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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 37

जहाँ \(k\) कोई वास्तविक नियतांक है, समीकरण \(9x^2-6(k-1)x+(k-1)^2=0\) के मूलों की प्रकृति क्या होगी?

For any real constant \(k\), what is the nature of the roots of the equation \(9x^2-6(k-1)x+(k-1)^2=0\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. हमेशा वास्तविक और समानAlways real and equal

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(a=9\), \(b=-6(k-1)\) और \(c=(k-1)^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=[-6(k-1)]^2-4(9)(k-1)^2=0\) मिलता है। इसलिए प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में समीकरण को \([3x-(k-1)]^2=0\) के रूप में भी लिखा जा सकता है। \(k=1\) होने पर भी यह \(9x^2=0\) रहता है और द्विघात ही है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर मूल वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=9\), \(b=-6(k-1)\), and \(c=(k-1)^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=[-6(k-1)]^2-4(9)(k-1)^2=0\). Hence, for every real value of \(k\), the roots are real and equal. The equation can also be written as \([3x-(k-1)]^2=0\). Even when \(k=1\), it becomes \(9x^2=0\), which is still a quadratic equation. Exam tip: When \(D=0\), the roots are real and equal.

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Mathematics Answer, Explanation and Revision Hints

जहाँ \(k\) कोई वास्तविक नियतांक है, समीकरण \(9x^2-6(k-1)x+(k-1)^2=0\) के मूलों की प्रकृति क्या होगी? / For any real constant \(k\), what is the nature of the roots of the equation \(9x^2-6(k-1)x+(k-1)^2=0\)?

Correct Answer: A. हमेशा वास्तविक और समान / Always real and equal. Explanation: यहाँ \(a=9\), \(b=-6(k-1)\) और \(c=(k-1)^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=[-6(k-1)]^2-4(9)(k-1)^2=0\) मिलता है। इसलिए प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में समीकरण को \([3x-(k-1)]^2=0\) के रूप में भी लिखा जा सकता है। \(k=1\) होने पर भी यह \(9x^2=0\) रहता है और द्विघात ही है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर मूल वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=9\), \(b=-6(k-1)\), and \(c=(k-1)^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=[-6(k-1)]^2-4(9)(k-1)^2=0\). Hence, for every real value of \(k\), the roots are real and equal. The equation can also be written as \([3x-(k-1)]^2=0\). Even when \(k=1\), it becomes \(9x^2=0\), which is still a quadratic equation. Exam tip: When \(D=0\), the roots are real and equal.