Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(p(1)=1^2-4(1)+k=k-3\) और \(p(3)=3^2-4(3)+k=k-3\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों मान प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए समान हैं; \(k\) पर कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं है। अतः \(k\) कोई भी वास्तविक मान हो सकता है। परीक्षा-युक्ति: समानता जाँचने के लिए पहले दोनों दिए गए मानों पर बहुपद का मान अलग-अलग निकालें। / Substituting the given values gives \(p(1)=1^2-4(1)+k=k-3\) and \(p(3)=3^2-4(3)+k=k-3\). Thus the two values are equal for every real \(k\), so there is no further restriction on \(k\). Therefore, \(k\) can be any real value. Exam tip: Evaluate the polynomial at both specified inputs before trying to solve for the parameter.
दिए गए द्विघात समीकरण में \(A=a-1\), \(B=2a\) और \(C=a+3\) हैं। समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=B^2-4AC\) का मान शून्य होना चाहिए। अतः \(D=(2a)^2-4(a-1)(a+3)=4(3-2a)\)। \(D=0\) रखने पर \(3-2a=0\), इसलिए \(a=\frac{3}{2}\)। विकल्प \(a=1\) लेने पर \(A=0\) हो जाता है, इसलिए समीकरण द्विघात नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में पहले \(D=0\) लगाएँ और फिर जाँचें कि \(A\neq0\) है। / For the given quadratic equation, \(A=a-1\), \(B=2a\), and \(C=a+3\). Equal roots require the discriminant \(D=B^2-4AC\) to be zero. Thus, \(D=(2a)^2-4(a-1)(a+3)=4(3-2a)\). Setting \(D=0\) gives \(3-2a=0\), so \(a=\frac{3}{2}\). The value \(a=1\) is not valid because it makes \(A=0\), so the equation is no longer quadratic. Exam tip: For equal-root questions, set the discriminant to zero and then verify that the coefficient of \(x^2\) is non-zero.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक और समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=p\) और \(c=8\) हैं, इसलिए \(p^2-4(2)(8)=0\), अर्थात् \(p^2=64\)। अतः \(p=\pm 8\), इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि वर्गमूल लेने पर धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान लेने होते हैं; इसी कारण केवल \(p=8\) सही नहीं है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have real and equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=2\), \(b=p\), and \(c=8\). Thus, \(p^2-4(2)(8)=0\), so \(p^2=64\) and \(p=\pm 8\). Therefore, option A is correct. Exam tip: when taking the square root of \(p^2=64\), include both the positive and negative values; hence option C is incomplete.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=m-2\) और \(c=25\), इसलिए \((m-2)^2-100=0\)। अतः \(m-2=\pm10\), जिससे \(m=12\) या \(m=-8\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=m-2\), and \(c=25\), so \((m-2)^2-100=0\). Therefore, \(m-2=\pm10\), giving \(m=12\) or \(m=-8\). Exam tip: For equal-root questions, immediately set the discriminant equal to zero.
विएटा के सूत्र के अनुसार \(Ax^2+Bx+C=0\) की जड़ों का गुणनफल \(C/A\) होता है। यहाँ \(A=1\) और \(C=a^2-9\), इसलिए जड़ों का गुणनफल \(a^2-9\) है। इसे शून्य रखने पर \(a^2-9=0\), अर्थात \(a^2=9\), इसलिए \(a=3\) या \(a=-3\)। विकल्प A में 0 और 9 लेना समीकरण \(a^2=9\) को गलत ढंग से हल करना है। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के योग और गुणनफल के लिए सीधे विएटा के सूत्र का प्रयोग करें। / By Vieta’s formula, the product of the roots of \(Ax^2+Bx+C=0\) is \(C/A\). Here, \(A=1\) and \(C=a^2-9\), so the product of the roots is \(a^2-9\). Setting it equal to zero gives \(a^2-9=0\), or \(a^2=9\), hence \(a=3\) or \(a=-3\). Option A is incorrect because \(a^2=9\) does not give 0 and 9 as the values of \(a\). Exam tip: Use Vieta’s formulas directly when only the sum or product of roots is given.
समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=m+1\) और \(c=16\), इसलिए \((m+1)^2-4(1)(16)=0\), अर्थात \((m+1)^2=64\)। अतः \(m+1=\pm 8\), जिससे \(m=7\) या \(m=-9\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: समान जड़ों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=m+1\), and \(c=16\). Thus, \((m+1)^2-4(1)(16)=0\), giving \((m+1)^2=64\). Therefore, \(m+1=\pm 8\), so \(m=7\) or \(m=-9\). Hence, option A is correct. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set \(b^2-4ac=0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=m-5\) और \(c=9\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(m-5)^2-36=0\)। अतः \(m-5=\pm6\), जिससे \(m=11\) या \(m=-1\) प्राप्त होता है। साथ ही, मूलों का गुणनफल \(c/a=9>0\) है, इसलिए वे विपरीत चिह्नों वाले नहीं हो सकते। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=m-5\), and \(c=9\), so \(D=b^2-4ac=(m-5)^2-36=0\). Hence, \(m-5=\pm6\), giving \(m=11\) or \(m=-1\). Also, the product of the roots is \(c/a=9>0\), so the roots cannot have opposite signs. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, directly use \(b^2-4ac=0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=k\) और \(c=16\) हैं, इसलिए \(b^2-4ac=0\) से \(k^2-4(1)(16)=0\), अर्थात \(k^2-64=0\)। अतः \(k=8\) या \(k=-8\)। विकल्प B के लिए विविक्तकर शून्य नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=k\), and \(c=16\). Thus, \(b^2-4ac=0\) gives \(k^2-4(1)(16)=0\), so \(k^2-64=0\). Therefore, \(k=8\) or \(k=-8\). For option B, the discriminant would not be zero. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, directly use \(b^2-4ac=0\).
समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2(k-1)\) और \(c=k+5\) हैं। अतः \(D=[2(k-1)]^2-4(1)(k+5)=4(k^2-3k-4)=0\)। इसलिए \((k-4)(k+1)=0\), जिससे \(k=4\) या \(k=-1\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान जड़ों वाले द्विघात समीकरण में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=2(k-1)\), and \(c=k+5\). Thus, \(D=[2(k-1)]^2-4(1)(k+5)=4(k^2-3k-4)=0\). Factoring gives \((k-4)(k+1)=0\), so \(k=4\) or \(k=-1\). The distractors arise from sign or factorisation errors. Exam tip: whenever a quadratic has equal roots, immediately apply \(D=0\).
मूल \\(x=-3\\) रखने पर \\((-3)^2+u(-3)-18=0\\), अर्थात् \\(9-3u-18=0\\)। इससे \\(-3u=9\\) और \\(u=-3\\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: दिए गए मूल को हमेशा सीधे समीकरण में रखकर शेष अज्ञात राशि ज्ञात करें। / Substitute the given root \\(x=-3\\) into the equation: \\((-3)^2+u(-3)-18=0\\), which gives \\(9-3u-18=0\\). Thus, \\(-3u=9\\) and \\(u=-3\\). Therefore, option A is correct. Exam tip: When a root is given, substitute it directly into the polynomial and solve for the unknown parameter.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2k\) और \(c=25\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(25)=4k^2-100\)। अतः \(4k^2-100=0\), जिससे \(k^2=25\) और \(k=\pm5\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। केवल \(k=5\) या \(k=-5\) लेना अधूरा होगा, क्योंकि दोनों मान संभव हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल दिखें तो सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2k\), and \(c=25\), so \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(25)=4k^2-100\). Setting \(D=0\) gives \(4k^2-100=0\), hence \(k^2=25\) and \(k=\pm5\). Therefore, option A is correct. Choosing only \(k=5\) or only \(k=-5\) is incomplete because both values are possible. Exam tip: For equal roots, immediately use \(D=0\).
