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polynomials in one variable MCQ Questions for Class 10
polynomials in one variable se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
दिया गया बहुपद \(p(x)=x^2-8x+16=(x-4)^2\) है। अतः \(p(4+t)=((4+t)-4)^2=t^2\)। विकल्प C केवल रैखिक पद देता है और वर्ग करने की आवश्यकता को अनदेखा करता है। परीक्षा में पहले बहुपद को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखना सबसे तेज़ तरीका है। / The polynomial can be written as \(p(x)=x^2-8x+16=(x-4)^2\). Therefore, \(p(4+t)=((4+t)-4)^2=t^2\). Option C gives only a linear term and misses the squaring step. In an exam, factoring into a perfect square is the quickest method here.
\(f(1)=0\) और \(f(2)=0\) से बहुपद के शून्यक 1 और 2 हैं। अतः शून्यकों के आधार पर \(f(x)=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2\)। इसकी तुलना \(x^2+px+q\) से करने पर \(p=-3\) और \(q=2\) मिलते हैं। इसलिए \(p+q=-3+2=-1\), अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: एक द्विघात बहुपद \(x^2+px+q\) के शून्यकों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) होता है। / Since \(f(1)=0\) and \(f(2)=0\), the zeroes of the polynomial are 1 and 2. Therefore, \(f(x)=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2\). Comparing this with \(x^2+px+q\), we get \(p=-3\) and \(q=2\). Hence, \(p+q=-3+2=-1\), so option A is correct. Exam tip: for a quadratic \(x^2+px+q\), the sum of zeroes is \(-p\) and their product is \(q\).
पहले \(p(x)=x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\), इसलिए इसके शून्यक \(-2\) और \(-3\) हैं। अब \(r(x)=p(-x)=(-x)^2+5(-x)+6=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), अतः \(r(x)\) के शून्यक \(2\) और \(3\) हैं। विकल्प B मूल बहुपद के शून्यक देता है, लेकिन \(x\) को \(-x\) से बदलने पर शून्यकों के चिह्न बदल जाते हैं। परीक्षा-टिप: \(p(-x)\) में प्रत्येक \(x\) के स्थान पर \(-x\) रखें और फिर गुणनखंड करें। / First, \(p(x)=x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\), so its zeroes are \(-2\) and \(-3\). Therefore, \(r(x)=p(-x)=(-x)^2+5(-x)+6=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), giving the zeroes \(2\) and \(3\). Option B lists the zeroes of the original polynomial, but replacing \(x\) by \(-x\) changes the signs of the zeroes. Exam tip: In \(p(-x)\), substitute \(-x\) for every occurrence of \(x\), then factor the resulting polynomial.
बहुपद को गुणनखंडित करने पर \(x^2+2x-24=(x-4)(x+6)\) प्राप्त होता है। इसलिए \(p(x)\) का एक गुणनखंड \(x-4\) है। अन्य विकल्प इस गुणनखंडन में नहीं आते; उदाहरण के लिए \(x+4\), \(p(x)\) को शून्य नहीं बनाता। परीक्षा-युक्ति: किसी रैखिक व्यंजक \(x-a\) के गुणनखंड होने की जाँच के लिए \(p(a)=0\) जाँचें। / Factoring the polynomial gives \(x^2+2x-24=(x-4)(x+6)\). Hence, \(x-4\) is a factor of \(p(x)\). The other options do not appear in this factorisation; for instance, \(p(-4)=16-8-24=-16\neq0\), so \(x+4\) is not a factor. Exam tip: use the factor theorem—\(x-a\) is a factor of \(p(x)\) exactly when \(p(a)=0\).
दिया गया बहुपद \(p(x)=x^2+4x+4=(x+2)^2\) है। इसलिए \(x=-2+h\) रखने पर \(p(-2+h)=((-2+h)+2)^2=h^2\)। विकल्प D में केवल रैखिक पद का भ्रम है; पूर्ण वर्ग के कारण परिणाम \(h^2\) होगा। परीक्षा-युक्ति: पहले बहुपद को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर प्रतिस्थापन सरल हो जाता है। / The polynomial can be written as \(p(x)=x^2+4x+4=(x+2)^2\). Substituting \(x=-2+h\) gives \(p(-2+h)=((-2+h)+2)^2=h^2\). Option D results from confusing a squared expression with a linear term. Exam tip: Factor or rewrite a polynomial as a perfect square before substituting whenever possible.
पहले \(p(x)=(x-4)(x+2)\) लिखें, इसलिए इसके शून्यक \(4\) और \(-2\) हैं। \(p(x+3)=0\) के लिए \(x+3=4\) या \(x+3=-2\) होगा, जिससे \(x=1\) या \(x=-5\) प्राप्त होता है। अतः शून्यकों का युग्म \((-5,1)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(p(x+a)\) के शून्यक, \(p(x)\) के प्रत्येक शून्यक में से \(a\) घटाने पर मिलते हैं। / Factor the polynomial as \(p(x)=(x-4)(x+2)\), so its zeroes are \(4\) and \(-2\). For \(p(x+3)=0\), we must have \(x+3=4\) or \(x+3=-2\), giving \(x=1\) or \(x=-5\). Therefore, the zeroes are \((-5,1)\). Exam tip: the zeroes of \(p(x+a)\) are obtained by subtracting \(a\) from each zero of \(p(x)\).
बहुपद को गुणनखंडित करने पर \(p(x)=(x-7)(x+4)\) मिलता है। अतः इसके शून्यक \(7\) और \(-4\) हैं। इनके बीच की दूरी \(|7-(-4)|=11\) है, इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: दो वास्तविक शून्यकों के बीच दूरी निकालने के लिए उनके अंतर का परिमाण लें। / Factoring the polynomial gives \(p(x)=(x-7)(x+4)\). Therefore, its zeroes are \(7\) and \(-4\). Their distance is \(|7-(-4)|=11\), so option A is correct. Exam tip: For two real zeroes, calculate the absolute value of their difference to obtain the distance.
मान लें शून्यक \(\alpha=2+\sqrt{3}\) और \(\beta=2-\sqrt{3}\) हैं। तब \(\alpha+\beta=4\) तथा \(\alpha\beta=2^2-(\sqrt{3})^2=1\)। शून्यकों \(\alpha,\beta\) वाला मोनिक द्विघात बहुपद \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\) होता है, इसलिए यह \(x^2-4x+1\) है। विकल्प B में योग का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: शून्यकों का योग \(x\) के गुणांक का ऋणात्मक और गुणनफल अचर पद होता है। / Let the zeroes be \(\alpha=2+\sqrt{3}\) and \(\beta=2-\sqrt{3}\). Their sum is \(\alpha+\beta=4\), and their product is \(\alpha\beta=2^2-(\sqrt{3})^2=1\). A monic quadratic with zeroes \(\alpha\) and \(\beta\) is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\), so it is \(x^2-4x+1\). Option B has the wrong sign for the sum. Exam tip: for a monic quadratic, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the zeroes, while the constant term is their product.
\(p(x+3)\) निकालने के लिए दिए गए बहुपद में \(x\) की प्रत्येक जगह पूरे \((x+3)\) को रखें: \(p(x+3)=(x+3)^2-2(x+3)+4=x^2+6x+9-2x-6+4=x^2+4x+7\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में स्थिर पद का सरलीकरण गलत है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिस्थापन करते समय \(x\) के स्थान पर पूरे कोष्ठक \((x+3)\) का प्रयोग करें। / To find \(p(x+3)\), replace every occurrence of \(x\) in the polynomial by the complete expression \((x+3)\): \(p(x+3)=(x+3)^2-2(x+3)+4=x^2+6x+9-2x-6+4=x^2+4x+7\). Hence, option A is correct. Option B results from simplifying the constant terms incorrectly. Exam tip: when substituting an expression for \(x\), place the entire expression in parentheses.
\(p(0)=0^5+a\cdot0^3+b=b\)। इसलिए दी गई शर्त \(p(0)=0\) से \(b=0\) निश्चित रूप से प्राप्त होता है। \(a\) का कोई भी मान हो सकता है; उदाहरण के लिए \(a=2\) लेने पर भी शर्त पूरी होती है। इसी प्रकार \(p(1)=1+a\), जो हर \(a\) के लिए शून्य नहीं होता। साथ ही, \(x^5\) का गुणांक 1 है, इसलिए बहुपद की घात 5 है, 3 नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(p(0)\) ज्ञात करने के लिए सीधे \(x=0\) रखें—यह स्थिर पद के बराबर होता है। / Substituting \(x=0\), we get \(p(0)=0^5+a\cdot0^3+b=b\). Hence the condition \(p(0)=0\) necessarily implies \(b=0\). The value of \(a\) is unrestricted; for example, \(a=2\) also satisfies the condition. Also, \(p(1)=1+a\), which is not zero for every possible value of \(a\). Since the coefficient of \(x^5\) is 1, the polynomial has degree 5, not 3. Exam tip: To find \(p(0)\), substitute zero; the result is the constant term.
बहुपद को पहचानने पर \(p(x)=(x-2)^3\) मिलता है, क्योंकि \((x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8\)। इसलिए \(p(5)=(5-2)^3=3^3=27\)। 32 जैसा उत्तर सामान्यतः घन की गणना में गलती से प्राप्त हो सकता है। परीक्षा में पहले ऐसे बहुपदों को पूर्ण घन के रूप में पहचानने का प्रयास करें। / Recognising the identity gives \(p(x)=(x-2)^3\), since \((x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8\). Therefore, \(p(5)=(5-2)^3=3^3=27\). The value 32 can result from an error while evaluating the cube. In an exam, first check whether a cubic polynomial matches a standard identity such as \((x-a)^3\).
बहुपद में \(x^5\) वाला पद लिखा नहीं है। इसका अर्थ है कि उसका पद \(0x^5\) है, इसलिए \(x^5\) का गुणांक \(0\) होगा। विकल्प B, C और D क्रमशः \(x^2\), \(x^6\) और \(x^4\) के गुणांक हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी घात का पद अनुपस्थित हो तो उसका गुणांक हमेशा 0 माना जाता है। / The polynomial has no term containing \(x^5\), which means its \(x^5\)-term is \(0x^5\). Therefore, the coefficient of \(x^5\) is 0. The other numerical choices are coefficients of \(x^2\), \(x^6\), and \(x^4\), respectively. Exam tip: the coefficient of any missing power in a polynomial is 0.
\(p(1)\) ज्ञात करने के लिए \(x=1\) रखें: \(p(1)=1^4-1^3+1^2-1+1=1-1+1-1+1=1\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प A में पदों के क्रमिक योग में अंतिम \(+1\) छूट जाता है। परीक्षा-युक्ति: किसी बहुपद का \(p(a)\) निकालने के लिए हर \(x\) के स्थान पर \(a\) रखें। / To find \(p(1)\), substitute \(x=1\): \(p(1)=1^4-1^3+1^2-1+1=1-1+1-1+1=1\). Hence, option B is correct. Option A results from incorrectly omitting the final \(+1\) while adding the alternating terms. Exam tip: To evaluate \(p(a)\), substitute \(a\) for every occurrence of \(x\).
अचर पद वह पद होता है जिसमें \(x\) नहीं होता। गुणनफल में ऐसा पद केवल दोनों अचर पदों के गुणन से प्राप्त होगा: \(3\times5=15\)। इसलिए सही उत्तर 15 है। विकल्प 5 केवल दूसरे बहुपद का अचर पद है, पूरे गुणनफल का नहीं। परीक्षा-युक्ति: अचर पद निकालने के लिए प्रत्येक गुणनखंड के अचर पदों का गुणन करें। / The constant term is the term that contains no \(x\). In the product, it is obtained only by multiplying the constant terms: \(3\times5=15\). Therefore, the correct answer is 15. The value 5 is the constant term of only the second factor, not of the complete product. Exam tip: To find the constant term of a product, multiply the constant terms of its factors.
सभी गुणांकों का योग प्राप्त करने के लिए बहुपद में x = 1 रखें। अतः p(1) = 8 − 3 + 0 − 4 + 2 = 3, जहाँ x² का गुणांक 0 माना गया है। इसलिए सही उत्तर 3 है। परीक्षा में याद रखें: किसी बहुपद के सभी गुणांकों का योग p(1) के बराबर होता है। / To find the sum of all coefficients, substitute x = 1 in the polynomial. Thus, p(1) = 8 − 3 + 0 − 4 + 2 = 3, where the coefficient of x² is 0. Therefore, the correct answer is 3. Exam tip: The sum of the coefficients of a polynomial is equal to p(1).
द्विघात बहुपद के दोनों शून्यक समान होने पर उसका विविक्तकर शून्य होता है। इसलिए \(b^2-4ac=0\) रखने पर \(k^2-4\cdot2\cdot8=0\) मिलता है। अतः \(k^2=64\) और सही विकल्प A है। परीक्षा-टिप: समान शून्यकों वाले द्विघात बहुपद में हमेशा विविक्तकर शून्य रखें। / For a quadratic polynomial to have equal zeroes, its discriminant must be zero. Thus, using \(b^2-4ac=0\), we get \(k^2-4\cdot2\cdot8=0\), so \(k^2=64\). Therefore, option A is correct. Exam tip: For equal zeroes of a quadratic, set the discriminant to zero.
A. कोई भी अशून्य वास्तविक संख्या/Any non-zero real number
Explanation
Simple Explanation
द्विघात बहुपद \(x^2+bx+c\) के लिए शून्यकों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) होता है। यहाँ \(b=-a\) तथा \(c=a\), इसलिए शून्यकों का योग \(a\) और गुणनफल भी \(a\) है। अतः यह शर्त प्रत्येक अशून्य वास्तविक \(a\) के लिए स्वतः सत्य है। 1, −1 और 2 केवल कुछ विशेष मान हैं, जबकि सभी अशून्य वास्तविक मान स्वीकार्य हैं। परीक्षा-टिप: ऐसे प्रश्नों में सीधे \(-b\) और \(c\) की तुलना करें। / For a quadratic polynomial \(x^2+bx+c\), the sum of the zeroes is \(-b\) and their product is \(c\). Here, \(b=-a\) and \(c=a\), so both the sum and product are \(a\). Hence the condition is automatically satisfied for every non-zero real value of \(a\). The values 1, −1, and 2 are only particular examples, not the complete answer. Exam tip: compare \(-b\) and \(c\) directly when using the relationships between zeroes and coefficients.
शून्यक के लिए \(x^2+1=0\), अर्थात् \(x^2=-1\) होना चाहिए। किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\geq 0\), इसलिए \(x^2+1\geq 1>0\) और यह कभी शून्य नहीं हो सकता। अतः कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(p(0)=1\), 0 नहीं। परीक्षा में \(x^2+1=0\) मिलने पर तुरंत जाँचें कि इसके हल वास्तविक हैं या केवल समिश्र। / For a zero, \(x^2+1=0\), so \(x^2=-1\) must hold. For every real \(x\), \(x^2\geq 0\), hence \(x^2+1\geq 1>0\), and the expression can never be zero. Therefore, there are no real zeroes. Option C is incorrect because \(p(0)=1\), not 0. As an exam tip, when an equation gives \(x^2=-1\), check the domain: its solutions are complex, not real.
बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसके लिए उसका मान शून्य हो जाता है। इसलिए \(p(x)=0\) रखने पर \(4x-12=0\), अतः \(4x=12\) और \(x=3\)। विकल्प −3 देने पर \(p(-3)=-24\), इसलिए वह शून्यक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: रैखिक बहुपद \(ax+b\) का शून्यक \(-b/a\) होता है। / A zero of a polynomial is the value of the variable for which the polynomial equals zero. Setting \(p(x)=0\) gives \(4x-12=0\), so \(4x=12\) and \(x=3\). For the closest distractor, \(p(-3)=-24\), so −3 is not a zero. Exam tip: the zero of a linear polynomial \(ax+b\) is \(-b/a\).
बहुपद का शून्यक वह मान है जिसके लिए \(p(x)=0\) हो। इसलिए \(ax+b=0\) रखने पर \(ax=-b\), अतः \(x=-\frac{b}{a}\) मिलता है। विकल्प B में ऋण चिह्न छूट गया है, जबकि विकल्प C और D में अंश तथा हर उलट दिए गए हैं। परीक्षा में रेखीय बहुपद \(ax+b\) के शून्यक का सूत्र \(-\frac{b}{a}\) याद रखें। / A zero is the value of \(x\) for which \(p(x)=0\). Setting \(ax+b=0\) gives \(ax=-b\), and hence \(x=-\frac{b}{a}\). Option B misses the negative sign, while options C and D interchange the numerator and denominator. For exams, remember that the zero of \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
\(p(3)=3^3-2(3)^2-5(3)+6=27-18-15+6=0\)। इसलिए सही उत्तर 0 है। साथ ही, \(p(3)=0\) होने के कारण 3 इस बहुपद का शून्यक भी है। परीक्षा में किसी बहुपद का मान निकालने के लिए दिए गए मान को हर \(x\) के स्थान पर सावधानी से रखें। / Substituting \(x=3\), \(p(3)=3^3-2(3)^2-5(3)+6=27-18-15+6=0\). Hence, the correct answer is 0. Since \(p(3)=0\), 3 is also a zero of the polynomial. Exam tip: substitute the given value for every occurrence of \(x\), including its powers.
शेषफल प्रमेय के अनुसार, p(x) को x-a से भाग देने पर शेषफल p(a) होता है। यहाँ भाजक x-1 है, इसलिए a=1 । अतः p(1)=2(1)3+3(1)2-8(1)+3=2+3-8+3=0 । इसलिए सही उत्तर 0 है। परीक्षा-युक्ति: x-a के लिए सीधे p(a) निकालें; बहुपद का पूरा भाग करने की आवश्यकता नहीं होती। / By the Remainder Theorem, the remainder when p(x) is divided by x-a is p(a) . Here the divisor is x-1 , so a=1 . Therefore, p(1)=2(1)3+3(1)2-8(1)+3=2+3-8+3=0 . Hence, the correct remainder is 0. Exam tip: For a divisor of the form x-a , evaluate p(a) directly instead of carrying out polynomial division.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि p(a) = 0 है, तो (x - a) p(x) का गुणनखंड होता है। यहाँ p(-3) = (-3)3 + 3(-3)2 - 4(-3) - 12 = -27 + 27 + 12 - 12 = 0 है। इसलिए (x + 3), p(x) का गुणनखंड है। जाँच के लिए x + 3 के स्थान पर x = -3 रखें; केवल शून्य मान मिलने पर ही यह गुणनखंड होगा। / By the factor theorem, (x - a) is a factor of p(x) if p(a) = 0. Here, p(-3) = (-3)3 + 3(-3)2 - 4(-3) - 12 = -27 + 27 + 12 - 12 = 0. Therefore, (x + 3) is a factor. As an exam tip, for a possible factor x + a, substitute x = -a; the polynomial must evaluate to zero.
किसी संख्या \(k\) के लिए यदि \(p(k)=0\), तो \(k\) बहुपद का शून्यक होता है। यहाँ \(p(2)=2^3-4(2)^2+2+6=8-16+2+6=0\), इसलिए 2 शून्यक है। जाँच के लिए अन्य विकल्पों में रखने पर \(p(1)=4\), \(p(4)=18\) और \(p(5)=36\) मिलते हैं, इसलिए वे शून्यक नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: पूर्णांक विकल्पों को सीधे बहुपद में रखकर पहले जाँचें। / A number \(k\) is a zero of a polynomial if \(p(k)=0\). Here, \(p(2)=2^3-4(2)^2+2+6=8-16+2+6=0\), so 2 is a zero. The other options do not work: \(p(1)=4\), \(p(4)=18\), and \(p(5)=36\). Exam tip: For integer options, substitute them directly into the polynomial and check which gives zero.
द्विघात बहुपद (p(x)=ax-2+bx+c ) के शून्यकों का योग \(-\frac{b}{a} \) होता है। यहाँ शून्यकों का योग (2+(-1)=1 ) है। इसलिए \(-\frac{b}{a}=1 \), अतः \(\frac{b}{a}=-1 \) होगा। विकल्प 1 इसलिए गलत है क्योंकि वह शून्यकों के योग का मान है, \(\frac{b}{a} \) का नहीं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात बहुपद में शून्यकों के योग के साथ \(\frac{b}{a} \) का ऋण चिह्न अवश्य लगाएँ। / For the quadratic polynomial (p(x)=ax-2+bx+c ), the sum of the zeroes is \(-\frac{b}{a} \). Here, the sum of the zeroes is (2+(-1)=1 ). Thus, \(-\frac{b}{a}=1 \), so \(\frac{b}{a}=-1 \). Option 1 is incorrect because it is the sum of the zeroes, not \(\frac{b}{a} \). Exam tip: remember the negative sign in the relation between the sum of zeroes and \(\frac{b}{a} \).
यदि शून्यक \(\alpha\) और \(\beta\) हैं, तो मोनिक द्विघात बहुपद \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=-4\) और \(\alpha\beta=7\), इसलिए बहुपद \(x^2-(-4)x+7=x^2+4x+7\) है। विकल्प B में \(x\) का गुणांक \(-4\) है, जिससे शून्यकों का योग 4 हो जाता है। परीक्षा में याद रखें: बहुपद का सामान्य रूप \(x^2-(\text{शून्यकों का योग})x+(\text{शून्यकों का गुणनफल})\) होता है। / If the zeroes are \(\alpha\) and \(\beta\), a monic quadratic polynomial is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\). Here, \(\alpha+\beta=-4\) and \(\alpha\beta=7\), so the polynomial is \(x^2-(-4)x+7=x^2+4x+7\). Option B has the coefficient of \(x\) as \(-4\), which would make the sum of the zeroes 4. Exam tip: use the form \(x^2-(\text{sum of zeroes})x+(\text{product of zeroes})\).
शून्यक वे मान होते हैं जिनके लिए \(p(x)=0\)। यहाँ \(x^2-9=0\), अर्थात् \((x-3)(x+3)=0\), इसलिए \(x=3\) या \(x=-3\)। अतः सही उत्तर (3, -3) है। विकल्प B में 0 और 9 को शून्यक मानना गलत है; वे बहुपद के स्थिरांक और अन्य पद से जुड़े मान हैं। परीक्षा-युक्ति: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) पहचानकर ऐसे शून्यक तुरंत निकाले जा सकते हैं। / The zeroes are the values of \(x\) for which \(p(x)=0\). Thus, \(x^2-9=0\), or \((x-3)(x+3)=0\), giving \(x=3\) or \(x=-3\). Therefore, (3, -3) is correct. Option B is incorrect because 0 and 9 are not the values that make the polynomial zero. Exam tip: Recognise the difference-of-squares identity \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) to find such zeroes quickly.
दिया गया बहुपद \(p(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\) है। इसलिए \(x=1\) रखने पर \(p(1)=(1-1)^3=0\), अतः सही उत्तर A है। सीधे मान रखने पर भी \(1-3+3-1=0\) मिलता है। परीक्षा में \(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\) की पहचान से ऐसे प्रश्न जल्दी हल किए जा सकते हैं। / The polynomial can be recognised as \(p(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\). Therefore, at \(x=1\), \(p(1)=(1-1)^3=0\), so option A is correct. Direct substitution also gives \(1-3+3-1=0\). In an exam, using the identity \(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\) helps solve this type of question quickly.
\(p(0)=0^4+a\cdot0^2+b=b\) होता है। इसलिए दी गई शर्त \(p(0)=0\) से निश्चित रूप से \(b=0\) प्राप्त होता है। इससे \(a=0\) आवश्यक नहीं है; उदाहरण के लिए \(a=1,b=0\) हो सकता है। इसी प्रकार \(p(1)=1+a\), जो हर स्थिति में शून्य नहीं होता, और बहुपद की घात सामान्यतः 4 रहती है। परीक्षा-युक्ति: किसी बहुपद में \(p(0)\) निकालने पर केवल अचर पद बचता है। / Substituting \(x=0\) gives \(p(0)=0^4+a\cdot0^2+b=b\). Hence the condition \(p(0)=0\) necessarily implies \(b=0\). It does not require \(a=0\); for example, \(a=1,b=0\) is possible. Also, \(p(1)=1+a\) is not always zero, and the polynomial generally has degree 4, not 2. Exam tip: evaluating a polynomial at zero isolates its constant term.
बहुपद में x-3 का पद लिखा हुआ नहीं है। इसे 0x-3 मानने पर x-3 का गुणांक 0 होगा। विकल्प -2, 3 और 7 क्रमशः x-4, x-5 और x के गुणांक हैं। परीक्षा-युक्ति: जिस घात का पद अनुपस्थित हो, उसका गुणांक हमेशा 0 माना जाता है। / The polynomial has no x-3-term, so it can be written as 0x-3. Therefore, the coefficient of x-3 is 0. The values -2, 3, and 7 are the coefficients of x-4, x-5, and x, respectively. Exam tip: the coefficient of a missing power in a polynomial is taken as 0.
