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कथन: समीकरण \(x^2-2(a-3b)x+(a+3b)^2=0\) में, यदि \(ab<0\) है, तो इसके मूल वास्तविक और असमान हैं। कारण: इस समीकरण का विविक्तकर \(D=-48ab\) है। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both the assertion and the reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a-3b)\) और \(C=(a+3b)^2\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=4(a-3b)^2-4(a+3b)^2=-48ab\)। चूँकि \(ab<0\), अतः \(-48ab>0\), इसलिए दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। यदि \(D=0\) होता, तभी मूल वास्तविक और समान होते। परीक्षा-युक्ति: पहले विविक्तकर का चिह्न निर्धारित करें—\(D>0\) पर मूल वास्तविक और असमान होते हैं। / Here, \(A=1\), \(B=-2(a-3b)\), and \(C=(a+3b)^2\). Thus, \(D=B^2-4AC=4(a-3b)^2-4(a+3b)^2=-48ab\). Since \(ab<0\), we have \(-48ab>0\), so the roots are real and distinct. The roots would be real and equal only if \(D=0\). Exam tip: First determine the sign of the discriminant—\(D>0\) indicates real and distinct roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=m\) और \(c=18\), इसलिए \(m^2-4(2)(18)=0\), अर्थात \(m^2=144\)। अतः \(m=\pm12\), यानी \(m=12\) या \(m=-12\)। विकल्प B में \(4ac\) की गणना सही नहीं की गई है। परीक्षा-टिप: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=2\), \(b=m\), and \(c=18\), so \(m^2-4(2)(18)=0\), giving \(m^2=144\). Therefore, \(m=\pm12\), or \(m=12\) or \(m=-12\). Option B results from an incorrect calculation of \(4ac\). Exam tip: whenever equal roots are mentioned, immediately use \(D=0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \Delta=0 होना चाहिए। यहाँ \Delta=[-2(a+b)]2-4(1)(4ab)=4(a+b)2-16ab=4(a-b)2। अतः \Delta=0 से (a-b)2=0, इसलिए a=b। विकल्प C और D केवल विशेष स्थिति a=b=0 में साथ-साथ सत्य हो सकते हैं, पर आवश्यक संबंध नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के समान मूलों के लिए हमेशा \Delta=0 लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \Delta=[-2(a+b)]2-4(1)(4ab)=4(a+b)2-16ab=4(a-b)2. Thus, \Delta=0 gives (a-b)2=0, so a=b. Options C and D can also hold in the special case a=b=0, but they are not necessary relations. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, first set \Delta=0.
मूलों का योग \(4+(-1)=3\) है। समीकरण \(x^2+px+q=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है, इसलिए \(-p=3\), अर्थात् \(p=-3\)। मूलों का गुणनफल \(4\times(-1)=-4\) है, इसलिए \(q=-4\)। अतः \(p-q=-3-(-4)=1\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q=0\) के लिए मूलों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) याद रखें। / The sum of the roots is \(4+(-1)=3\). For \(x^2+px+q=0\), the sum of the roots is \(-p\), so \(-p=3\) and hence \(p=-3\). Their product is \(4\times(-1)=-4\), so \(q=-4\). Therefore, \(p-q=-3-(-4)=1\). Exam tip: For \(x^2+px+q=0\), remember that the sum of roots is \(-p\) and their product is \(q\).
वियत के सूत्र के अनुसार, मूलों का योग \(-p\) और मूलों का गुणनफल \(q\) होता है। यहाँ मूलों का योग \((-2)+(-5)=-7\), इसलिए \(-p=-7\) से \(p=7\)। उनका गुणनफल \((-2)(-5)=10\), अतः \(q=10\)। इसलिए \(p+q=7+10=17\)। परीक्षा में पहले मूलों के योग और गुणनफल को क्रमशः \(-p\) और \(q\) से मिलाएँ। / By Vieta’s formulas, the sum of the roots is \(-p\) and their product is \(q\). Here, the sum is \((-2)+(-5)=-7\), so \(-p=-7\) gives \(p=7\). Their product is \((-2)(-5)=10\), hence \(q=10\). Therefore, \(p+q=7+10=17\). In exams, match the sum and product of the roots with \(-p\) and \(q\), respectively.
मूलों का योग \((-5)+(-6)=-11\) है। मानक रूप \(x^2+mx+30=0\) में मूलों का योग \(-m\) होता है। इसलिए \(-m=-11\), अतः \(m=11\)। विकल्प B में चिह्न की गलती है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग हमेशा \(-b\) याद रखें। / The sum of the roots is \((-5)+(-6)=-11\). For a quadratic equation of the form \(x^2+mx+30=0\), the sum of the roots is \(-m\). Thus, \(-m=-11\), giving \(m=11\). Option B results from a sign error. Exam tip: For \(x^2+bx+c=0\), remember that the sum of the roots is always \(-b\).
द्विघात समीकरण \(x^2+ax+16=0\) में मूलों का योग \(-\frac{a}{1}=-a\) होता है। यहाँ दोनों मूल 4 हैं, इसलिए मूलों का योग \(4+4=8\) है। अतः \(-a=8\), जिससे \(a=-8\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें: \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग हमेशा \(-b\) होता है, न कि \(b\)। / For the quadratic equation \(x^2+ax+16=0\), the sum of the roots is \(-\frac{a}{1}=-a\). Since both roots are 4, their sum is \(4+4=8\). Thus, \(-a=8\), giving \(a=-8\). Exam tip: In \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is always \(-b\), not \(b\).
समीकरण में सीधे \(x=4\) प्रतिस्थापित करें: \(16+4m-20=0\) जिससे \(4m-4=0\) और अतः \(m=1\)। नज़दीकी विचलन (\(-1\)) गलत है क्योंकि यदि \(m=-1\) होता तो एक्सप्रेशन \(16-4-20=-8\) बनता जो शून्य नहीं है। परीक्षा युक्ति: वैतात सूत्र भी उपयोगी है — यदि एक मूल 4 है तो दूसरे का मान \(-5\) होगा (कारण उत्पाद \(= -20\)) और गुणा करने पर योग \(4+(-5)=-1=-m\) से \(m=1\)। / Substitute \(x=4\) into the equation: \(16+4m-20=0\), so \(4m-4=0\) and hence \(m=1\). The nearest distractor (\(-1\)) is wrong because with \(m=-1\) the left side becomes \(16-4-20=-8\), not zero. Exam tip: you can also use Vieta — with one root 4 the other is \(-5\) (product = \(-20\)), sum = \(4+(-5)=-1=-m\) giving \(m=1\).
\(x=-1\) को बहुपद में रखने पर: \(1+(6k-3)(-1)+5k=0\) जो बनता है \(1-6k+3+5k=0\) यानी \(4-k=0\)। अतः \(k=4\)। विकल्प B (\(-4\)) सामान्यतः साइन की गलती से आता है; यहाँ सरल रैखिक समीकरण से स्पष्ट होता है कि उत्तर धनात्मक 4 है। परीक्षा टिप: किसी भी दिए गए मूल को सीधे बहुपद में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापित करके संख्यात्मक अदिशों को ध्यान से जोड़ें — साइन भूलना सामान्य गलती है। / Substitute \(x=-1\): \(1+(6k-3)(-1)+5k=0\) which simplifies to \(1-6k+3+5k=0\), i.e. \(4-k=0\). Therefore \(k=4\). Option B (\(-4\)) often results from a sign error during substitution; the correct simplification yields a positive 4. Exam tip: Always substitute the root directly and simplify terms carefully, watching for sign changes when \(x\) is negative.
किसी द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए डिस्क्रिमिनेंट \(D=b^2-4ac\) का धनात्मक होना आवश्यक है। यहाँ \(a=1,\;b=-20,\;c=k\) इसलिए
\(D=(-20)^2-4\cdot1\cdot k=400-4k\).
वास्तविक तथा भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) चाहिए, अतः \(400-4k>0\) से \(k<100\)।
यदि \(k=100\) तो मूल समान होंगे (दोहराव), और \(k>100\) पर मूल सम्मिश्र (complex) होंगे।
परीक्षा-सूत्र: डिस्क्रिमिनेंट निकालते समय सामान्य रूप से 4 से गुणा करके सरलता से लिखें — यहाँ \(D=4(100-k)\)। / For a quadratic to have real and distinct roots the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be positive. Here \(a=1,\;b=-20,\;c=k\), so
\(D=(-20)^2-4\cdot1\cdot k=400-4k\).
Real and distinct roots require \(D>0\), hence \(400-4k>0\) which gives \(k<100\).
If \(k=100\) the roots are equal, and if \(k>100\) the roots are complex. Exam tip: factor common multiples (\(D=4(100-k)\)) to check the sign quickly.
A. \(p\leq -7\) या \(p\geq 7\)/\(p\leq -7\) or \(p\geq 7\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए द्विघात का डिस्क्रिमिनेंट \(D\geq0\) होना आवश्यक है। यहाँ \(D=(2p)^2-4\cdot1\cdot49=4p^2-196=4(p^2-49)\). \(D\geq0\) से \(p^2-49\geq0\) अर्थात् \(p^2\geq49\) जो देता है \(p\leq-7\) या \(p\geq7\)। विकल्प B गलत है क्योंकि उस पर \(p^2<49\) होगा और \(D<0\) होगा; विकल्प C बहुत संकुचित है और विकल्प D भी गलत है क्योंकि \(p\neq7\) में कई मान ऐसे हैं जिनसे \(D<0\)। परीक्षा टिप: किसी भी पैरामीट्रिक द्विघात के लिए सबसे पहले \(D=(b^2-4ac)\) की शर्त \(\ge0\) पर निर्णय लें। / For real roots the discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here \(D=(2p)^2-4\cdot1\cdot49=4p^2-196=4(p^2-49)\). Requiring \(D\ge0\) gives \(p^2-49\ge0\) or \(p^2\ge49\), hence \(p\le-7\) or \(p\ge7\). Option B is incorrect because for \(-7<p<7\) we have \(p^2<49\) so \(D<0\); option C is just a special value and not the general condition; option D is too broad and includes values that do not give real roots. Exam tip: For parameter problems, compute \(D=b^2-4ac\) first and set \(D\ge0\) to find the range of the parameter.
द्विघात समीकरण \(x^2-sx+p=0\) में मूलों का योग \(s\) और मूलों का गुणनफल \(p\) होता है। इसलिए \(s=5+6=11\) तथा \(p=5\times6=30\)। अतः \(s+p=11+30=41\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2-(\text{मूलों का योग})x+(\text{मूलों का गुणनफल})\) के मानक रूप से सीधे तुलना करें। / For the quadratic equation \(x^2-sx+p=0\), the sum of the roots is \(s\), and their product is \(p\). Thus, \(s=5+6=11\) and \(p=5\times6=30\), so \(s+p=11+30=41\). Exam tip: Compare the equation with \(x^2-(\text{sum of roots})x+(\text{product of roots})\) to identify the parameters quickly.
द्विघात समीकरण \(x^2-sx+p=0\) में मूलों का योग \(s\) और मूलों का गुणनफल \(p\) होता है। इसलिए \(s=4+5=9\) तथा \(p=4\times5=20\)। अतः \(s+p=9+20=29\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में मूलों के योग और गुणनफल के मानों की तुलना मानक रूप \(x^2-sx+p=0\) से करें। / For the quadratic equation \(x^2-sx+p=0\), the sum of the roots is \(s\), and their product is \(p\). Thus, \(s=4+5=9\) and \(p=4\times5=20\). Therefore, \(s+p=9+20=29\), so option A is correct. Exam tip: compare the equation directly with the standard form \(x^2-(\text{sum of roots})x+(\text{product of roots})=0\).
विएटा के प्रमेय के अनुसार, मूलों का योग \(s\) के बराबर होता है और मूलों का गुणनफल \(p\) के बराबर होता है। अतः \(s=2+3=5\) तथा \(p=2\times3=6\)। इसलिए \(s+p=5+6=11\), अतः विकल्प A सही है। परीक्षा में \(x^2-sx+p\) के लिए मूलों का योग \(s\) और गुणनफल \(p\) सीधे पहचानें। / By Vieta’s relations, the sum of the roots equals \(s\), while their product equals \(p\). Thus, \(s=2+3=5\) and \(p=2\times3=6\). Therefore, \(s+p=5+6=11\), so option A is correct. Exam tip: for \(x^2-sx+p\), identify the sum of roots as \(s\) and the product as \(p\).
दोनों मूल 8 और 8 होने पर मूलों का योग \(8+8=16\) होगा। किसी द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b/a\) होता है। यहाँ \(a=1, b=u\) इसलिए \(-u=16\) और \(u=-16\)। वैकल्पिक तरीका: समान मूल होने पर विविक्तांक (discriminant) शून्य होगा, यानी \(u^2-4\cdot1\cdot64=0\) से \(u^2=256\), पर दिया गया मूल 8 होने के कारण संकेत अनुरूप \(u=-16\) लेना आवश्यक है। परीक्षा टिप: हमेशा या तो मूलों का योग-गुणनफल या \((x-\text{root})^2\) का विस्तार इस्तेमाल कर के तुरंत जाँच करें। / If both roots are 8, their sum is \(8+8=16\). For \(ax^2+bx+c=0\) the sum of roots equals \(-b/a\). Here \(a=1, b=u\), so \(-u=16\) implying \(u=-16\). Alternatively, discriminant zero gives \(u^2-4\cdot1\cdot64=0\Rightarrow u=\pm16\), and matching the given root value yields \(u=-16\). Exam tip: substitute the root or expand \((x-8)^2\) to check your value quickly.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=s\), इसलिए मूलों का योग \(-s\) होगा। दिए गए मूलों का योग \(-3)+(-6)=-9\)। अतः \(-s=-9\) से \(s=9\)। निकटतम भ्रामक विकल्पों में \(-9\) तब गलत होगा जब कोई संकेत भूल जाए (मूलों का योग = \(s\) मान ले), \(18\) गुणनफल से भ्रामक मिलान है (यह \(c\) के बराबर है) और \(-6\) किसी एक मूल को सीधे \(s\) मान लेने की गलती है। परीक्षा सुझाव: हमेशा पहले \(a,b,c\) पहचानें और नियम "योग = -b/a, गुणनफल = c/a" याद रखें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the sum of roots = \(-b/a\) and product = \(c/a\). Here \(a=1\) and \(b=s\), so the sum of roots is \(-s\). The given roots sum to \(-3)+(-6)=-9\), therefore \(-s=-9\) which gives \(s=9\). Common wrong answers: \(-9\) arises from forgetting the negative sign, \(18\) confuses sum with product (since product = 18), and \(-6\) mistakes a single root for the coefficient. Exam tip: identify \(a,b,c\) first and apply "sum = -b/a, product = c/a."
यदि दो मूल 6 और 6 हैं, तो मूलों का योग 6+6=12 और गुणनफल 6×6=36 होगा। सम और गुणनफल के संबंध के अनुसार किसी द्विघात समीकरण \(x^2+rx+36=0\) में मूलों का योग \(-r\) और गुणनफल 36 होता है। इसलिए \( -r=12\) से \(r=-12\)। विकल्प A (12) सामान्य साइन-त्रुटि है — वही संख्या सही है पर संकेत गलत है। विकल्प C और D मूलों के मान हैं, पर प्रश्न \(r\) पूछ रहा है। परीक्षा टिप: मूलों का योग और गुणनफल लिखकर सीधे समीकरण बनाएं और साइन का ध्यान रखें। / If the roots are 6 and 6, their sum is 6+6=12 and product is 6×6=36. For the quadratic \(x^2+rx+36=0\), the sum of roots equals \(-r\) and the product equals 36. Hence \(-r=12\) gives \(r=-12\). Option A (12) mistakes the sign. Options C and D are the root values themselves, not the coefficient asked for. Exam tip: Always apply sum = -b/a and product = c/a, and check signs carefully.
मूलों का योग 4+4 = 8 है। सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1, b=p\) इसलिए \(-p=8\) जिससे \(p=-8\) मिलता है। उत्पाद की जाँच भी संतुष्ट करती है क्योंकि \(4\times4=16=c/a\)। नजदीकी विचलन 8 इसलिए गलत है क्योंकि वह संकेत (sign) भूल कर लिया गया उत्तर है। परीक्षा युक्ति: हमेशा sum = -b/a और product = c/a लागू कर के दोनों से सत्यापित करें। / The sum of the roots is 4+4 = 8. For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the sum of roots equals \(-\frac{b}{a}\). Here \(a=1, b=p\), so \(-p=8\) and hence \(p=-8\). The product check also matches: \(4\times4=16=c/a\). The common wrong choice 8 comes from forgetting the negative sign in the relation. Exam tip: use sum = -b/a and product = c/a and verify both to avoid sign errors.
किसी द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\dfrac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=k\) और \(c=2\) है, अतः गुणनफल \(\dfrac{2}{k}=1\)। इससे \(k=2\) प्राप्त होता है। विकल्प (1) दर्शक त्रुटि हो सकती है जहाँ केवल \(c\) को देखा गया हो बिना \(a\) से भाग किए; विकल्प (-2) और (4) सही नहीं हैं क्योंकि वे समीकरण से प्राप्त अनुपात को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा सुझाव: हमेशा पहले यह सुनिश्चित करें कि \(a\) वह गुणांक है जो \(x^2\) के साथ है, और उत्पाद के लिए \(c/a\) का प्रयोग करें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots equals \(\dfrac{c}{a}\). Here \(a=k\) and \(c=2\), so \(\dfrac{2}{k}=1\) which gives \(k=2\). Option 1 might arise from mistakenly taking \(c\) alone instead of \(c/a\); options -2 and 4 do not satisfy the relation \(2/k=1\). Exam tip: always identify \(a\) (coefficient of \(x^2\)) before applying the product formula \(c/a\).
यदि \(x=2\) दिया गया मूल है तो उसे समीकरण में रखें: \(2^2+k\cdot2+2=0\) अर्थात \(4+2k+2=0\). इससे \(2k=-6\) और अतः \(k=-3\). विकल्प A (3) गलत है क्योंकि उसके स्थान पर रखने पर किनारे शून्य नहीं मिलेगा (\(4+6+2=12\)). विकल्प D (\(-2\)) भी गलत है क्योंकि वह देने पर शेषफल \(2\) मिलता है (\(4-4+2=2\)). परीक्षा युक्ति: किसी भी दिए गए मूल के लिए सीधे उस मान को बहुपद में रखने से ही \(k\) आसानी से मिल जाता है (Factor Theorem)। / Substitute the root \(x=2\) into the polynomial: \(2^2+k\cdot2+2=0\) so \(4+2k+2=0\). Thus \(2k=-6\) and \(k=-3\). Option A (3) is incorrect because substituting 3 gives \(4+6+2=12\neq0\). Option D (\(-2\)) is also wrong since it yields \(4-4+2=2\neq0\). Exam tip: use direct substitution or the Factor Theorem — if \(x=a\) is a root then the polynomial evaluated at \(a\) equals zero.
\(x=-1\) को समीकरण में रखो: \((-1)^2 + m(-1) - 6 = 0\)। यह बनता है \(1 - m - 6 = 0\) यानी \(-m - 5 = 0\)। अत: \(m = -5\)। विकल्प 5 सामान्य साइन-त्रुटि है (\(m=5\) होने पर समीकण संतुष्ट नहीं होगा)। परीक्षा संकेत: किसी दिए गए मूल को सीधे समीकरण में रखकर चरण-दर-चरण सरल करें — खासकर घात और ऋणात्मक चिह्नों पर ध्यान दें। / Substitute \(x=-1\) into the equation: \((-1)^2 + m(-1) - 6 = 0\). This gives \(1 - m - 6 = 0\), i.e. \(-m - 5 = 0\). Therefore \(m = -5\). The option 5 arises from forgetting the negative sign on \(m\); if \(m=5\) the equation is not satisfied. Exam tip: Always substitute the root directly and simplify carefully, paying attention to signs and powers.
योग \(4\sqrt{3}\) और गुणनफल (\(2\sqrt{3}\)2-1=11) है। (S) योग और (P) गुणनफल के बराबर है। / The sum is \(4\sqrt{3}\) and the product is (\(2\sqrt{3}\)2-1=11). (S) equals the sum and (P) equals the product.
