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vietas-formula MCQ Questions for Class 10

vietas-formula se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.

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Practice Questions

10 questions tagged with vietas-formula.

Question 1/10 Expert Mathematics Quadratic Equations Roots of a Quadratic Equation Class 10 Level 32

यदि समीकरण \(x^2-2(a-2)x+a^2-9=0\) की जड़ों का गुणनफल शून्य हो, तो \(a\) के मान क्या होंगे?

If the product of the roots of the equation \(x^2-2(a-2)x+a^2-9=0\) is zero, what are the values of \(a\)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

B. 3 और −33 and −3

Explanation

Simple Explanation

विएटा के सूत्र के अनुसार \(Ax^2+Bx+C=0\) की जड़ों का गुणनफल \(C/A\) होता है। यहाँ \(A=1\) और \(C=a^2-9\), इसलिए जड़ों का गुणनफल \(a^2-9\) है। इसे शून्य रखने पर \(a^2-9=0\), अर्थात \(a^2=9\), इसलिए \(a=3\) या \(a=-3\)। विकल्प A में 0 और 9 लेना समीकरण \(a^2=9\) को गलत ढंग से हल करना है। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के योग और गुणनफल के लिए सीधे विएटा के सूत्र का प्रयोग करें। / By Vieta’s formula, the product of the roots of \(Ax^2+Bx+C=0\) is \(C/A\). Here, \(A=1\) and \(C=a^2-9\), so the product of the roots is \(a^2-9\). Setting it equal to zero gives \(a^2-9=0\), or \(a^2=9\), hence \(a=3\) or \(a=-3\). Option A is incorrect because \(a^2=9\) does not give 0 and 9 as the values of \(a\). Exam tip: Use Vieta’s formulas directly when only the sum or product of roots is given.

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Question 2/10 Expert Mathematics Quadratic Equations Roots of a Quadratic Equation Class 10 Level 31

यदि द्विघात समीकरण \(x^2+px+q=0\) की जड़ें \(-2\) और \(5\) हैं, तो \(p-q\) का मान क्या होगा?

If the roots of the quadratic equation \(x^2+px+q=0\) are \(-2\) and \(5\), what is the value of \(p-q\)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. 7

Explanation

Simple Explanation

वियत के सूत्र के अनुसार, जड़ों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) होता है। यहाँ \((-2)+5=3\), इसलिए \(-p=3\), अर्थात् \(p=-3\)। साथ ही, \((-2)(5)=-10\), अतः \(q=-10\)। इसलिए \(p-q=-3-(-10)=7\)। परीक्षा में \(x^2+px+q\) के लिए जड़ों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) अवश्य याद रखें। / By Vieta’s formulas, the sum of the roots is \(-p\) and their product is \(q\). Here, \((-2)+5=3\), so \(-p=3\), giving \(p=-3\). Also, \((-2)(5)=-10\), so \(q=-10\). Therefore, \(p-q=-3-(-10)=7\). Exam tip: for an equation of the form \(x^2+px+q=0\), remember that the sum of roots is \(-p\) and the product is \(q\).

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Question 3/10 Expert Mathematics Quadratic Equations Roots of a Quadratic Equation Class 10 Level 31

यदि समीकरण \(x^2-2(a+1)x+a^2-1=0\) की जड़ों का गुणनफल शून्य हो, तो \(a\) के कौन-से मान संभव हैं?

If the product of the roots of the equation \(x^2-2(a+1)x+a^2-1=0\) is zero, which values of \(a\) are possible?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. 1 या -11 or -1

Explanation

Simple Explanation

वियत के सूत्र के अनुसार, \(Ax^2+Bx+C=0\) की जड़ों का गुणनफल \(C/A\) होता है। यहाँ \(A=1\) और \(C=a^2-1\), इसलिए जड़ों का गुणनफल \(a^2-1\) है। इसे शून्य रखने पर \(a^2-1=0\), अर्थात \(a^2=1\), जिससे \(a=1\) या \(a=-1\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के योग या गुणनफल से जुड़े प्रश्नों में वियत के सूत्र का सीधे प्रयोग करें; केवल एक मान चुनने से पहले समीकरण के दोनों हलों को अवश्य जाँचें। / By Vieta’s formula, the product of the roots of \(Ax^2+Bx+C=0\) is \(C/A\). Here, \(A=1\) and \(C=a^2-1\), so the product of the roots is \(a^2-1\). Setting it equal to zero gives \(a^2-1=0\), or \(a^2=1\), hence \(a=1\) or \(a=-1\). Therefore, option A is correct. Exam tip: Use Vieta’s formulas directly when a question asks for the sum or product of roots, and remember to consider both values obtained after solving the parameter equation.

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Question 4/10 Hard Mathematics Quadratic Equations Roots of a Quadratic Equation Class 10 Level 33

समीकरण \(x^2-(m+1)x+m=0\) की जड़ें एक-दूसरे की व्युत्क्रम हों, तो \(m\) का मान क्या है?

If the roots of the quadratic equation \(x^2-(m+1)x+m=0\) are reciprocals of each other, what is the value of \(m\)?

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Correct Answer

A. 1

Explanation

Simple Explanation

मान लें कि जड़ें \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। वियत के सूत्र के अनुसार \(\alpha\beta=m\)। एक-दूसरे की व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\alpha\beta=1\) होना चाहिए, इसलिए \(m=1\)। वास्तव में, \(m=1\) रखने पर समीकरण \((x-1)^2=0\) बनता है और दोनों जड़ें 1 होती हैं, जो अपने ही व्युत्क्रम के बराबर हैं। \(m=0\) नहीं हो सकता, क्योंकि तब एक जड़ 0 होगी और उसका व्युत्क्रम परिभाषित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: व्युत्क्रम जड़ों के लिए जड़ों का गुणनफल हमेशा 1 रखें। / Let the roots be \(\alpha\) and \(\beta\). By Vieta’s formula, \(\alpha\beta=m\). For two roots to be reciprocals of each other, \(\alpha\beta=1\); hence, \(m=1\). Indeed, when \(m=1\), the equation becomes \((x-1)^2=0\), so both roots are 1, and each is the reciprocal of the other. The value \(m=0\) is invalid because it gives a zero root, whose reciprocal is undefined. Exam tip: For reciprocal roots, set their product equal to 1.

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Question 5/10 Hard Mathematics Quadratic Equations Roots of a Quadratic Equation Class 10 Level 33

यदि द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) की दोनों जड़ें एक-दूसरे की विपरीत हों, तो निम्नलिखित में से कौन-सी शर्त अनिवार्य है?

If the two roots of the quadratic equation \(x^2+bx+c=0\) are opposites of each other, which of the following conditions is necessary?

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Correct Answer

A. \(b=0\)

Explanation

Simple Explanation

मान लें जड़ें \(\alpha\) और \(-\alpha\) हैं। उनकी राशि \(\alpha+(-\alpha)=0\) होगी। विएटा के सूत्र के अनुसार \(x^2+bx+c=0\) की जड़ों की राशि \(-b\) होती है, इसलिए \(-b=0\), अर्थात \(b=0\)। \(c=0\) अनिवार्य नहीं है; उदाहरण के लिए \(x^2-1=0\) की जड़ें \(1\) और \(-1\) हैं, जबकि \(c=-1\)। परीक्षा-युक्ति: जड़ों की राशि देखकर सीधे \(-b\) से तुलना करें। / Let the roots be \(\alpha\) and \(-\alpha\). Their sum is \(\alpha+(-\alpha)=0\). By Vieta’s formula, the sum of the roots of \(x^2+bx+c=0\) is \(-b\). Hence \(-b=0\), so \(b=0\). The condition \(c=0\) is not necessary; for example, \(x^2-1=0\) has roots \(1\) and \(-1\), but \(c=-1\). Exam tip: compare the sum of the roots directly with the coefficient relation \(-b\).

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Question 6/10 Hard Mathematics Quadratic Equations Roots of a Quadratic Equation Class 10 Level 31

यदि समीकरण \(x^2-5x+4=0\) के मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हैं, तो \((\alpha+2)\) और \((\beta+2)\) का योग कितना होगा?

If \(\alpha\) and \(\beta\) are the roots of the equation \(x^2-5x+4=0\), what is the sum of \((\alpha+2)\) and \((\beta+2)\)?

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Correct Answer

A. 9

Explanation

Simple Explanation

वियत के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=\frac{-(-5)}{1}=5\)। इसलिए \((\alpha+2)+(eta+2)=\alpha+\beta+4=5+4=9\)। अतः सही उत्तर 9 है। ध्यान रखें कि दोनों मूलों में 2 जोड़ा गया है, इसलिए योग में 2 नहीं, बल्कि 4 की वृद्धि होगी; इसी कारण 7 गलत है। / By Vieta’s formula, \(\alpha+\beta=\frac{-(-5)}{1}=5\). Therefore, \((\alpha+2)+(eta+2)=\alpha+\beta+4=5+4=9\). Hence, the correct answer is 9. Since 2 is added to both roots, the sum increases by 4, not by 2; therefore, 7 is incorrect. Exam tip: when the same number \(k\) is added to both roots, their sum increases by \(2k\).

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Question 7/10 Medium Mathematics Quadratic Equations Roots of a Quadratic Equation Class 10 Level 32

यदि \(x=2\) और \(x=7\) किसी मोनिक द्विघात समीकरण के मूल हैं, तो \(x\) का गुणांक क्या होगा?

If \(x=2\) and \(x=7\) are the roots of a monic quadratic equation, what is the coefficient of \(x\)?

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Correct Answer

A. -9

Explanation

Simple Explanation

मोनिक द्विघात समीकरण का अग्रणी गुणांक 1 होता है। यदि मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हों, तो समीकरण \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) होता है। यहाँ मूलों का योग \(2+7=9\) है, इसलिए \(x\) का गुणांक \(-9\) होगा। विकल्प B में ऋण चिह्न छूट गया है। परीक्षा युक्ति: मोनिक समीकरण में \(x\) का गुणांक हमेशा मूलों के योग का ऋणात्मक होता है। / A monic quadratic equation has leading coefficient 1. If its roots are \(\alpha\) and \(\beta\), its form is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\). Here, the sum of the roots is \(2+7=9\), so the coefficient of \(x\) is \(-9\). Option B results from missing the negative sign. Exam tip: In a monic quadratic, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the roots.

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Question 8/10 Expert Mathematics Quadratic Equations Introduction to Quadratic Equations Class 10 Level 29

यदि 7 और 8, समीकरण \(x^2-sx+p=0\) के मूल हैं, तो \(s+p\) का मान क्या होगा?

If 7 and 8 are the roots of the equation \(x^2-sx+p=0\), what is the value of \(s+p\)?

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Correct Answer

A. 71

Explanation

Simple Explanation

विएटा के सूत्र के अनुसार, मूलों का योग \(s=7+8=15\) और मूलों का गुणनफल \(p=7\times8=56\) होता है। अतः \(s+p=15+56=71\)। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2-sx+p\) के रूप में लिखे द्विघात समीकरण में मूलों का योग सीधे \(s\) और गुणनफल \(p\) होता है। / By Vieta’s formulas, the sum of the roots is \(s=7+8=15\), and their product is \(p=7\times8=56\). Therefore, \(s+p=15+56=71\), so option A is correct. Exam tip: In an equation of the form \(x^2-sx+p=0\), the sum of the roots is \(s\) and their product is \(p\).

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Question 9/10 Hard Mathematics Quadratic Equations Introduction to Quadratic Equations Class 10 Level 29

यदि समीकरण \(x^2+2x-8=0\) के मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हैं, तो \((\alpha+\beta)^2\) का मान क्या होगा?

If \(\alpha\) and \(\beta\) are the roots of the equation \(x^2+2x-8=0\), what is the value of \((\alpha+\beta)^2\)?

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Correct Answer

A. 4

Explanation

Simple Explanation

वियत के सूत्र के अनुसार, \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(b=2\), इसलिए \(\alpha+\beta=-2\)। अतः \((\alpha+\beta)^2=(-2)^2=4\)। ध्यान रखें कि मूलों के योग का वर्ग लेते समय ऋणात्मक चिह्न समाप्त हो जाता है; इसलिए 8 या 16 सही नहीं हैं। / By Vieta’s formula, the sum of the roots of \(ax^2+bx+c=0\) is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=1\) and \(b=2\), so \(\alpha+\beta=-2\). Therefore, \((\alpha+\beta)^2=(-2)^2=4\). Exam tip: square the complete sum, including its sign; the negative sign disappears only after squaring.

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Question 10/10 Hard Mathematics Polynomials Irrational numbers and real numbers Class 10 Level 28

यदि \(p(x)=x^2-kx+1\) के शून्यक \(2+\sqrt{3}\) और \(2-\sqrt{3}\) हैं, तो \(k\) का मान क्या है?

If the zeros of \(p(x)=x^2-kx+1\) are \(2+\sqrt{3}\) and \(2-\sqrt{3}\), what is the value of \(k\)?

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Correct Answer

B. 4

Explanation

Simple Explanation

दो शून्यकों का योग \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\) होता है। सामान्य द्विघात \(x^2-kx+1\) में Vieta के अनुसार शून्यकों का योग \(k\) के बराबर होता है (कारक a=1 और गुणांक b=-k से)। इसलिए \(k=4\)। जाँच के लिए उनका गुणनफल \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\) है, जो स्थिर पद से मेल खाता है। परीक्षा युक्ति: यदि शून्यक रूप \(a\pm\sqrt{b}\) हों तो उनका योग \(2a\) होता है — सीधे जोड़ कर देखें। / The sum of the roots is \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\). For the quadratic \(x^2-kx+1\), by Vieta the sum of roots equals \(k\) (since coefficient of x is \(-k\)). Hence \(k=4\). As a consistency check, the product is \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1\), matching the constant term. Exam tip: for conjugate roots of the form \(a\pm\sqrt{b}\), the sum is \(2a\); use Vieta quickly to identify coefficients.

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