Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यहां (D=(-13)2-4(1)(7)=141), इसलिए मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{141}\) है। परीक्षा में मूलों का अंतर सीधे (D) से मिल सकता है। / Here (D=(-13)2-4(1)(7)=141), so the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{141}\). In exams, the difference of roots can be found directly from (D).
यहां (D=(-11)2-4(1)(6)=97), इसलिए मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{97}\) है। परीक्षा में मूलों का अंतर सीधे (D) से मिल सकता है। / Here (D=(-11)2-4(1)(6)=97), so the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{97}\). In exams, the difference of roots can be found directly from (D).
यहां (D=(-9)2-4(1)(5)=61), इसलिए मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{61}\) है। परीक्षा में मूलों का अंतर सीधे (D) से मिल सकता है। / Here (D=(-9)2-4(1)(5)=61), so the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{61}\). In exams, the difference of roots can be found directly from (D).
यहां (D=(-7)2-4(1)(3)=37), इसलिए मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{37}\) है। परीक्षा में मूलों का अंतर सीधे (D) से मिल सकता है। / Here (D=(-7)2-4(1)(3)=37), so the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{37}\). In exams, the difference of roots can be found directly from (D).
यहां (D=(-5)2-4(1)(2)=17), इसलिए मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{17}\) है। परीक्षा में मूलों का अंतर सीधे (D) से मिल सकता है। / Here (D=(-5)2-4(1)(2)=17), so the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{17}\). In exams, the difference of roots can be found directly from (D).
अंतर का वर्ग \(D/a^2=5\) है, इसलिए अंतर \(\sqrt{5}\) होगा। परीक्षा में मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\) से मिलता है। / The square of the difference is \(D/a^2=5\), so the difference is \(\sqrt{5}\). In exams, the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\).
यहाँ \(\alpha+\beta=2a+1\) और \(\alpha\beta=a^2+a-6\) है। (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25), इसलिए धनात्मक अंतर (5) है। / Here \(\alpha+\beta=2a+1\) and \(\alpha\beta=a^2+a-6\). Since (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25), the positive difference is (5).
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=\frac{9}{4}\) है। (\(\alpha-\beta\)2=25-9=16), इसलिए धनात्मक अंतर (4) है। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=\frac{9}{4}\). Since (\(\alpha-\beta\)2=25-9=16), the positive difference is (4).
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=\frac{9}{4}\) है। (\(\alpha-\beta\)2=25-9=16), इसलिए धनात्मक अंतर (4) है, अतः विकल्प (A) सही होना चाहिए। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=\frac{9}{4}\). Thus (\(\alpha-\beta\)2=25-9=16), so the positive difference is (4); option (A) should be correct.
समीकरण को \((x-t)^2-49=0\) या \((x-t)^2=49\) लिखा जा सकता है। अतः इसकी जड़ें \(x=t+7\) और \(x=t-7\) हैं। दोनों जड़ों के बीच धनात्मक अंतर \((t+7)-(t-7)=14\) है। विकल्प A में दिया गया 7 प्रत्येक जड़ और \(t\) के बीच का अंतर है, जड़ों के बीच का नहीं। परीक्षा-युक्ति: \((x-a)^2=b^2\) के रूप में लिखे समीकरण की जड़ों का अंतर \(2b\) होता है। / The equation can be rewritten as \((x-t)^2-49=0\), or \((x-t)^2=49\). Therefore, its roots are \(x=t+7\) and \(x=t-7\). Their positive difference is \((t+7)-(t-7)=14\). The value 7 in option A is the distance of each root from \(t\), not the difference between the roots. Exam tip: for an equation in the form \((x-a)^2=b^2\), the difference between its roots is \(2b\).
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{16}{5}\) और \(\alpha\beta=\frac{p}{5}\) है। (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) से (p=11) मिलता है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{16}{5}\) and \(\alpha\beta=\frac{p}{5}\). Using (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta), we get (p=11).
यहाँ समीकरण ((x-(a+1))(x-(a+5))=0) बनता है। इसलिए जड़ें (a+1) और (a+5) हैं, अतः धनात्मक अंतर (4) है। / The equation becomes ((x-(a+1))(x-(a+5))=0). So the roots are (a+1) and (a+5), hence the positive difference is (4).
दिया गया समीकरण \\(x^2-2kx+k^2-25=0\\) को \\((x-k)^2-25=0\\) के रूप में लिख सकते हैं। अतः \\((x-k)^2=25\\), इसलिए जड़ें \\(k+5\\) और \\(k-5\\) हैं। बड़ी और छोटी जड़ का अंतर \\((k+5)-(k-5)=10\\) है। इसलिए सही उत्तर B है। परीक्षा-युक्ति: \\(x^2+bx+c=0\\) में जड़ों का अंतर ज्ञात करने के लिए विविक्तकर का उपयोग भी किया जा सकता है। / The equation can be rewritten as \\((x-k)^2-25=0\\). Thus, \\((x-k)^2=25\\), giving the roots \\(k+5\\) and \\(k-5\\). Their positive difference is \\((k+5)-(k-5)=10\\), so option B is correct. Exam tip: For \\(ax^2+bx+c=0\\), the difference between the roots can also be found using the discriminant.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) लगाएँ। \(\alpha+\beta=\frac{13}{3}\) और \(\alpha\beta=\frac{4}{3}\), इसलिए धनात्मक अंतर \(\frac{11}{3}\) है। / Use (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). With \(\alpha+\beta=\frac{13}{3}\) and \(\alpha\beta=\frac{4}{3}\), the positive difference is \(\frac{11}{3}\).
दिया गया समीकरण \((x-q)^2-16=0\) या \((x-q)^2=16\) है। इसलिए इसकी जड़ें \(x=q+4\) और \(x=q-4\) होंगी। दोनों जड़ों के बीच धनात्मक अंतर \((q+4)-(q-4)=8\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्ग बनाने से जड़ें तुरंत प्राप्त की जा सकती हैं। / The equation can be rewritten as \((x-q)^2-16=0\), so \((x-q)^2=16\). Hence, the roots are \(x=q+4\) and \(x=q-4\). Their positive difference is \((q+4)-(q-4)=8\). Exam tip: when a quadratic is in the form \((x-a)^2=b^2\), its roots are \(a+b\) and \(a-b\), making their difference \(2b\).
यहाँ \(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=\frac{m}{4}\) है। (\(\alpha-\beta\)2=1) रखने पर (9-m=1), इसलिए (m=8)। / Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=\frac{m}{4}\). Putting (\(\alpha-\beta\)2=1) gives (9-m=1), so (m=8).
दिए गए समीकरण में जड़ों का योग (2r+5) और गुणनफल (r-2+5r+6=(r+2)(r+3)) है। इसलिए जड़ें (r+2) और (r+3) हैं, अतः धनात्मक अंतर (1) है। / In the given equation, the sum of roots is (2r+5) and the product is (r-2+5r+6=(r+2)(r+3)). Hence the roots are (r+2) and (r+3), so the positive difference is (1).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) लगाएँ। \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), इसलिए धनात्मक अंतर \(\frac{5}{2}\) है। / Use (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). With \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), the positive difference is \(\frac{5}{2}\).
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{11}{3}\) और (\(\alpha-\beta\)2=\frac{25}{9}) है। सूत्र (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) से \(\alpha\beta=\frac{8}{3}\), इसलिए (p=8)। / Here \(\alpha+\beta=\frac{11}{3}\) and (\(\alpha-\beta\)2=\frac{25}{9}). Using (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta), we get \(\alpha\beta=\frac{8}{3}\), so (p=8).
मान लें कि जड़ें \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। तब \(\alpha+\beta=-6\) और \(\alpha\beta=r\)। सूत्र \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\) से \(20=36-4r\) प्राप्त होता है, इसलिए \(r=4\)। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के अंतर का वर्ग निकालकर हमेशा इसे जड़ों के योग और गुणनफल से जोड़ें। / Let the roots be \(\alpha\) and \(\beta\). Then \(\alpha+\beta=-6\) and \(\alpha\beta=r\). Using \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\), we get \(20=36-4r\), so \(r=4\). Exam tip: Square the difference of the roots and relate it to their sum and product; the sign of the sum does not affect its square.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) लगाएँ। (16=\(\alpha+\beta\)2-20), इसलिए (\(\alpha+\beta\)2=36) और \(m^2=36\)। / Use (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). Since (16=\(\alpha+\beta\)2-20), we get (\(\alpha+\beta\)2=36) and \(m^2=36\).
A. \(\sqrt{57}\) और \(-\sqrt{57}\)/\(\sqrt{57}\) and \(-\sqrt{57}\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ें (r) और (r+3) मानने पर (r(r+3)=12) मिलता है। इससे जड़ों का योग \(\pm\sqrt{57}\) होता है, इसलिए \(a=\mp\sqrt{57}\)। / Let the roots be (r) and (r+3). Then (r(r+3)=12), giving the sum as \(\pm\sqrt{57}\), so \(a=\mp\sqrt{57}\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की जड़ों \(\alpha\) और \(\beta\) के लिए \((\alpha-\beta)^2=\frac{b^2-4ac}{a^2}\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-(k+2), c=2k\), इसलिए \((\alpha-\beta)^2=(k+2)^2-8k=(k-2)^2\)। जड़ों का अंतर 2 होने पर \((k-2)^2=4\), अतः \(k-2=\pm2\), जिससे \(k=0\) या \(k=4\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के अंतर को सीधे उपयोग करने के बजाय पहले उसके वर्ग को विविक्तकर से जोड़ें। / For roots \(\alpha\) and \(\beta\) of \(ax^2+bx+c=0\), \((\alpha-\beta)^2=\frac{b^2-4ac}{a^2}\). Here, \(a=1, b=-(k+2), c=2k\), so \((\alpha-\beta)^2=(k+2)^2-8k=(k-2)^2\). Since the difference is 2, \((k-2)^2=4\), giving \(k-2=\pm2\), hence \(k=0\) or \(k=4\). Therefore, option A is correct. Exam tip: Relate the square of the difference between the roots to the discriminant before solving for the parameter.
A. \(4+\sqrt{21}\) या \(4-\sqrt{21}\)/\(4+\sqrt{21}\) or \(4-\sqrt{21}\)
Explanation
Simple Explanation
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) में (\(\alpha-\beta\)2=9) रखें। इससे \(a^2-8a-5=0\) और \(a=4\pm\sqrt{21}\) मिलता है। / Put (\(\alpha-\beta\)2=9) in (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). This gives \(a^2-8a-5=0\), so \(a=4\pm\sqrt{21}\).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) का प्रयोग करें। यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), इसलिए मान \(\frac{25}{4}\) है। / Use (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). Here \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), so the value is \(\frac{25}{4}\).
मूलों का योग (7) और अंतर (1) है इसलिए मूल (4) और (3) हैं। उनका गुणनफल (q=12) है। / The sum of roots is (7) and the difference is (1), so the roots are (4) and (3). Their product is (q=12).
दिया गया समीकरण ((x-k)2-4=0) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः ((x-k)2=4) से मूल (x=k+2) और (x=k-2) होंगे। इसलिए दोनों मूलों के बीच धनात्मक अंतर ((k+2)-(k-2)=4) है। विकल्प B केवल 2 को दर्शाता है, जो प्रत्येक मूल का k से अंतर है, मूलों का आपसी अंतर नहीं। परीक्षा-युक्ति: ((x-a)2=b-2) होने पर मूल (a+b) और (a-b) होते हैं। / The equation can be rewritten as ((x-k)2-4=0). Thus, ((x-k)2=4), giving the roots (x=k+2) and (x=k-2). Therefore, their positive difference is ((k+2)-(k-2)=4). Option B, 2, is the distance of each root from k, not the difference between the two roots. Exam tip: If ((x-a)2=b-2), the roots are (a+b) and (a-b).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=81-80=1) है। अंतर वाले प्रश्न में यह पहचान तेज रहती है। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=81-80=1). This identity is quick for difference questions.
मूलों का योग (5) और अंतर (1) है इसलिए मूल (3) और (2) हैं। उनका गुणनफल (q=6) है। / The sum of roots is (5) and the difference is (1), so the roots are (3) and (2). Their product is (q=6).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25-24=1) है। मूलों के अंतर के लिए यह पहचान याद रखें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25-24=1). Remember this identity for difference of roots.
