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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Roots of a Quadratic Equation Expert Level 33

समीकरण \(9x^2-6(a-1)x+a^2-4a-5=0\) की दोनों जड़ें वास्तविक हों, इसके लिए \(a\) की सही शर्त क्या है?

What is the correct condition on \(a\) for the quadratic equation \(9x^2-6(a-1)x+a^2-4a-5=0\) to have real roots?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(a\ge -3\)

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(A=9\), \(B=-6(a-1)\) और \(C=a^2-4a-5\) हैं। वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=B^2-4AC\ge 0\) होना चाहिए। अतः \(D=36(a-1)^2-36(a^2-4a-5)=72(a+3)\), इसलिए \(72(a+3)\ge0\), अर्थात् \(a\ge-3\)। विकल्प B केवल विपरीत दिशा की असमानता देता है और सामान्यतः वास्तविक जड़ों की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / Here, \(A=9\), \(B=-6(a-1)\), and \(C=a^2-4a-5\). For real roots, the discriminant must satisfy \(D=B^2-4AC\ge0\). Thus, \(D=36(a-1)^2-36(a^2-4a-5)=72(a+3)\), so \(72(a+3)\ge0\), giving \(a\ge-3\). Option B reverses the required inequality and is therefore not the general condition for real roots. Exam tip: For a quadratic to have real roots, begin by applying \(D\ge0\).

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समीकरण \(9x^2-6(a-1)x+a^2-4a-5=0\) की दोनों जड़ें वास्तविक हों, इसके लिए \(a\) की सही शर्त क्या है? / What is the correct condition on \(a\) for the quadratic equation \(9x^2-6(a-1)x+a^2-4a-5=0\) to have real roots?

Correct Answer: A. \(a\ge -3\). Explanation: यहाँ \(A=9\), \(B=-6(a-1)\) और \(C=a^2-4a-5\) हैं। वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=B^2-4AC\ge 0\) होना चाहिए। अतः \(D=36(a-1)^2-36(a^2-4a-5)=72(a+3)\), इसलिए \(72(a+3)\ge0\), अर्थात् \(a\ge-3\)। विकल्प B केवल विपरीत दिशा की असमानता देता है और सामान्यतः वास्तविक जड़ों की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / Here, \(A=9\), \(B=-6(a-1)\), and \(C=a^2-4a-5\). For real roots, the discriminant must satisfy \(D=B^2-4AC\ge0\). Thus, \(D=36(a-1)^2-36(a^2-4a-5)=72(a+3)\), so \(72(a+3)\ge0\), giving \(a\ge-3\). Option B reverses the required inequality and is therefore not the general condition for real roots. Exam tip: For a quadratic to have real roots, begin by applying \(D\ge0\).