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roots of quadratic equation MCQ Questions for Class 10
roots of quadratic equation se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की जड़ों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=4\) और \(c=h\), इसलिए जड़ों का गुणनफल \(\frac{h}{4}\) है। यदि एक जड़ \(\frac{1}{4}\) है, तो दूसरी जड़ \(\frac{h/4}{1/4}=h\) होगी। विकल्प B केवल जड़ों के गुणनफल को दर्शाता है, दूसरी जड़ को नहीं। परीक्षा-युक्ति: दूसरी जड़ ज्ञात करने के लिए जड़ों के गुणनफल को दी गई जड़ से भाग दें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=4\) and \(c=h\), so the product of the roots is \(\frac{h}{4}\). If one root is \(\frac{1}{4}\), the other root is \(\frac{h/4}{1/4}=h\). Option B is only the product of the roots, not the other root. Exam tip: Divide the product of the roots by the given root to find the second root.
मूलों को \(5r\) और \(3r\) मानते हैं। मूलों का योग \(5r+3r=16\) है, इसलिए \(r=2\)। अतः मूलों का गुणनफल \((5r)(3r)=15r^2=15\times4=60\) होगा। द्विघात समीकरण \(x^2-16x+q=0\) में मूलों का गुणनफल \(q\) होता है, इसलिए \(q=60\)। परीक्षा-युक्ति: एकात्मक द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) होता है। / Let the roots be \(5r\) and \(3r\). Their sum is \(5r+3r=16\), so \(r=2\). Hence, their product is \((5r)(3r)=15r^2=15\times4=60\). In the monic quadratic equation \(x^2-16x+q=0\), the product of the roots equals the constant term \(q\). Therefore, \(q=60\). Exam tip: For \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\).
वियत के सूत्र के अनुसार, �\(\alpha+\beta=9\)� और �\alpha\beta=n�। अतः �\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=81-2n�। दिए गए मान से �(81-2n=45)�, इसलिए �(n=18)�। परीक्षा-युक्ति: �\(x^2+bx+c=0\)� में जड़ों का योग �(-b)� और गुणनफल �(c)� होता है। / By Vieta’s formulas, �\(\alpha+\beta=9\)� and �\alpha\beta=n�. Therefore, �\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=81-2n�। Using the given condition, �(81-2n=45)�, which gives �(n=18)�. Exam tip: For �\(x^2+bx+c=0\)�, the sum of roots is �(-b)� and their product is �(c)�.
वियत के प्रमेय के अनुसार, द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल स्थिर पद और \(x^2\) के गुणांक का अनुपात होता है, अर्थात \(9m\)। यदि एक मूल \(9\) है, तो दूसरे मूल को \(r\) मानने पर \(9r=9m\), इसलिए \(r=m\)। विकल्प C मूलों का योग है, दूसरा मूल नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल पहचानकर ऐसे प्रश्न जल्दी हल किए जा सकते हैं। / By Vieta’s relations, the product of the roots is the constant term divided by the coefficient of \(x^2\), which is \(9m\). If the roots are \(9\) and \(r\), then \(9r=9m\), giving \(r=m\). Option C is the sum of the roots, not the other root. Exam tip: Identify the sum and product of roots before solving parameter-based quadratic questions.
जड़ों का योग \((4+\sqrt{7})+(4-\sqrt{7})=8\) है। मानक रूप \(x^2-(\text{जड़ों का योग})x+\text{जड़ों का गुणनफल}=0\) से \(a=-8\)। जड़ों का गुणनफल \((4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=16-7=9\) है, इसलिए \(b=9\)। अतः \(a+b=-8+9=1\)। परीक्षा-युक्ति: एकात्मक द्विघात समीकरण में \(x\) का गुणांक जड़ों के योग का ऋणात्मक और अचर पद जड़ों का गुणनफल होता है। / The sum of the roots is \((4+\sqrt{7})+(4-\sqrt{7})=8\). Comparing with the standard form \(x^2-(\text{sum of roots})x+\text{product of roots}=0\), we get \(a=-8\). Their product is \((4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=16-7=9\), so \(b=9\). Therefore, \(a+b=-8+9=1\). Exam tip: In a monic quadratic, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the roots, while the constant term is their product.
विएटा के सूत्रों से \(\alpha+\beta=-8\) और \(\alpha\beta=12\)। अब \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=(-8)^2-4(12)=64-48=16\)। अतः \((\alpha-\beta)^2+3\alpha\beta=16+3(12)=52\)। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के योग और गुणनफल वाले प्रश्नों में विएटा के सूत्र सीधे लागू करें; केवल \((\alpha+\beta)^2\) लेने पर सही उत्तर नहीं मिलेगा। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=-8\) and \(\alpha\beta=12\). Therefore, \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=(-8)^2-4(12)=64-48=16\). Hence, \((\alpha-\beta)^2+3\alpha\beta=16+3(12)=52\). Exam tip: For expressions involving the sum and product of roots, apply Vieta’s formulas directly; using only \((\alpha+\beta)^2\) leads to an incorrect result.
वियत के प्रमेय के अनुसार, दोनों जड़ों का योग \(12\) होगा और उनका गुणनफल \(m\) होगा। योग \(12\) देने वाली अभाज्य संख्याओं की एकमात्र जोड़ी \(5\) और \(7\) है, क्योंकि \(5+7=12\)। अतः \(m=5\times7=35\)। परीक्षा में पहले जड़ों का योग और फिर गुणनफल पहचानें। / By Vieta’s relations, the sum of the roots is \(12\), while their product is \(m\). The only pair of prime numbers with sum \(12\) is \(5\) and \(7\), since \(5+7=12\). Therefore, \(m=5\times7=35\). In such questions, identify the root sum first and then use the product relation.
दिया गया बहुपद \(x^2-(u-v)x-uv\) को \((x-u)(x+v)\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(x-u=0\) या \(x+v=0\), जिससे मूल \(u\) और \(-v\) प्राप्त होते हैं। जाँच के लिए इन मूलों का योग \(u-v\) तथा गुणनफल \(-uv\) आता है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले गुणनखंडन करके मूल ज्ञात करना सबसे तेज़ तरीका है। / The polynomial \(x^2-(u-v)x-uv\) can be factorised as \((x-u)(x+v)\). Therefore, \(x-u=0\) or \(x+v=0\), giving the roots \(u\) and \(-v\). Their sum is \(u-v\) and their product is \(-uv\), confirming the result. In the exam, factorisation is the quickest method when the expression matches this pattern.
मूलों को 3r और 4r मानें। मूलों का योग 14 है, इसलिए 3r + 4r = 14, अर्थात् r = 2। अतः मूल 6 और 8 हैं। द्विघात समीकरण x² − 14x + q में मूलों का गुणनफल q के बराबर होता है, इसलिए q = 6 × 8 = 48। परीक्षा में याद रखें: x² + bx + c के लिए मूलों का योग −b और गुणनफल c होता है। / Let the roots be 3r and 4r. Their sum is 14, so 3r + 4r = 14, giving r = 2. Thus, the roots are 6 and 8. In the quadratic equation x² − 14x + q, the product of the roots equals q; hence q = 6 × 8 = 48. Exam tip: For x² + bx + c, the sum of the roots is −b and their product is c.
वीयटा के सूत्रों से \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=n\)। अब \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) का उपयोग करने पर \(40=8^2-2n=64-2n\)। अतः \(2n=24\), इसलिए \(n=12\)। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के वर्गों का योग दिखे तो पहले \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) पहचानें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=n\). Using \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\), we get \(40=8^2-2n=64-2n\). Thus, \(2n=24\) and \(n=12\). Exam tip: when the sum of the squares of the roots is given, use \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) directly.
विएटा के सूत्र के अनुसार \(Ax^2+Bx+C=0\) की जड़ों का गुणनफल \(C/A\) होता है। यहाँ \(A=1\) और \(C=a^2-9\), इसलिए जड़ों का गुणनफल \(a^2-9\) है। इसे शून्य रखने पर \(a^2-9=0\), अर्थात \(a^2=9\), इसलिए \(a=3\) या \(a=-3\)। विकल्प A में 0 और 9 लेना समीकरण \(a^2=9\) को गलत ढंग से हल करना है। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के योग और गुणनफल के लिए सीधे विएटा के सूत्र का प्रयोग करें। / By Vieta’s formula, the product of the roots of \(Ax^2+Bx+C=0\) is \(C/A\). Here, \(A=1\) and \(C=a^2-9\), so the product of the roots is \(a^2-9\). Setting it equal to zero gives \(a^2-9=0\), or \(a^2=9\), hence \(a=3\) or \(a=-3\). Option A is incorrect because \(a^2=9\) does not give 0 and 9 as the values of \(a\). Exam tip: Use Vieta’s formulas directly when only the sum or product of roots is given.
वियत के सूत्र के अनुसार, मूलों का योग \(-a\) और मूलों का गुणनफल \(b\) होता है। यहाँ \((3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\), इसलिए \(a=-6\)। इसी प्रकार, \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7\), इसलिए \(b=7\)। अतः \(a+b=-6+7=1\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+ax+b=0\) में मूलों का योग \(-a\) होता है, इसलिए चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / By Vieta’s formulas, the sum of the roots is \(-a\) and their product is \(b\). Here, \((3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\), so \(a=-6\). Also, \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7\), so \(b=7\). Therefore, \(a+b=-6+7=1\). Exam tip: In \(x^2+ax+b=0\), the sum of the roots is \(-a\), not \(a\); check this sign carefully.
वियत के सूत्रों से \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=12\)। भिन्नों को एक हर में लेने पर \(\frac{(\alpha+1)(\beta-1)+(\beta+1)(\alpha-1)}{(\alpha-1)(\beta-1)}=\frac{2\alpha\beta-2}{\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1}\)। अतः मान \(\frac{2(12)-2}{12-7+1}=\frac{22}{6}=\frac{11}{3}\) है। इसलिए विकल्प C सही है; \(\frac{10}{3}\) जैसे विकल्प में अंश या हर के सरलीकरण में त्रुटि होती है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में मूलों को अलग-अलग ज्ञात करने के बजाय उनका योग और गुणनफल प्रयोग करें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=12\). Combining the fractions gives \(\frac{(\alpha+1)(\beta-1)+(\beta+1)(\alpha-1)}{(\alpha-1)(\beta-1)}=\frac{2\alpha\beta-2}{\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1}\). Therefore, the value is \(\frac{2(12)-2}{12-7+1}=\frac{22}{6}=\frac{11}{3}\). Hence, option C is correct; an answer such as \(\frac{10}{3}\) results from an error while simplifying the numerator or denominator. Exam tip: In such problems, use the sum and product of the roots instead of finding the roots individually.
स्थिर पद को गुणनखंडित करने पर \(a^2+3a+2=(a+1)(a+2)\) मिलता है और गुणांकों का योग \((a+1)+(a+2)=2a+3\) है। अतः समीकरण \([x-(a+1)][x-(a+2)]=0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए जड़ें \(a+1\) और \(a+2\) हैं। लगातार पूर्णांक होने के लिए \(a\) का पूर्णांक होना आवश्यक है। विकल्प B का योग सही है, लेकिन उसका गुणनफल \(a^2+3a\) है, जिसमें \(+2\) नहीं है। परीक्षा टिप: जड़ों से जुड़े प्रश्नों में योग और गुणनफल, दोनों का मिलान करें। / Factoring the constant term gives \(a^2+3a+2=(a+1)(a+2)\), and the sum of these factors is \((a+1)+(a+2)=2a+3\). Thus, the equation can be written as \([x-(a+1)][x-(a+2)]=0\), so its roots are \(a+1\) and \(a+2\). For them to be consecutive integers, \(a\) must be an integer. Option B has the correct sum, but its product is \(a^2+3a\), which lacks the required \(+2\). Exam tip: Always verify both the sum and product of the proposed roots.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=n\)। अब (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) होने से \(20=6^2-2n=36-2n\)। अतः (2n=16) और (n=8)। परीक्षा-युक्ति: \(\alpha^2+\beta^2\) के लिए सीधे (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) का प्रयोग करें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=n\). Using (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta), we get \(20=6^2-2n=36-2n\). Hence, (2n=16) and (n=8). Exam tip: For the sum of squares of roots, use (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) rather than finding the roots individually.
क्योंकि \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1\), इसलिए दिए गए व्युत्क्रम क्रमशः \(2-\sqrt{3}\) और \(2+\sqrt{3}\) हैं। इनके योग का मान \(4\) है। द्विघात समीकरण \(x^2+ax+b=0\) में मूलों का योग \(-a\) होता है, अतः \(-a=4\), इसलिए \(a=-4\)। परीक्षा-टिप: एकात्मक द्विघात समीकरण में मूलों का योग हमेशा \(-\frac{\text{गुणांक of }x}{\text{गुणांक of }x^2}\) होता है। / Since \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1\), the given reciprocals are \(2-\sqrt{3}\) and \(2+\sqrt{3}\). Their sum is \(4\). For \(x^2+ax+b=0\), the sum of the roots is \(-a\). Thus, \(-a=4\), giving \(a=-4\). Exam tip: For a quadratic equation, use the sum-of-roots relation \(-\frac{\text{coefficient of }x}{\text{coefficient of }x^2}\).
विएटा के सूत्र के अनुसार \(x^2-2x+k=0\) के मूलों का गुणनफल \(k\) होता है। यहाँ मूल \(\tan\theta\) और \(\cot\theta\) हैं, इसलिए उनका गुणनफल \(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) है। अतः \(k=1\)। विकल्प 2 मूलों के योग से संबंधित है, गुणनफल से नहीं। परीक्षा में स्थिर पद को मूलों के गुणनफल से जोड़ना याद रखें। / By Vieta’s formula, the product of the roots of \(x^2-2x+k=0\) is \(k\). Here, the product is \(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\), so \(k=1\). The value 2 is related to the sum of the roots, not their product. Exam tip: for a monic quadratic \(x^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(c\).
द्विघात समीकरण \(x^2+ax+b=0\) के मूलों का योग \(-a\) और गुणनफल \(b\) होता है। यहाँ मूलों का योग \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\), इसलिए \(a=-4\)। उनका गुणनफल \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\), इसलिए \(b=1\)। अतः \(a+b=-4+1=-3\)। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल सीधे विएटा के सूत्रों से ज्ञात करें। / For a quadratic equation \(x^2+ax+b=0\), the sum of the roots is \(-a\) and their product is \(b\). Here, the sum is \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\), so \(a=-4\). Their product is \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\), so \(b=1\). Therefore, \(a+b=-4+1=-3\). Exam tip: Use Vieta’s formulas directly to find the sum and product of the roots.
\(4x^2-4x+1=(2x-1)^2\), इसलिए \((2x-1)^2=0\) से \(2x-1=0\), अर्थात \(x=\frac{1}{2}\)। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होने के कारण दोनों जड़ें समान हैं। अतः दोनों जड़ें \(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\) हैं। परीक्षा-युक्ति: जब द्विघात व्यंजक पूर्ण वर्ग हो या \(D=0\) हो, तो समान जड़ प्राप्त होती है। / Since \(4x^2-4x+1=(2x-1)^2\), the equation gives \((2x-1)^2=0\), so \(2x-1=0\) and \(x=\frac{1}{2}\). Also, the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero, confirming that the two roots are equal. Therefore, both roots are \(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\). Exam tip: A quadratic that is a perfect square, or has \(D=0\), has equal roots.
मान लें कि जड़ें \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। तब \(\alpha+\beta=-6\) और \(\alpha\beta=r\)। सूत्र \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\) से \(20=36-4r\) प्राप्त होता है, इसलिए \(r=4\)। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के अंतर का वर्ग निकालकर हमेशा इसे जड़ों के योग और गुणनफल से जोड़ें। / Let the roots be \(\alpha\) and \(\beta\). Then \(\alpha+\beta=-6\) and \(\alpha\beta=r\). Using \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\), we get \(20=36-4r\), so \(r=4\). Exam tip: Square the difference of the roots and relate it to their sum and product; the sign of the sum does not affect its square.
मान लें कि जड़ें \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। वियत के सूत्र के अनुसार \(\alpha\beta=m\)। एक-दूसरे की व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\alpha\beta=1\) होना चाहिए, इसलिए \(m=1\)। वास्तव में, \(m=1\) रखने पर समीकरण \((x-1)^2=0\) बनता है और दोनों जड़ें 1 होती हैं, जो अपने ही व्युत्क्रम के बराबर हैं। \(m=0\) नहीं हो सकता, क्योंकि तब एक जड़ 0 होगी और उसका व्युत्क्रम परिभाषित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: व्युत्क्रम जड़ों के लिए जड़ों का गुणनफल हमेशा 1 रखें। / Let the roots be \(\alpha\) and \(\beta\). By Vieta’s formula, \(\alpha\beta=m\). For two roots to be reciprocals of each other, \(\alpha\beta=1\); hence, \(m=1\). Indeed, when \(m=1\), the equation becomes \((x-1)^2=0\), so both roots are 1, and each is the reciprocal of the other. The value \(m=0\) is invalid because it gives a zero root, whose reciprocal is undefined. Exam tip: For reciprocal roots, set their product equal to 1.
वियत के सूत्र के अनुसार दोनों जड़ों का योग \(10\) है और उनका गुणनफल \(k\) है। 10 बनाने वाली भिन्न अभाज्य संख्याओं की जोड़ी \(3\) और \(7\) है; \(5+5=10\) होने पर जड़ें भिन्न नहीं रहेंगी। इसलिए \(k=3\times7=21\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2-Sx+P=0\) में जड़ों का योग \(S\) और गुणनफल \(P\) होता है। / By Vieta’s relations, the sum of the roots is \(10\) and their product is \(k\). The distinct prime numbers that sum to 10 are \(3\) and \(7\); the pair \(5,5\) is excluded because the roots must be distinct. Hence, \(k=3\times7=21\). Exam tip: In \(x^2-Sx+P=0\), the sum of the roots is \(S\) and their product is \(P\).
वियत के सूत्रों के अनुसार, \(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=1\)। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=5^2-2(1)=25-2=23\)। अतः सही उत्तर 23 है। परीक्षा में \(\alpha^2+\beta^2\) के लिए \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) का सूत्र याद रखें; केवल \((\alpha+\beta)^2\) लेने पर 25 मिलेगा, जो गलत है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=1\). Hence, \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=5^2-2(1)=25-2=23\). Therefore, the correct answer is 23. In the exam, remember the identity \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\); using only \((\alpha+\beta)^2\) gives 25, which is incorrect.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2, c=p+3\), इसलिए \(D=(-2)^2-4(1)(p+3)=-4(p+2)\)। अतः \(-4(p+2)<0\), जिससे \(p>-2\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(D=0\) होने पर एक वास्तविक समान मूल होती है, इसलिए \(p=-2\) शामिल नहीं है। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has no real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is less than zero. Here, \(a=1\), \(b=-2\), and \(c=p+3\), so \(D=(-2)^2-4(1)(p+3)=-4(p+2)\). Thus, \(-4(p+2)<0\), which gives \(p>-2\). Remember that \(D=0\) gives one repeated real root, so \(p=-2\) is not included.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की जड़ों \(\alpha\) और \(\beta\) के लिए \((\alpha-\beta)^2=\frac{b^2-4ac}{a^2}\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-(k+2), c=2k\), इसलिए \((\alpha-\beta)^2=(k+2)^2-8k=(k-2)^2\)। जड़ों का अंतर 2 होने पर \((k-2)^2=4\), अतः \(k-2=\pm2\), जिससे \(k=0\) या \(k=4\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के अंतर को सीधे उपयोग करने के बजाय पहले उसके वर्ग को विविक्तकर से जोड़ें। / For roots \(\alpha\) and \(\beta\) of \(ax^2+bx+c=0\), \((\alpha-\beta)^2=\frac{b^2-4ac}{a^2}\). Here, \(a=1, b=-(k+2), c=2k\), so \((\alpha-\beta)^2=(k+2)^2-8k=(k-2)^2\). Since the difference is 2, \((k-2)^2=4\), giving \(k-2=\pm2\), hence \(k=0\) or \(k=4\). Therefore, option A is correct. Exam tip: Relate the square of the difference between the roots to the discriminant before solving for the parameter.
यहाँ \(a=5, b=-2, c=1\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(5)(1)=4-20=-16<0\) है। इसलिए समीकरण की कोई वास्तविक जड़ नहीं है। विकल्प A तब सही होता जब \(D=0\) होता, जबकि विकल्प B के लिए \(D>0\) आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में विविक्तकर का चिन्ह जड़ों की प्रकृति तुरंत बताता है। / Here, \(a=5, b=-2, c=1\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(5)(1)=4-20=-16<0\). Therefore, the equation has no real roots. Option A would be correct only if \(D=0\), while option B requires \(D>0\). Exam tip: The sign of the discriminant quickly determines the nature of the roots of a quadratic equation.
समीकरण �\(ax^2+bx+c=0�\) में विविक्तकर �\(D=b^2-4ac�\) होता है। यहाँ �\(a=1,b=-2\sqrt{3},c=3�\), इसलिए �(D=\(-2\sqrt{3}\)2-4(1)(3)=12-12=0�)। अतः दोनों जड़ें वास्तविक और समान हैं; वास्तव में प्रत्येक जड़ �\sqrt{3}� है। इसलिए विकल्प B सही है। परीक्षा-युक्ति: �(D=0�) होने पर हमेशा दो समान वास्तविक जड़ें मिलती हैं। / For �\(ax^2+bx+c=0�\), the discriminant is �\(D=b^2-4ac�\). Here �\(a=1,b=-2\sqrt{3},c=3�\), so �(D=\(-2\sqrt{3}\)2-4(1)(3)=12-12=0�). Therefore, the roots are real and equal; each root is �\sqrt{3}�. Hence option B is correct. Exam tip: when �(D=0�), a quadratic equation has two equal real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=k\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k+4\) हैं। अतः \(D=4(k+1)^2-4k(k+4)=4(1-2k)\)। समान जड़ों के लिए \(4(1-2k)=0\), इसलिए \(k=\frac{1}{2}\)। परीक्षा-टिप: समान जड़ों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ और साथ ही जाँच लें कि \(a\neq 0\) हो। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=k\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k+4\). Therefore, \(D=4(k+1)^2-4k(k+4)=4(1-2k)\). Setting this equal to zero gives \(k=\frac{1}{2}\). Exam tip: In equal-root questions, begin with \(D=0\) and verify that \(a\neq 0\) so the equation remains quadratic.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=-28\)। अतः \((\alpha+1)(\beta+1)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=-28+3+1=-24\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि विस्तार करते समय अंतिम \(+1\) पद छोड़ने पर \(-28+3=-25\) प्राप्त होगा, जो सही नहीं है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=-28\). Therefore, \((\alpha+1)(\beta+1)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=-28+3+1=-24\). Hence, option A is correct. Remember to include the final \(+1\) term when expanding the product; omitting it leads to an incorrect result.
विएटा के सूत्र के अनुसार, मूलों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) होता है। इसलिए \((-3)+(-4)=-7=-p\), अतः \(p=7\)। साथ ही, \(q=(-3)(-4)=12\)। इसलिए \(p+q=7+12=19\)। विकल्प 12 केवल \(q\) का मान है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q\) में मूलों का योग \(-p\) होता है, जबकि गुणनफल \(q\) होता है। / By Vieta’s formulas, the sum of the roots is \(-p\) and their product is \(q\). Thus, \((-3)+(-4)=-7=-p\), giving \(p=7\). Also, \(q=(-3)(-4)=12\). Therefore, \(p+q=7+12=19\). Option 12 is only the value of \(q\). Exam tip: For \(x^2+px+q\), the sum of roots is \(-p\), while their product is \(q\).
