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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 38

यदि \(v\) कोई वास्तविक संख्या है, तो समीकरण \(2x^2-4vx+2v^2+5=0\) के मूलों की प्रकृति के बारे में सही कथन कौन-सा है?

If \(v\) is any real number, which statement correctly describes the nature of the roots of \(2x^2-4vx+2v^2+5=0\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. कोई वास्तविक मूल नहीं हैंNo real roots

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(a=2\), \(b=-4v\) और \(c=2v^2+5\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4v)^2-4(2)(2v^2+5)=16v^2-16v^2-40=-40\) है। चूँकि \(D<0\) प्रत्येक वास्तविक \(v\) के लिए, समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प D गलत है क्योंकि मूलों की प्रकृति \(v\) बदलने पर भी नहीं बदलती। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=2\), \(b=-4v\), and \(c=2v^2+5\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4v)^2-4(2)(2v^2+5)=16v^2-16v^2-40=-40\). Since \(D<0\) for every real value of \(v\), the equation has no real roots. Hence, option A is correct; option D is incorrect because the nature of the roots does not change with \(v\). Exam tip: a quadratic equation has no real roots when its discriminant is negative.

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यदि \(v\) कोई वास्तविक संख्या है, तो समीकरण \(2x^2-4vx+2v^2+5=0\) के मूलों की प्रकृति के बारे में सही कथन कौन-सा है? / If \(v\) is any real number, which statement correctly describes the nature of the roots of \(2x^2-4vx+2v^2+5=0\)?

Correct Answer: A. कोई वास्तविक मूल नहीं हैं / No real roots. Explanation: यहाँ \(a=2\), \(b=-4v\) और \(c=2v^2+5\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4v)^2-4(2)(2v^2+5)=16v^2-16v^2-40=-40\) है। चूँकि \(D<0\) प्रत्येक वास्तविक \(v\) के लिए, समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प D गलत है क्योंकि मूलों की प्रकृति \(v\) बदलने पर भी नहीं बदलती। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=2\), \(b=-4v\), and \(c=2v^2+5\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4v)^2-4(2)(2v^2+5)=16v^2-16v^2-40=-40\). Since \(D<0\) for every real value of \(v\), the equation has no real roots. Hence, option A is correct; option D is incorrect because the nature of the roots does not change with \(v\). Exam tip: a quadratic equation has no real roots when its discriminant is negative.