What condition on k is required for the equation 4x² − 4(k + 1)x + (k² + 2k) = 0 to have real roots?समीकरण 4x² − 4(k + 1)x + (k² + 2k) = 0 के वास्तविक मूल होने के लिए k पर क्या शर्त है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: All real valuesसभी वास्तविक मान
For a quadratic equation, the discriminant is D = b² − 4ac. Here, a = 4, b = −4(k + 1), and c = k² + 2k. Thus, D = 16(k + 1)² − 16(k² + 2k) = 16. Since D = 16 > 0 for every real value of k, the equation has two distinct real roots for every real k. Therefore, option A is correct. Exam tip: In parameter-based quadratic questions, simplify the discriminant completely before deciding the condition on the parameter.द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac होता है। यहाँ a = 4, b = −4(k + 1) और c = k² + 2k हैं। इसलिए D = 16(k + 1)² − 16(k² + 2k) = 16। चूँकि D = 16 > 0 प्रत्येक वास्तविक k के लिए है, अतः हर वास्तविक k पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरणों में पहले D को सरल करके उसकी k पर निर्भरता जाँचें।
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