Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{16}{5}\) और \(\alpha\beta=\frac{p}{5}\) है। (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) से (p=11) मिलता है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{16}{5}\) and \(\alpha\beta=\frac{p}{5}\). Using (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta), we get (p=11).
यहाँ \(\alpha+\beta=2a+1\) और \(\alpha\beta=a^2+a-6\) है। (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25), इसलिए धनात्मक अंतर (5) है। / Here \(\alpha+\beta=2a+1\) and \(\alpha\beta=a^2+a-6\). Since (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25), the positive difference is (5).
समान जड़ों के लिए (D=0) रखते हैं। (4(a+5)2-4\(a^2+18\)=0) से (10a+7=0), इसलिए \(a=-\frac{7}{10}\)। / For equal roots, put (D=0). From (4(a+5)2-4\(a^2+18\)=0), we get (10a+7=0), so \(a=-\frac{7}{10}\).
मूल जड़ें (3) और (4) हैं। नई जड़ें (9) और (11) हैं, इसलिए समीकरण \(x^2-20x+99=0\) है। / The original roots are (3) and (4). The new roots are (9) and (11), so the equation is \(x^2-20x+99=0\).
A. \(7\sqrt{3}\) और \(-7\sqrt{3}\)/\(7\sqrt{3}\) and \(-7\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ें (2r) और (5r) मानें। \(10r^2=\frac{10}{3}\) से \(r=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\), इसलिए \(7r=-\frac{m}{3}\) से \(m=\pm7\sqrt{3}\)। / Let the roots be (2r) and (5r). From \(10r^2=\frac{10}{3}\), \(r=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\), so \(7r=-\frac{m}{3}\) gives \(m=\pm7\sqrt{3}\).
(x=8) रखने पर (64-8(a+8)+8a=0) मिलता है। इसलिए (8) हमेशा एक जड़ है और दूसरी जड़ (a) है। / Putting (x=8) gives (64-8(a+8)+8a=0). Hence (8) is always one root and the other root is (a).
\(\alpha^2+\beta^2=64-4=60\) और (\(\alpha\beta\)2=4) है। इसलिए \(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=\frac{60}{4}=15\)। / Here \(\alpha^2+\beta^2=64-4=60\) and (\(\alpha\beta\)2=4). Thus \(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=\frac{60}{4}=15\).
A. \(k\neq0\) और \(k^2\le36\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le36\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(144-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le36\)। / The product of roots is \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(144-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le36\).
(r(r+2)=24) से (r=4) या (r=-6) मिलता है। जड़ों का योग (10) या (-10) है, इसलिए (p=-10) या (p=10)। / From (r(r+2)=24), we get (r=4) or (r=-6). The sum of roots is (10) or (-10), so (p=-10) or (p=10).
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=64(a-2)2-64\(a^2-6a\)=128(a+2)), इसलिए \(a\ge-2\) होगा, अतः विकल्पों में सही शर्त नहीं है। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=64(a-2)2-64\(a^2-6a\)=128(a+2)), so \(a\ge-2\); hence none of these options is exact.
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72a+216), इसलिए \(a\ge-\frac{7}{2}\) नहीं बल्कि \(a\ge-3\) होगा। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72a+216), so the exact condition is \(a\ge-3\), not \(a\ge-\frac{7}{2}\).
यहाँ (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72(a+3)) है। वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\), इसलिए \(a\ge-3\)। / Here (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72(a+3)). For real roots, \(D\ge0\), so \(a\ge-3\).
जड़ें (4) और (5) हैं। सीधे रखने पर \(\frac{6}{2}+\frac{7}{3}=\frac{16}{3}\) मिलता है, इसलिए विकल्प (A) सही होना चाहिए। / The roots are (4) and (5). Direct substitution gives \(\frac{6}{2}+\frac{7}{3}=\frac{16}{3}\), so option (A) should be correct.
जड़ें (5) और (6) हैं। सीधे रखने पर \(\frac{6}{4}+\frac{7}{5}=\frac{29}{10}\), इसलिए दिए गए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / The roots are (5) and (6). Direct substitution gives \(\frac{6}{4}+\frac{7}{5}=\frac{29}{10}\), so none of the given options is correct.
जड़ें (5) और (6) हैं। इसलिए \(\frac{6}{4}+\frac{7}{5}=\frac{15}{10}+\frac{14}{10}=\frac{29}{10}\)। / The roots are (5) and (6). Hence \(\frac{6}{4}+\frac{7}{5}=\frac{15}{10}+\frac{14}{10}=\frac{29}{10}\).
यहाँ \(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=\frac{5}{4}\) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=\frac{63}{4}), इसलिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=\frac{5}{4}\). Using (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), we get \(\frac{63}{4}\), so none of the options is correct.
यहाँ \(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=\frac{5}{4}\) है। \(\alpha^3+\beta^3=27-\frac{45}{4}=\frac{63}{4}\)। / Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=\frac{5}{4}\). Thus \(\alpha^3+\beta^3=27-\frac{45}{4}=\frac{63}{4}\).
समान जड़ों के लिए ((m-2)2-100=0) होगा। इसलिए \(m-2=\pm10\), अतः (m=12) या (m=-8)। / For equal roots, ((m-2)2-100=0). Thus \(m-2=\pm10\), so (m=12) or (m=-8).
जड़ों का योग (8) है, इसलिए (a=-8)। गुणनफल (9) है, इसलिए (b=9), अतः (a+b=1)। / The sum of roots is (8), so (a=-8). The product is (9), so (b=9), hence (a+b=1).
क्योंकि \(\alpha\) जड़ है, \(\alpha^2=5\alpha+3\) और \(\alpha\beta=-3\) है। व्यंजक (5\alpha+3+5\beta-3=5\(\alpha+\beta\)=25) बनता है। / Since \(\alpha\) is a root, \(\alpha^2=5\alpha+3\), and \(\alpha\beta=-3\). The expression becomes (5\alpha+3+5\beta-3=5\(\alpha+\beta\)=25).
समीकरण ((x-t)2-49=0) है। जड़ें (t+7) और (t-7) हैं, इसलिए धनात्मक अंतर (14) है। / The equation is ((x-t)2-49=0). The roots are (t+7) and (t-7), so the positive difference is (14).
योग (6) धनात्मक है और दोनों धनात्मक जड़ों के लिए (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(36-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le9\)। / The sum (6) is positive and (c>0) is needed for both positive roots. For real roots, \(36-4c\ge0\), so \(0<c\le9\).
(\(\alpha-5\)\(\beta-5\)=\alpha\beta-5\(\alpha+\beta\)+25) है। \(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=-12\), इसलिए मान (-7) है। / We use (\(\alpha-5\)\(\beta-5\)=\alpha\beta-5\(\alpha+\beta\)+25). Since \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=-12\), the value is (-7).
इन जड़ों का योग \(\frac{5t+3}{4}\) और गुणनफल (\frac{t(t+3)}{4}) है। ये दिए गए समीकरण के \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) से मेल खाते हैं। / The sum of these roots is \(\frac{5t+3}{4}\), and the product is (\frac{t(t+3)}{4}). These match \(-\frac{b}{a}\) and \(\frac{c}{a}\) of the given equation.
जड़ों का गुणनफल (9m) है। एक जड़ (9) है, इसलिए दूसरी जड़ \(\frac{9m}{9}=m\) होगी। / The product of roots is (9m). Since one root is (9), the other root is \(\frac{9m}{9}=m\).
जड़ों का योग (2a+4) और गुणनफल \(a^2+4a\) है। ये (a) और (a+4) से मेल खाते हैं। / The sum of roots is (2a+4) and the product is \(a^2+4a\). These match (a) and (a+4).
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\) है। यहाँ \(\alpha^2+\beta^2=169-72=97\) और \(\alpha\beta=36\), इसलिए मान \(\frac{97}{36}\) है। / We use \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\). Here \(\alpha^2+\beta^2=169-72=97\) and \(\alpha\beta=36\), so the value is \(\frac{97}{36}\).
दोनों जड़ों का गुणनफल (1) है, इसलिए समीकरण का गुणनफल सही है। वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(s^2-4\ge0\), इसलिए \(s^2\ge4\)। / The product of the two roots is (1), so the product condition is satisfied. For real roots, the discriminant \(s^2-4\ge0\), so \(s^2\ge4\).
जड़ों का योग \(\frac{1}{4+\sqrt{3}}+\frac{1}{4-\sqrt{3}}=\frac{8}{13}\) है। \(x^2+ax+b=0\) में योग (-a) होता है, इसलिए \(a=-\frac{8}{13}\)। / The sum of roots is \(\frac{1}{4+\sqrt{3}}+\frac{1}{4-\sqrt{3}}=\frac{8}{13}\). In \(x^2+ax+b=0\), the sum is (-a), so \(a=-\frac{8}{13}\).
जड़ों का गुणनफल \(a^2-16\) है। इसे (0) रखने पर \(a^2=16\), इसलिए (a=4) या (a=-4)। / The product of roots is \(a^2-16\). Setting it equal to (0) gives \(a^2=16\), so (a=4) or (a=-4).
\(\alpha+\beta=9\) और \(\alpha\beta=n\) है। (81-2n=45) से (n=18) मिलता है। / Here \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=n\). From (81-2n=45), we get (n=18).
वास्तविक नहीं होने के लिए (D<0) चाहिए। \(36-28\lambda<0\) से \(\lambda>\frac{9}{7}\) मिलता है। / For non-real roots, (D<0) is required. From \(36-28\lambda<0\), we get \(\lambda>\frac{9}{7}\).
जड़ें (5r) और (3r) मानें। (8r=16) से (r=2), इसलिए गुणनफल \(15r^2=60\) है। / Let the roots be (5r) and (3r). From (8r=16), (r=2), so the product is \(15r^2=60\).
जड़ों का योग (u+2v) और गुणनफल (2uv) है। ये (u) और (2v) से मेल खाते हैं। / The sum of roots is (u+2v) and the product is (2uv). These match (u) and (2v).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=7\), इसलिए (7r=84) और (r=12)। / We use (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Here \(\alpha+\beta=7\), so (7r=84) and (r=12).
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=1\) है। पहले \(\alpha^2+\beta^2=23\), फिर \(\alpha^4+\beta^4=23^2-2=527\)। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=1\). First \(\alpha^2+\beta^2=23\), then \(\alpha^4+\beta^4=23^2-2=527\).
योग (14) वाली अभाज्य जोड़ियाँ ((3,11)) और ((7,7)) हैं। इसलिए (m=33) या (m=49), और योग (82) है, अतः विकल्पों में कोई सही नहीं है। / The prime pairs with sum (14) are ((3,11)) and ((7,7)). Thus (m=33) or (m=49), and the sum is (82), so none of the options is correct.
समान जड़ों के लिए \(p^2-256=0\), इसलिए \(p=\pm16\)। समान जड़ \(-\frac{p}{2}\) धनात्मक होनी चाहिए, अतः (p=-16)। / For equal roots, \(p^2-256=0\), so \(p=\pm16\). The equal root \(-\frac{p}{2}\) must be positive, hence (p=-16).
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=\frac{9}{4}\) है। (\(\alpha-\beta\)2=25-9=16), इसलिए धनात्मक अंतर (4) है, अतः विकल्प (A) सही होना चाहिए। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=\frac{9}{4}\). Thus (\(\alpha-\beta\)2=25-9=16), so the positive difference is (4); option (A) should be correct.
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=\frac{9}{4}\) है। (\(\alpha-\beta\)2=25-9=16), इसलिए धनात्मक अंतर (4) है। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=\frac{9}{4}\). Since (\(\alpha-\beta\)2=25-9=16), the positive difference is (4).
जड़ों का योग (2a+9) और गुणनफल ((a+4)(a+5)) है। ये (a+4) और (a+5) से मेल खाते हैं। / The sum of roots is (2a+9) and the product is ((a+4)(a+5)). These match (a+4) and (a+5).
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-12) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(144-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<36\)। / For both roots to be negative, the sum (-12) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(144-4\lambda>0\), so \(0<\lambda<36\).
\(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=10\) है। \(\alpha^2+\beta^2=49-20=29\), इसलिए (29-6(7)=-13), अतः विकल्पों में कोई सही नहीं है। / Here \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=10\). Since \(\alpha^2+\beta^2=49-20=29\), the value is (29-6(7)=-13), so none of the options is correct.
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=49-20=29) है। इसलिए मान (29-6\(\alpha+\beta\)=29-42=-13) है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=49-20=29). Therefore the value is (29-6\(\alpha+\beta\)=29-42=-13).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) होता है। इसलिए (\(\alpha-\beta\)2+4\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2=100)। / We know (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). Hence (\(\alpha-\beta\)2+4\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2=100).
जड़ों का योग (5) है, इसलिए (p=-5)। गुणनफल (-36) है, इसलिए (q=-36), अतः (p-q=31)। / The sum of roots is (5), so (p=-5). The product is (-36), so (q=-36), hence (p-q=31).
जड़ों का गुणनफल \(\frac{h}{4}\) है। एक जड़ \(\frac{1}{4}\) है, इसलिए दूसरी जड़ (h) होगी। / The product of roots is \(\frac{h}{4}\). Since one root is \(\frac{1}{4}\), the other root is (h).
A. हर वास्तविक (a) के लिए वास्तविक नहीं/Not real for every real (a)
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (D=4-4\(a^2+3\)=-4a-2-8) है। यह हर वास्तविक (a) के लिए ऋणात्मक है, इसलिए जड़ें वास्तविक नहीं हैं। / The discriminant is (D=4-4\(a^2+3\)=-4a-2-8). It is negative for every real (a), so the roots are not real.
\(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha^2+\beta^2=26\) है। \(36-2\alpha\beta=26\) से \(\alpha\beta=5\), इसलिए जड़ें (1) और (5) हैं। / Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha^2+\beta^2=26\). From \(36-2\alpha\beta=26\), \(\alpha\beta=5\), so the roots are (1) and (5).
समीकरण की जड़ें (2) और (-3) हैं। इसलिए (\alpha-5+\beta-5=25+(-3)5=32-243=-211)। / The roots of the equation are (2) and (-3). Therefore (\alpha-5+\beta-5=25+(-3)5=32-243=-211).
