p+q=-14+36=22\)। ध्यान रखें: विकल्प \(49\) वही गलती दर्शाता है जहाँ केवल \(7^2\) लिया गया हो; विकल्प \(35\) कोई आंशिक गलत गणना दर्शाता है। परीक्षात्मक टिप: हमेशा सबसे पहले \(a,b,c\) पहचान कर शून्यकों का योग और गुणनफल के सूत्र लागू करें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the sum of zeros is \(-b/a\) and the product is \(c/a\). Here \(a=1, b=p, c=q\). The sum of the given zeros is \((7+\sqrt{13})+(7-\sqrt{13})=14\), so \(-p=14\) giving \(p=-14\). The product is \((7+\sqrt{13})(7-\sqrt{13})=49-13=36\), so \(q=36\). Therefore \(p+q=-14+36=22\). Note: \(49\) would be a mistake from taking only \(7^2\); \(35\) is a common arithmetic slip. Exam tip: identify \(a,b,c\) first and then use sum and product of roots formulas to avoid sign errors.
