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parameter-based-equations MCQ Questions for Class 10
parameter-based-equations se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
एक संख्या-समस्या से समीकरण \(n^2-2pn+(p^2-11p)=0\) प्राप्त होता है। \(n\) के दो वास्तविक और भिन्न मान प्राप्त करने के लिए \(p\) पर कौन-सी शर्त आवश्यक है?
द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-11p\), इसलिए \(D=(-2p)^2-4(p^2-11p)=44p\)। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए, अतः \(44p>0\), यानी \(p>0\)। ध्यान रखें कि \(p=0\) पर \(D=0\) होता है और दोनों मूल समान होते हैं। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-11p\), so \(D=(-2p)^2-4(p^2-11p)=44p\). Two real and distinct roots require \(D>0\); hence \(44p>0\), which gives \(p>0\). Note that when \(p=0\), \(D=0\), so the roots are equal rather than distinct.
\\(L\\) के वास्तविक मान होने के लिए विविक्तकर \\(D\\ge0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। इसलिए \\(8(a+3)\ge0\\), अर्थात \\(a\ge-3\\)। विकल्प B में असमानता उलटी है; जबकि \\(a=-3\\) पर विविक्तकर शून्य होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में वास्तविक मूलों की शर्त के लिए हमेशा \\(D\ge0\\) लगाएँ। / For real values of \\(L\\), the discriminant must satisfy \\(D\ge0\\)। Here, \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। Thus, \\(8(a+3)\ge0\\), giving \\(a\ge-3\\)। Option B reverses the inequality; at \\(a=-3\\), the discriminant is zero and the equation has two equal real roots. In exams, use \\(D\ge0\\) whenever real roots are required.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर शून्य या धनात्मक होना चाहिए। यहाँ \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। अतः \\(D\ge0\\) से \\(a\ge-3\\) प्राप्त होता है। \\(a=-3\\) पर विविक्तकर शून्य है और दोनों मूल समान वास्तविक होते हैं, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \\(D\ge0\\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must be zero or positive. Here, \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। Thus, \\(D\ge0\\) gives \\(a\ge-3\\). At \\(a=-3\\), the discriminant is zero and the roots are equal and real, so option B is incorrect. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \\(D\ge0\\).
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2r\) और \(c=r^2+49\), इसलिए \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+49)=-196<0\)। अतः \(r\) के किसी भी वास्तविक मान के लिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना आवश्यक होता, जो यहाँ संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-2r\), and \(c=r^2+49\), so \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+49)=-196<0\). Therefore, for every real value of \(r\), the equation has no real roots. Option B would require \(D=0\), which is not possible here. Exam tip: a quadratic equation with real coefficients has no real roots whenever its discriminant is negative.
यहाँ a = 1, b = 2(m − 5) और c = m² − 9m + 24 हैं। अतः विविक्तकर D = b² − 4ac = 4(m − 5)² − 4(m² − 9m + 24) = 4(1 − m)। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए D < 0 होना चाहिए, इसलिए 4(1 − m) < 0 से m > 1 प्राप्त होता है। m = 1 पर D = 0 होता है, इसलिए दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं; अतः विकल्प C गलत है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने की शर्त हमेशा D < 0 याद रखें। / Here, a = 1, b = 2(m − 5), and c = m² − 9m + 24. Therefore, the discriminant is D = b² − 4ac = 4(m − 5)² − 4(m² − 9m + 24) = 4(1 − m). For the equation to have no real roots, D must be less than zero. Thus, 4(1 − m) < 0 gives m > 1. When m = 1, D = 0, so the equation has two equal real roots; hence option C is incorrect. Exam tip: For a quadratic equation, remember that no real roots occur when D < 0.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(a+2)]^2-4(a^2+6a+8)=-8(a+2)\)। अतः \(-8(a+2)<0\), जिससे \(a>-2\) प्राप्त होता है। \(a=-2\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[-2(a+2)]^2-4(a^2+6a+8)=-8(a+2)\). Thus, \(-8(a+2)<0\), which gives \(a>-2\). When \(a=-2\), \(D=0\), so the equation has two equal real roots; hence it is not correct. Exam tip: For ‘no real roots’, always apply the condition \(D<0\).
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-7p\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-7p)=28p\)। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए, इसलिए \(28p>0\), अर्थात् \(p>0\)। ध्यान दें कि \(p=0\) पर \(D=0\) होता है और मूल समान होते हैं, जबकि \(p<0\) पर मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-7p\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-7p)=28p\). Two real and distinct roots require \(D>0\), so \(28p>0\), which gives \(p>0\). At \(p=0\), \(D=0\) and the roots are equal, while for \(p<0\), the roots are not real. Exam tip: for distinct real roots, always check the condition \(D>0\).
द्विघात समीकरण में समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \\(D=0\\) है। यहाँ \\(a=2\\), \\(b=-2(3k-1)\\) और \\(c=(k+1)^2\\) हैं। इसलिए \\(D=b^2-4ac=4(3k-1)^2-8(k+1)^2=4(7k^2-10k-1)\\)। अतः \\(D=0\\) से \\(7k^2-10k-1=0\\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \\( (k-1)^2=0\\) को दर्शाता है और विविक्तकर की शर्त नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल, वास्तविक और भिन्न मूल की पहचान के लिए क्रमशः \\(D=0\\), \\(D>0\\) और \\(D<0\\) जाँचें। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is zero. Here, \\(a=2\\), \\(b=-2(3k-1)\\), and \\(c=(k+1)^2\\). Thus, \\(D=b^2-4ac=4(3k-1)^2-8(k+1)^2=4(7k^2-10k-1)\\)। Setting \\(D=0\\) gives \\(7k^2-10k-1=0\\), so option A is correct. Option B represents only \\( (k-1)^2=0\\) and does not express the discriminant condition. Exam tip: For a quadratic, check \\(D=0\\) for equal roots, \\(D>0\\) for two distinct real roots, and \\(D<0\\) for non-real roots.
द्विघात समीकरण में दो असमान वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=3\), \(b=-2(2k+1)\) और \(c=(k+1)^2\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=4(2k+1)^2-12(k+1)^2=4(k^2-2k-2)\)। अतः \(k^2-2k-2>0\), अर्थात् \((k-1)^2>3\), जिससे \(k<1-\sqrt{3}\) या \(k>1+\sqrt{3}\) प्राप्त होता है। सीमांत मानों पर \(D=0\) होता है और मूल समान हो जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has two distinct real roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=3\), \(b=-2(2k+1)\), and \(c=(k+1)^2\). Thus, \(D=b^2-4ac=4(2k+1)^2-12(k+1)^2=4(k^2-2k-2)\). Therefore, \(k^2-2k-2>0\), or equivalently \((k-1)^2>3\), which gives \(k<1-\sqrt{3}\) or \(k>1+\sqrt{3}\). At the endpoint values, \(D=0\), so the roots are equal. Exam tip: for two distinct real roots, first impose the condition \(D>0\).
यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-2)\) और \(c=m^2-3m+4\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(m-2)^2-4(m^2-3m+4)=-4m\)। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) आवश्यक है, इसलिए \(-4m<0\), अर्थात \(m>0\)। ध्यान रखें कि \(m=0\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने पर हमेशा \(D<0\) लगाएँ। / Here, \(a=1\), \(b=2(m-2)\), and \(c=m^2-3m+4\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(m-2)^2-4(m^2-3m+4)=-4m\). For the equation to have no real roots, \(D<0\), so \(-4m<0\), which gives \(m>0\). Note that when \(m=0\), \(D=0\), giving two equal real roots. Exam tip: For a quadratic equation with no real roots, directly apply the condition \(D<0\).
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-2(k-2)\) और \(c=k^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(k-2)^2-4k^2=16(1-k)\)। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) होना चाहिए, इसलिए \(16(1-k)<0\), अर्थात् \(k>1\)। ध्यान दें कि \(k=1\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) का अर्थ है कि मूल वास्तविक नहीं हैं। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=-2(k-2)\), and \(c=k^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(k-2)^2-4k^2=16(1-k)\). No real roots require \(D<0\), so \(16(1-k)<0\), which gives \(k>1\). At \(k=1\), however, \(D=0\), giving two equal real roots. Exam tip: for a quadratic equation, \(D<0\) indicates that the roots are non-real.
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-(2r+5)\) और \(c=r^2+5r+7\), इसलिए \(D=(2r+5)^2-4(r^2+5r+7)=-3\)। चूँकि \(D<0\) प्रत्येक वास्तविक \(r\) के लिए है, अतः समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। इसलिए विकल्प B और C संभव नहीं हैं, जबकि विकल्प D गलत है क्योंकि यह केवल \(r=0\) तक सीमित करता है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) दिखते ही निष्कर्ष निकालें कि वास्तविक मूल नहीं होंगे। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-(2r+5)\), and \(c=r^2+5r+7\). Thus, \(D=(2r+5)^2-4(r^2+5r+7)=-3\). Since \(D<0\) for every real value of \(r\), the equation has no real roots. Therefore, options B and C are impossible, while option D is incorrect because the result is not restricted to \(r=0\). Exam tip: whenever \(D<0\), conclude immediately that the quadratic has no real roots.
यहाँ \(a=2\), \(b=-4v\) और \(c=2v^2+5\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4v)^2-4(2)(2v^2+5)=16v^2-16v^2-40=-40\) है। चूँकि \(D<0\) प्रत्येक वास्तविक \(v\) के लिए, समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प D गलत है क्योंकि मूलों की प्रकृति \(v\) बदलने पर भी नहीं बदलती। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=2\), \(b=-4v\), and \(c=2v^2+5\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4v)^2-4(2)(2v^2+5)=16v^2-16v^2-40=-40\). Since \(D<0\) for every real value of \(v\), the equation has no real roots. Hence, option A is correct; option D is incorrect because the nature of the roots does not change with \(v\). Exam tip: a quadratic equation has no real roots when its discriminant is negative.
समीकरण में \(a=2\), \(b=-(q+4)\) और \(c=2q\) हैं। समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। अतः \(D=(q+4)^2-16q=q^2-8q+16=(q-4)^2\)। इसलिए \((q-4)^2=0\) से \(q=4\) प्राप्त होता है। विकल्प B के मानों पर विविक्तकर शून्य नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For the equation, \(a=2\), \(b=-(q+4)\), and \(c=2q\). Equal roots require the discriminant \(D=b^2-4ac\) to be zero. Thus, \(D=(q+4)^2-16q=q^2-8q+16=(q-4)^2\). Setting this equal to zero gives \(q=4\). The values in option B do not make the discriminant zero. Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
यहाँ \(a=9\), \(b=-6(k-1)\) और \(c=(k-1)^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=[-6(k-1)]^2-4(9)(k-1)^2=0\) मिलता है। इसलिए प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में समीकरण को \([3x-(k-1)]^2=0\) के रूप में भी लिखा जा सकता है। \(k=1\) होने पर भी यह \(9x^2=0\) रहता है और द्विघात ही है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर मूल वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=9\), \(b=-6(k-1)\), and \(c=(k-1)^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=[-6(k-1)]^2-4(9)(k-1)^2=0\). Hence, for every real value of \(k\), the roots are real and equal. The equation can also be written as \([3x-(k-1)]^2=0\). Even when \(k=1\), it becomes \(9x^2=0\), which is still a quadratic equation. Exam tip: When \(D=0\), the roots are real and equal.
द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac होता है। यहाँ a = 4, b = −4(k + 1) और c = k² + 2k हैं। इसलिए D = 16(k + 1)² − 16(k² + 2k) = 16। चूँकि D = 16 > 0 प्रत्येक वास्तविक k के लिए है, अतः हर वास्तविक k पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरणों में पहले D को सरल करके उसकी k पर निर्भरता जाँचें। / For a quadratic equation, the discriminant is D = b² − 4ac. Here, a = 4, b = −4(k + 1), and c = k² + 2k. Thus, D = 16(k + 1)² − 16(k² + 2k) = 16. Since D = 16 > 0 for every real value of k, the equation has two distinct real roots for every real k. Therefore, option A is correct. Exam tip: In parameter-based quadratic questions, simplify the discriminant completely before deciding the condition on the parameter.
यहाँ \(a=1\), \(b=2(k+1)\) और \(c=k^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\)। दो असमान वास्तविक मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए, इसलिए \(4(2k+1)>0\), अर्थात \(k>-\frac{1}{2}\)। \(k=-\frac{1}{2}\) पर \(D=0\) होता है और दोनों मूल समान होते हैं। परीक्षा में असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=2(k+1)\), and \(c=k^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\). Two distinct real roots require \(D>0\), so \(4(2k+1)>0\), which gives \(k>- rac{1}{2}\). At \(k=-\frac{1}{2}\), \(D=0\), so the roots are equal rather than distinct. Exam tip: use \(D>0\) specifically for two distinct real roots.
द्विघात समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) की जड़ों का गुणनफल \(C/A\) होता है। यहाँ \(A=1\) और \(C=a^2-16\), इसलिए जड़ों का गुणनफल \(a^2-16\) है। इसे शून्य रखने पर \(a^2-16=0\), अर्थात \(a^2=16\), जिससे \(a=4\) या \(a=-4\)। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा में जड़ों के योग और गुणनफल के लिए क्रमशः \(-B/A\) और \(C/A\) अवश्य जाँचें। / For a quadratic equation \(Ax^2+Bx+C=0\), the product of its roots is \(C/A\). Here, \(A=1\) and \(C=a^2-16\), so the product of the roots is \(a^2-16\). Setting it equal to zero gives \(a^2-16=0\), or \(a^2=16\), hence \(a=4\) or \(a=-4\). Therefore, option A is correct. In exams, remember that the sum and product of roots are \(-B/A\) and \(C/A\), respectively.
समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a_q=1\), \(b=-2(a-4)\) और \(c=a^2-20\) हैं। अतः \(4(a-4)^2-4(a^2-20)=0\), जिससे \(144-32a=0\) और \(a=\frac{9}{2}\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: समान जड़ों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ और गुणांक पहचानते समय पैरामीटर \(a\) को समीकरण के गुणांक \(a_q\) से अलग रखें। / For equal roots, the discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a_q=1\), \(b=-2(a-4)\), and \(c=a^2-20\). Therefore, \(4(a-4)^2-4(a^2-20)=0\), which simplifies to \(144-32a=0\), giving \(a=\frac{9}{2}\). Hence, option B is correct. Exam tip: For equal roots, immediately use \(D=0\), and distinguish the parameter \(a\) from the standard quadratic coefficient usually denoted by \(a_q\).
मान लें कि जड़ें \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। वियत के सूत्र के अनुसार \(\alpha\beta=m\)। एक-दूसरे की व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\alpha\beta=1\) होना चाहिए, इसलिए \(m=1\)। वास्तव में, \(m=1\) रखने पर समीकरण \((x-1)^2=0\) बनता है और दोनों जड़ें 1 होती हैं, जो अपने ही व्युत्क्रम के बराबर हैं। \(m=0\) नहीं हो सकता, क्योंकि तब एक जड़ 0 होगी और उसका व्युत्क्रम परिभाषित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: व्युत्क्रम जड़ों के लिए जड़ों का गुणनफल हमेशा 1 रखें। / Let the roots be \(\alpha\) and \(\beta\). By Vieta’s formula, \(\alpha\beta=m\). For two roots to be reciprocals of each other, \(\alpha\beta=1\); hence, \(m=1\). Indeed, when \(m=1\), the equation becomes \((x-1)^2=0\), so both roots are 1, and each is the reciprocal of the other. The value \(m=0\) is invalid because it gives a zero root, whose reciprocal is undefined. Exam tip: For reciprocal roots, set their product equal to 1.
