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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Medium Level 39

समीकरण \(x^2-2(k-2)x+k^2=0\) में कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(k\) के मानों के बारे में कौन-सी शर्त सही है?

Which condition on \(k\) ensures that the equation \(x^2-2(k-2)x+k^2=0\) has no real roots?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(k>1\)

Explanation

Simple Explanation

दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-2(k-2)\) और \(c=k^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(k-2)^2-4k^2=16(1-k)\)। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) होना चाहिए, इसलिए \(16(1-k)<0\), अर्थात् \(k>1\)। ध्यान दें कि \(k=1\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) का अर्थ है कि मूल वास्तविक नहीं हैं। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=-2(k-2)\), and \(c=k^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(k-2)^2-4k^2=16(1-k)\). No real roots require \(D<0\), so \(16(1-k)<0\), which gives \(k>1\). At \(k=1\), however, \(D=0\), giving two equal real roots. Exam tip: for a quadratic equation, \(D<0\) indicates that the roots are non-real.

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समीकरण \(x^2-2(k-2)x+k^2=0\) में कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(k\) के मानों के बारे में कौन-सी शर्त सही है? / Which condition on \(k\) ensures that the equation \(x^2-2(k-2)x+k^2=0\) has no real roots?

Correct Answer: A. \(k>1\). Explanation: दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-2(k-2)\) और \(c=k^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(k-2)^2-4k^2=16(1-k)\)। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) होना चाहिए, इसलिए \(16(1-k)<0\), अर्थात् \(k>1\)। ध्यान दें कि \(k=1\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) का अर्थ है कि मूल वास्तविक नहीं हैं। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=-2(k-2)\), and \(c=k^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(k-2)^2-4k^2=16(1-k)\). No real roots require \(D<0\), so \(16(1-k)<0\), which gives \(k>1\). At \(k=1\), however, \(D=0\), giving two equal real roots. Exam tip: for a quadratic equation, \(D<0\) indicates that the roots are non-real.