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polynomial-evaluation se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
पहले \(p(1)=2(1)^2+1-6=-3\) और \(p(-2)=2(-2)^2-2-6=0\) ज्ञात करें। अतः \(2p(1)-p(-2)=2(-3)-0=-6\), इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि \(p(-2)\) निकालते समय \(x=-2\) को पूरे पद में रखने पर \(x^2=4\) होता है। / First, \(p(1)=2(1)^2+1-6=-3\) and \(p(-2)=2(-2)^2-2-6=0\). Therefore, \(2p(1)-p(-2)=2(-3)-0=-6\), so option A is correct. Exam tip: when substituting \(x=-2\), use parentheses because \((-2)^2=4\), not \(-4\).
दिए गए बहुपद में \(x=1\) रखने पर \(p(1)=1+a+a=1+2a\) प्राप्त होता है। चूँकि \(p(1)=0\), इसलिए \(1+2a=0\), अर्थात् \(2a=-1\) और \(a=-\frac{1}{2}\)। अतः सही विकल्प A है। विकल्प C में चिह्न की त्रुटि है; धनात्मक \(\frac{1}{2}\) रखने पर \(p(1)=2\) होगा, शून्य नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी मूल या दिए गए मान की शर्त में पहले संबंधित \(x\) का मान बहुपद में सीधे प्रतिस्थापित करें। / Substituting \(x=1\) in the polynomial gives \(p(1)=1+a+a=1+2a\). Since \(p(1)=0\), we get \(1+2a=0\), so \(2a=-1\) and \(a=-\frac{1}{2}\). Therefore, option A is correct. Option C has the wrong sign; if \(a=\frac{1}{2}\), then \(p(1)=2\), not zero. Exam tip: When a polynomial value is specified, substitute the given value of \(x\) directly and simplify the resulting equation.
दिया है कि (p(2)=0)। अतः \(2^3+2m-10=0\), यानी 8+2m-10=0। इससे 2m=2 और (m=1) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा टिप: किसी दिए हुए मान पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए (x) के स्थान पर वह मान सीधे रखें। / Since (p(2)=0), substitute (x=2) into the polynomial: 23+2m-10=0. Thus, 8+2m-10=0, so 2m=2 and (m=1). Therefore, option A is correct. Exam tip: To evaluate a polynomial at a given value, substitute that value directly for (x).
पहले \(p(3)\) ज्ञात करें: \(p(3)=3^2-8(3)+15=9-24+15=0\)। इसलिए \(p(x)-p(3)=p(x)-0=x^2-8x+15\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में \(p(3)=3\) मान लेने की गलती होती है। परीक्षा में किसी बहुपद का मान निकालते समय चर के स्थान पर पूरी संख्या रखकर सभी पदों की गणना करें। / First evaluate \(p(3)\): \(p(3)=3^2-8(3)+15=9-24+15=0\). Therefore, \(p(x)-p(3)=p(x)-0=x^2-8x+15\), so option A is correct. Option B results from the common error of taking \(p(3)=3\) instead of evaluating the polynomial. In an exam, substitute the given value into every occurrence of the variable before simplifying.
\(p(3x)\) ज्ञात करने के लिए बहुपद में प्रत्येक \(x\) के स्थान पर पूरा \(3x\) रखें: \(p(3x)=4(3x)^2-3(3x)+2=36x^2-9x+2\)। विकल्प B में \(4(3x)^2\) को गलत रूप से \(12x^2\) माना गया है, जबकि \((3x)^2=9x^2\)। परीक्षा-युक्ति: प्रतिस्थापन के बाद कोष्ठक वाले पूरे पद का वर्ग अवश्य करें। / To find \(p(3x)\), replace every occurrence of \(x\) in the polynomial with the complete expression \(3x\): \(p(3x)=4(3x)^2-3(3x)+2=36x^2-9x+2\). In option B, \(4(3x)^2\) is incorrectly treated as \(12x^2\), whereas \((3x)^2=9x^2\). Exam tip: when substituting an expression, apply the exponent to the entire parenthesized expression.
\(p(0)=0^5+a\cdot0^3+b=b\)। इसलिए दी गई शर्त \(p(0)=0\) से \(b=0\) निश्चित रूप से प्राप्त होता है। \(a\) का कोई भी मान हो सकता है; उदाहरण के लिए \(a=2\) लेने पर भी शर्त पूरी होती है। इसी प्रकार \(p(1)=1+a\), जो हर \(a\) के लिए शून्य नहीं होता। साथ ही, \(x^5\) का गुणांक 1 है, इसलिए बहुपद की घात 5 है, 3 नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(p(0)\) ज्ञात करने के लिए सीधे \(x=0\) रखें—यह स्थिर पद के बराबर होता है। / Substituting \(x=0\), we get \(p(0)=0^5+a\cdot0^3+b=b\). Hence the condition \(p(0)=0\) necessarily implies \(b=0\). The value of \(a\) is unrestricted; for example, \(a=2\) also satisfies the condition. Also, \(p(1)=1+a\), which is not zero for every possible value of \(a\). Since the coefficient of \(x^5\) is 1, the polynomial has degree 5, not 3. Exam tip: To find \(p(0)\), substitute zero; the result is the constant term.
बहुपद को पहचानने पर \(p(x)=(x-2)^3\) मिलता है, क्योंकि \((x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8\)। इसलिए \(p(5)=(5-2)^3=3^3=27\)। 32 जैसा उत्तर सामान्यतः घन की गणना में गलती से प्राप्त हो सकता है। परीक्षा में पहले ऐसे बहुपदों को पूर्ण घन के रूप में पहचानने का प्रयास करें। / Recognising the identity gives \(p(x)=(x-2)^3\), since \((x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8\). Therefore, \(p(5)=(5-2)^3=3^3=27\). The value 32 can result from an error while evaluating the cube. In an exam, first check whether a cubic polynomial matches a standard identity such as \((x-a)^3\).
\(p(2)=3(2)^3-12(2)=24-24=0\) और \(p(-2)=3(-2)^3-12(-2)=-24+24=0\)। इसलिए \(p(-2)+p(2)=0+0=0\), अतः विकल्प B सही है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक मान का घन ऋणात्मक होता है और \(-12(-2)\) धनात्मक बनता है। परीक्षा में पहले दोनों मान अलग-अलग निकालकर संकेतों की जाँच करें। / \(p(2)=3(2)^3-12(2)=24-24=0\), while \(p(-2)=3(-2)^3-12(-2)=-24+24=0\). Hence \(p(-2)+p(2)=0+0=0\), so option B is correct. Remember that the cube of a negative number is negative, whereas \(-12(-2)\) is positive. In an exam, evaluate both values separately and check the signs carefully.
\(p(a)=0\) के लिए \(a^2-49=0\), इसलिए \(a^2=49\) और \(a=\pm 7\)। दिए गए विकल्पों में \(a=7\) सही है; वास्तव में \(a=-7\) भी दूसरा शून्य है। \(a=0,6,49\) रखने पर बहुपद का मान शून्य नहीं मिलता। परीक्षा-टिप: \(x^2-c^2\) के शून्य हमेशा \(x=\pm c\) होते हैं। / For \(p(a)=0\), we need \(a^2-49=0\), so \(a^2=49\) and \(a=\pm 7\). Among the given options, \(a=7\) is correct; \(a=-7\) is the other zero. Substituting \(0\), \(6\), or \(49\) does not make the polynomial zero. Exam tip: The zeros of \(x^2-c^2\) are \(x=\pm c\).
बहुपद का मान निकालने पर �(p(4)=42-9(4)+20=16-36+20=0)� और �(p(5)=52-9(5)+20=25-45+20=0)� प्राप्त होता है। इसलिए �(p(4)+p(5)=0+0=0)�। ध्यान रखें कि किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है, जिस पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है; यहाँ 4 और 5 दोनों शून्यक हैं। / Substituting the values gives �(p(4)=42-9(4)+20=16-36+20=0)� and �(p(5)=52-9(5)+20=25-45+20=0)�. Hence, �(p(4)+p(5)=0+0=0)�. Exam tip: if a quadratic factors as �(x-4)(x-5)�, its zeros are 4 and 5, so evaluating the polynomial at either value immediately gives zero.
\(p(0)=c\) होता है, इसलिए \(c=-4\)। अब \(p(1)=5(1)^2+b(1)+c=3\) रखने पर \(5+b-4=3\), अर्थात \(b=2\)। विकल्प A में मिलने वाला \(1\), केवल \(5+c\) का मान है, \(b\) का नहीं। परीक्षा में पहले \(x=0\) रखकर अचर पद ज्ञात करें, फिर दूसरे दिए गए मान का उपयोग करें। / Since \(p(0)=c\), we get \(c=-4\). Substituting \(x=1\) and \(p(1)=3\) gives \(5+b-4=3\), so \(b=2\). Option A is the value of \(5+c\), not the value of \(b\). Exam tip: use \(x=0\) first to determine the constant term, then apply the second condition.
\(p(1)\) ज्ञात करने के लिए \(x=1\) रखें: \(p(1)=1^4-1^3+1^2-1+1=1-1+1-1+1=1\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प A में पदों के क्रमिक योग में अंतिम \(+1\) छूट जाता है। परीक्षा-युक्ति: किसी बहुपद का \(p(a)\) निकालने के लिए हर \(x\) के स्थान पर \(a\) रखें। / To find \(p(1)\), substitute \(x=1\): \(p(1)=1^4-1^3+1^2-1+1=1-1+1-1+1=1\). Hence, option B is correct. Option A results from incorrectly omitting the final \(+1\) while adding the alternating terms. Exam tip: To evaluate \(p(a)\), substitute \(a\) for every occurrence of \(x\).
बहुपद को \(p(x)=(x-6)(x+2)\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए \(p(6)=(6-6)(6+2)=0\) और \(p(-2)=(-2-6)(-2+2)=0\)। अतः \(p(6)-p(-2)=0-0=0\)। परीक्षा-युक्ति: पहले दिए गए मानों को बहुपद में अलग-अलग रखें और फिर अंतर निकालें। / The polynomial factors as \(p(x)=(x-6)(x+2)\). Hence, \(p(6)=(6-6)(6+2)=0\) and \(p(-2)=(-2-6)(-2+2)=0\). Therefore, \(p(6)-p(-2)=0-0=0\). Exam tip: evaluate the polynomial at each value separately before finding the difference.
सभी गुणांकों का योग प्राप्त करने के लिए बहुपद में x = 1 रखें। अतः p(1) = 8 − 3 + 0 − 4 + 2 = 3, जहाँ x² का गुणांक 0 माना गया है। इसलिए सही उत्तर 3 है। परीक्षा में याद रखें: किसी बहुपद के सभी गुणांकों का योग p(1) के बराबर होता है। / To find the sum of all coefficients, substitute x = 1 in the polynomial. Thus, p(1) = 8 − 3 + 0 − 4 + 2 = 3, where the coefficient of x² is 0. Therefore, the correct answer is 3. Exam tip: The sum of the coefficients of a polynomial is equal to p(1).
\(x=-3\) रखने पर \(p(-3)=(-3)^4-10(-3)^2+9=81-90+9=0\)। यहाँ सम घातों के कारण \((-3)^4=81\) और \((-3)^2=9\) होते हैं। विकल्प B में मध्य पद \(-10(-3)^2\) को छोड़ देने जैसी त्रुटि हो सकती है। परीक्षा में पहले घातों का मान निकालकर फिर गुणा और जोड़-घटाव करें। / Substituting \(x=-3\), we get \(p(-3)=(-3)^4-10(-3)^2+9=81-90+9=0\). Since the powers are even, \((-3)^4=81\) and \((-3)^2=9\). Option B may result from omitting the middle term \(-10(-3)^2\). In an exam, evaluate the powers first, then perform multiplication and addition or subtraction.
\(p(3)=3^3-2(3)^2-5(3)+6=27-18-15+6=0\)। इसलिए सही उत्तर 0 है। साथ ही, \(p(3)=0\) होने के कारण 3 इस बहुपद का शून्यक भी है। परीक्षा में किसी बहुपद का मान निकालने के लिए दिए गए मान को हर \(x\) के स्थान पर सावधानी से रखें। / Substituting \(x=3\), \(p(3)=3^3-2(3)^2-5(3)+6=27-18-15+6=0\). Hence, the correct answer is 0. Since \(p(3)=0\), 3 is also a zero of the polynomial. Exam tip: substitute the given value for every occurrence of \(x\), including its powers.
शेषफल प्रमेय के अनुसार, p(x) को x-a से भाग देने पर शेषफल p(a) होता है। यहाँ भाजक x-1 है, इसलिए a=1 । अतः p(1)=2(1)3+3(1)2-8(1)+3=2+3-8+3=0 । इसलिए सही उत्तर 0 है। परीक्षा-युक्ति: x-a के लिए सीधे p(a) निकालें; बहुपद का पूरा भाग करने की आवश्यकता नहीं होती। / By the Remainder Theorem, the remainder when p(x) is divided by x-a is p(a) . Here the divisor is x-1 , so a=1 . Therefore, p(1)=2(1)3+3(1)2-8(1)+3=2+3-8+3=0 . Hence, the correct remainder is 0. Exam tip: For a divisor of the form x-a , evaluate p(a) directly instead of carrying out polynomial division.
किसी संख्या \(k\) के लिए यदि \(p(k)=0\), तो \(k\) बहुपद का शून्यक होता है। यहाँ \(p(2)=2^3-4(2)^2+2+6=8-16+2+6=0\), इसलिए 2 शून्यक है। जाँच के लिए अन्य विकल्पों में रखने पर \(p(1)=4\), \(p(4)=18\) और \(p(5)=36\) मिलते हैं, इसलिए वे शून्यक नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: पूर्णांक विकल्पों को सीधे बहुपद में रखकर पहले जाँचें। / A number \(k\) is a zero of a polynomial if \(p(k)=0\). Here, \(p(2)=2^3-4(2)^2+2+6=8-16+2+6=0\), so 2 is a zero. The other options do not work: \(p(1)=4\), \(p(4)=18\), and \(p(5)=36\). Exam tip: For integer options, substitute them directly into the polynomial and check which gives zero.
दिया गया बहुपद \(p(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\) है। इसलिए \(x=1\) रखने पर \(p(1)=(1-1)^3=0\), अतः सही उत्तर A है। सीधे मान रखने पर भी \(1-3+3-1=0\) मिलता है। परीक्षा में \(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\) की पहचान से ऐसे प्रश्न जल्दी हल किए जा सकते हैं। / The polynomial can be recognised as \(p(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\). Therefore, at \(x=1\), \(p(1)=(1-1)^3=0\), so option A is correct. Direct substitution also gives \(1-3+3-1=0\). In an exam, using the identity \(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\) helps solve this type of question quickly.
पहले \(p(1)\) ज्ञात करें: \(p(1)=1^2-6(1)+5=1-6+5=0\)। इसलिए \(p(x)-p(1)=p(x)-0=p(x)=x^2-6x+5\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में स्थिर पद को गलत ढंग से 1 घटाया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी बहुपद के मान वाले प्रश्न में दिए गए मान को मूल बहुपद में सीधे प्रतिस्थापित करें। / First evaluate \(p(1)\): \(p(1)=1^2-6(1)+5=1-6+5=0\). Therefore, \(p(x)-p(1)=p(x)-0=p(x)=x^2-6x+5\), so option A is correct. Option B incorrectly subtracts 1 from the constant term. Exam tip: when evaluating a polynomial, substitute the given value directly into the original polynomial.
\(p(0)=0^4+a\cdot0^2+b=b\) होता है। इसलिए दी गई शर्त \(p(0)=0\) से निश्चित रूप से \(b=0\) प्राप्त होता है। इससे \(a=0\) आवश्यक नहीं है; उदाहरण के लिए \(a=1,b=0\) हो सकता है। इसी प्रकार \(p(1)=1+a\), जो हर स्थिति में शून्य नहीं होता, और बहुपद की घात सामान्यतः 4 रहती है। परीक्षा-युक्ति: किसी बहुपद में \(p(0)\) निकालने पर केवल अचर पद बचता है। / Substituting \(x=0\) gives \(p(0)=0^4+a\cdot0^2+b=b\). Hence the condition \(p(0)=0\) necessarily implies \(b=0\). It does not require \(a=0\); for example, \(a=1,b=0\) is possible. Also, \(p(1)=1+a\) is not always zero, and the polynomial generally has degree 4, not 2. Exam tip: evaluating a polynomial at zero isolates its constant term.
\(f(0)=b\) होने से \(b=-8\)। अब \(f(4)=0\) रखने पर \(16+4a-8=0\), अर्थात् \(4a+8=0\)। इसलिए \(a=-2\)। परीक्षा-युक्ति: पहले \(x=0\) रखकर अचर पद ज्ञात करें, फिर दूसरी शर्त से अज्ञात गुणांक निकालें। / Since \(f(0)=b\), we get \(b=-8\). Substituting \(x=4\) in the second condition gives \(16+4a-8=0\), so \(4a+8=0\) and hence \(a=-2\). Exam tip: use the condition at \(x=0\) first to find the constant term, then use the other condition to determine the unknown coefficient.
\(p(1)=1-2-3+4=0\) और \(p(-1)=(-1)^3-2(-1)^2-3(-1)+4=-1-2+3+4=4\)। अतः \(p(1)\times p(-1)=0\times4=0\), इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प C केवल \(p(-1)\) का मान है, गुणनफल नहीं। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक मान रखने पर हर घात और पद का चिह्न सावधानी से लिखें। / \(p(1)=1-2-3+4=0\) and \(p(-1)=(-1)^3-2(-1)^2-3(-1)+4=-1-2+3+4=4\). Therefore, \(p(1)\times p(-1)=0\times4=0\), so option B is correct. Option C is only the value of \(p(-1)\), not the required product. Exam tip: When substituting a negative number, carefully apply the powers and signs to every term.
दिए गए बहुपद में \(x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3\) की पहचान लागू होती है। इसलिए \(p(-2)=(-2+1)^3=(-1)^3=-1\)। विकल्प 0 तब मिलता यदि \(x=-1\) रखा जाता, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: घन बहुपद में \(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\) की पहचान अवश्य जाँचें। / The polynomial matches the identity \(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\), so \(p(x)=(x+1)^3\). Hence, \(p(-2)=(-2+1)^3=(-1)^3=-1\). The value 0 would result from incorrectly substituting \(x=-1\). Exam tip: look for the perfect-cube identity before expanding or calculating term by term.
p(2)=2(2)³−8(2)=16−16=0 और p(−2)=2(−2)³−8(−2)=−16+16=0। इसलिए p(−2)+p(2)=0+0=0, अतः विकल्प B सही है। विकल्प A या C चुनने पर ऋणात्मक और धनात्मक चिह्नों का सही उपयोग नहीं होगा। परीक्षा में विपरीत इनपुट वाले घन पद और रैखिक पद के चिह्न सावधानी से रखें। / p(2)=2(2)³−8(2)=16−16=0 and p(−2)=2(−2)³−8(−2)=−16+16=0. Therefore, p(−2)+p(2)=0+0=0, so option B is correct. Choices −16 and 16 result from mishandling the signs of the cubic and linear terms. In such questions, substitute negative values with proper brackets.
बहुपद को (p(x)=(x-3)(x-4)) के रूप में लिख सकते हैं। इसलिए (p(3)=(3-3)(3-4)=0) और (p(4)=(4-3)(4-4)=0)। अतः (p(3)+p(4)=0+0=0)। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी बहुपद का गुणनखंड (x-a) हो, तो (p(a)=0) होता है। / The polynomial factors as (p(x)=(x-3)(x-4)). Hence, (p(3)=(3-3)(3-4)=0) and (p(4)=(4-3)(4-4)=0). Therefore, (p(3)+p(4)=0+0=0). Exam tip: If (x-a) is a factor of a polynomial, then (p(a)=0).
\(p(0)=c\), इसलिए \(c=7\)। अब \(p(1)=3+b+c=2\) रखने पर \(3+b+7=2\), अतः \(b=-8\)। विकल्प B \((-7)\) में 3 का योगदान छोड़ दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी बहुपद में \(x=0\) रखने पर केवल अचर पद बचता है। / Since \(p(0)=c\), we get \(c=7\). Substituting \(x=1\) gives \(p(1)=3+b+c=2\), so \(3+b+7=2\) and hence \(b=-8\). Option B, \(-7\), results from omitting the contribution of the term \(3x^2\). Exam tip: substituting \(x=0\) in a polynomial directly gives its constant term.
\(p(1)\) ज्ञात करने के लिए बहुपद में \(x\) के स्थान पर 1 रखें: \(p(1)=1^3-1^2+1-1=1-1+1-1=0\)। इसलिए सही उत्तर 0 है। परीक्षा-युक्ति: किसी बहुपद का \(p(a)\) निकालने के लिए हर \(x\) के स्थान पर समान रूप से \(a\) रखें; घातों को छोड़ें नहीं। / To find \(p(1)\), substitute 1 for every occurrence of \(x\): \(p(1)=1^3-1^2+1-1=1-1+1-1=0\). Therefore, the correct answer is 0. Exam tip: when evaluating \(p(a)\), replace every \(x\) consistently by \(a\), including all powers.
पहले \(p(4)=4^2+3(4)-10=16+12-10=18\) और \(p(-2)=(-2)^2+3(-2)-10=4-6-10=-12\) निकालते हैं। इसलिए \(p(4)-p(-2)=18-(-12)=30\)। ऋणात्मक मान घटाते समय उसके आगे का ऋण चिह्न बदलकर जोड़ना याद रखें। / First, \(p(4)=4^2+3(4)-10=16+12-10=18\) and \(p(-2)=(-2)^2+3(-2)-10=4-6-10=-12\). Therefore, \(p(4)-p(-2)=18-(-12)=30\). In such questions, be careful to substitute the negative value with parentheses and remember that subtracting a negative becomes addition.
\(p(0)=s\), इसलिए \(s=-3\)। अब \(p(1)=2+r+s=4\) में \(s=-3\) रखने पर \(2+r-3=4\), अर्थात् \(r=5\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(x=0\) रखकर अचर पद ज्ञात करें, फिर दूसरे दिए गए मान का उपयोग करें। / Since \(p(0)=s\), we get \(s=-3\). Substituting \(x=1\) and \(s=-3\) gives \(p(1)=2+r-3=4\), so \(r=5\). Hence, option C is correct. Exam tip: use the value at \(x=0\) first to determine the constant term, then apply the second condition.
