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polynomials in one variable MCQ Questions for Class 10
polynomials in one variable se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
\(p(0)=s\), इसलिए \(s=-3\)। अब \(p(1)=2+r+s=4\) में \(s=-3\) रखने पर \(2+r-3=4\), अर्थात् \(r=5\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(x=0\) रखकर अचर पद ज्ञात करें, फिर दूसरे दिए गए मान का उपयोग करें। / Since \(p(0)=s\), we get \(s=-3\). Substituting \(x=1\) and \(s=-3\) gives \(p(1)=2+r-3=4\), so \(r=5\). Hence, option C is correct. Exam tip: use the value at \(x=0\) first to determine the constant term, then apply the second condition.
अचर पद प्राप्त करने के लिए दोनों गुणनखंडों के अचर पदों का गुणन किया जाता है। यहाँ वे क्रमशः \\-2\ और \\-1\ हैं, इसलिए अचर पद \\((-2)(-1)=2\\) है। \\-3\ चुनने पर चिन्ह की गलती होती है। परीक्षा-युक्ति: गुणनफल का अचर पद निकालने के लिए प्रत्येक गुणनखंड के अचर पदों को सीधे गुणा करें। / To obtain the constant term, multiply the constant terms of the two factors. They are \\-2\ and \\-1\, so the constant term is \\((-2)(-1)=2\\). Choosing \\-3\ results from an incorrect sign calculation. Exam tip: For a product of polynomials, multiply the constant terms of the factors directly.
सभी गुणांकों का योग \(7+(-4)+(-2)+(-1)=0\) है। किसी बहुपद के सभी गुणांकों का योग \(p(1)\) से प्राप्त होता है; यहाँ \(p(1)=7-4-2-1=0\)। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: गुणांकों का योग निकालने के लिए बहुपद में \(x=1\) रखें, जबकि अचर पद के लिए \(x=0\) रखें। / The sum of the coefficients is \(7+(-4)+(-2)+(-1)=0\). For any polynomial, the sum of its coefficients is obtained by calculating \(p(1)\); here, \(p(1)=7-4-2-1=0\). Therefore, option A is correct. Exam tip: substitute \(x=1\) to find the sum of coefficients, whereas \(x=0\) gives the constant term.
\(a=0\) और \(b=0\) होने पर \(ax^4\) तथा \(bx^3\) पद समाप्त हो जाते हैं। क्योंकि \(c\ne 0\), इसलिए \(cx^2\) पद निश्चित रूप से उपस्थित रहता है और \(p(x)=cx^2+d\) बनता है। अतः बहुपद की घात \(2\) है। केवल अचर पद \(d\) की उपस्थिति से घात नहीं बदलती। परीक्षा-युक्ति: बहुपद की घात उसके शून्य से भिन्न गुणांक वाले उच्चतम घातांक वाले पद का घातांक होती है। / Since \(a=0\) and \(b=0\), the terms \(ax^4\) and \(bx^3\) disappear. Because \(c\ne 0\), the term \(cx^2\) definitely remains, giving \(p(x)=cx^2+d\). Therefore, the degree is \(2\). The constant term \(d\) does not change the degree. Exam tip: the degree of a polynomial is the exponent of the highest-power term with a non-zero coefficient.
चूँकि \(-1\) और \(5\), \(p(x)\) के शून्यक हैं, इसलिए \(p(x)=(x+1)(x-5)=x^2-4x-5\)। इसकी तुलना \(x^2+ax+b\) से करने पर स्थिर पद \(b=-5\) मिलता है। अतः सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: एकपदीय द्विघात बहुपद में शून्यकों का गुणनफल स्थिर पद के बराबर होता है। / Since \(-1\) and \(5\) are the zeroes of \(p(x)\), we can write \(p(x)=(x+1)(x-5)=x^2-4x-5\). Comparing this with \(x^2+ax+b\), the constant term is \(b=-5\). Therefore, option A is correct. Exam tip: For a monic quadratic polynomial, the product of its zeroes equals its constant term.
दोनों बहुपदों में \(x\) के गुणांक क्रमशः \(2\) और \(-6\) हैं। अतः योग में \(x\) का गुणांक \(2+(-6)=-4\) होगा। वास्तव में पूरा योग \(3x^3-4x^2-4x+4\) है। परीक्षा-युक्ति: बहुपदों को जोड़ते समय केवल समान घात वाले पदों के गुणांक जोड़ें। / The coefficients of \(x\) in the two polynomials are \(2\) and \(-6\), respectively. Therefore, the coefficient of \(x\) in their sum is \(2+(-6)=-4\). The complete sum is \(3x^3-4x^2-4x+4\). Exam tip: when adding polynomials, combine coefficients only for terms with the same power.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि \(x+2\) बहुपद का गुणनखंड है, तो \(p(-2)=0\) होगा। अतः \((-2)^3+m(-2)^2-4(-2)-4=0\), अर्थात \(-8+4m+8-4=0\)। इससे \(4m-4=0\) और \(m=1\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: \(x-a\) गुणनखंड होने पर \(p(a)=0\) रखें; इसलिए \(x+2=x-(-2)\) के लिए \(x=-2\) रखें। / By the factor theorem, if \(x+2\) is a factor, then \(p(-2)=0\). Therefore, \((-2)^3+m(-2)^2-4(-2)-4=0\), which gives \(-8+4m+8-4=0\). Hence \(4m-4=0\), so \(m=1\). Exam tip: for a factor \(x-a\), substitute \(x=a\); thus, for \(x+2=x-(-2)\), substitute \(x=-2\).
शेषफल प्रमेय के अनुसार, किसी बहुपद \(p(x)\) को \(x-a\) से विभाजित करने पर शेषफल \(p(a)\) होता है। यहाँ \(a=4\) और दिया गया शेषफल \(7\) है, इसलिए \(p(4)=7\)। विकल्प \(0\) तब होता जब \(x-4\), \(p(x)\) का गुणनखंड होता। परीक्षा-युक्ति: \(x-a\) देखकर सीधे \(p(a)\) लिखें। / By the Remainder Theorem, when a polynomial \(p(x)\) is divided by \(x-a\), the remainder is \(p(a)\). Here, \(a=4\) and the given remainder is \(7\), so \(p(4)=7\). The value \(0\) would apply if \(x-4\) were a factor of \(p(x)\). Exam tip: For a divisor of the form \(x-a\), substitute \(x=a\) in the polynomial.
शेषफल प्रमेय के अनुसार, यदि बहुपद \(p(x)\) को \(x-a\) से भाग दिया जाए, तो शेषफल \(p(a)\) होता है। यहाँ \(x+2=x-(-2)\), इसलिए शेषफल \(p(-2)\) होगा। अतः \(p(-2)=3(-2)^3-2(-2)^2+(-2)+7=-24-8-2+7=-27\)। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: भाजक को \(x-a\) के रूप में लिखकर \(a\) का मान सावधानी से निर्धारित करें। / By the Remainder Theorem, the remainder when \(p(x)\) is divided by \(x-a\) is \(p(a)\). Since \(x+2=x-(-2)\), substitute \(x=-2\): \(p(-2)=3(-2)^3-2(-2)^2+(-2)+7=-24-8-2+7=-27\). Therefore, option A is correct. Exam tip: Rewrite the divisor as \(x-a\) before substituting, so the sign of \(a\) is not missed.
शेषफल प्रमेय के अनुसार, यदि बहुपद p(x) को x - a से विभाजित किया जाए, तो शेषफल p(a) होता है। यहाँ a = 1 है, इसलिए p(1) = 13 - 5(1)2 + 8(1) - 4 = 1 - 5 + 8 - 4 = 0। अतः सही उत्तर 0 है। परीक्षा-युक्ति: भाजक x - a के लिए बहुपद में x के स्थान पर a रखें; पूरा भाग देने की आवश्यकता नहीं होती। / By the remainder theorem, the remainder when p(x) is divided by x - a is p(a). Here, a = 1, so p(1) = 13 - 5(1)2 + 8(1) - 4 = 1 - 5 + 8 - 4 = 0. Therefore, the remainder is 0. Exam tip: For a divisor of the form x - a, substitute a directly into the polynomial instead of performing long division.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि (x+1), P(x) का गुणनखंड है, तो P(-1)=0 होगा। अतः P(-1)=2(-1)3+k(-1)2-5(-1)+2=-2+k+5+2=k+5। इसलिए k+5=0 से k=-5 प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: (x-a) गुणनखंड होने पर सीधे P(a)=0 लगाएँ; इसलिए (x+1)=(x-(-1)) के लिए x=-1 रखें। / By the Factor Theorem, if (x+1) is a factor of P(x), then P(-1)=0. Thus, P(-1)=2(-1)3+k(-1)2-5(-1)+2=-2+k+5+2=k+5. Hence, k+5=0, giving k=-5. Exam tip: for a factor of the form (x-a), substitute x=a; therefore, (x+1)=(x-(-1)) requires substituting x=-1.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि \((x+1)\) किसी बहुपद का गुणनखंड है, तो उस बहुपद का मान \(x=-1\) पर शून्य होगा। अतः \(2(-1)^3+k(-1)^2-5(-1)+2=0\), अर्थात \(-2+k+5+2=0\), इसलिए \(k+5=0\) और \(k=-5\)। परीक्षा में \((x-a)\) को देखकर सीधे \(p(a)=0\) लगाने की सावधानी रखें; यहाँ \(x+1=x-(-1)\) है। / By the factor theorem, if \((x+1)\) is a factor, the polynomial must be zero at \(x=-1\). Thus, \(2(-1)^3+k(-1)^2-5(-1)+2=0\), giving \(-2+k+5+2=0\), so \(k+5=0\) and \(k=-5\). The value 5 is a close distractor caused by a sign error; remember that \(x+1=x-(-1)\), so substitute \(-1\), not 1.
बहुपद का गुणनखंडन करने पर \(x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)\) मिलता है। अतः प्रत्येक गुणनखंड को शून्य करने पर \(x=1,2,3\) प्राप्त होते हैं, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में दिए मानों का योग और गुणनफल इस बहुपद के गुणांकों से मेल नहीं खाते। परीक्षा-युक्ति: घन बहुपद के शून्यक जाँचने के लिए संभावित पूर्णांक मानों को सीधे बहुपद में रखकर भी सत्यापित करें। / Factoring the polynomial gives \(x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)\). Setting each factor equal to zero gives \(x=1,2,3\), so option A is correct. The values in option C do not satisfy the required sum and product relationships for this cubic polynomial. Exam tip: For likely integer zeroes, substitute each candidate directly into the polynomial to verify it.
द्विघात बहुपद \(ax^2+bx+c\) के शून्यकों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=2\) और \(b=k\), इसलिए \(-\frac{k}{2}=3\)। अतः \(k=-6\)। परीक्षा-युक्ति: शून्यकों के योग के लिए हमेशा \(-b/a\) का संबंध लगाएँ; इसे गुणनफल \(c/a\) से न मिलाएँ। / For a quadratic polynomial \(ax^2+bx+c\), the sum of its zeroes is \(-\frac{b}{a}\). Here, \(a=2\) and \(b=k\), so \(-\frac{k}{2}=3\), which gives \(k=-6\). Exam tip: use \(-b/a\) for the sum of zeroes; \(c/a\) gives their product, not their sum.
द्विघात बहुपद \(x^2+ax+b\) के लिए शून्यकों का योग \(-a\) और गुणनफल \(b\) होता है। यहाँ \(4+(-7)=-3\), इसलिए \(-a=-3\) से \(a=3\)। साथ ही, \(b=4\times(-7)=-28\)। अतः \(a-b=3-(-28)=31\), इसलिए विकल्प B सही है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q\) में शून्यकों का योग हमेशा \(-p\) और गुणनफल \(q\) होता है। / For a quadratic polynomial \(x^2+ax+b\), the sum of the zeroes is \(-a\) and their product is \(b\). Here, \(4+(-7)=-3\), so \(-a=-3\) and hence \(a=3\). Also, \(b=4\times(-7)=-28\). Therefore, \(a-b=3-(-28)=31\), so option B is correct. Exam tip: In \(x^2+px+q\), the sum of the zeroes is \(-p\), while their product is \(q\).
दिए गए शून्यकों के आधार पर बहुपद को \((x-1)(x-2)(x-3)\) के रूप में लिखा जा सकता है। विस्तार करने पर \(x^3-6x^2+11x-6\) प्राप्त होता है। अतः \(p=-6\) और \(q=11\), इसलिए \(p+q=-6+11=5\)। \(-5\) प्राप्त करने के लिए जोड़ के बजाय घटाव करना एक सामान्य गलती है। परीक्षा में शून्यकों से बने गुणनखंडों का विस्तार करके समान घातों के गुणांकों की तुलना करें। / Using the given zeroes, the polynomial can be written as \((x-1)(x-2)(x-3)\). On expansion, this becomes \(x^3-6x^2+11x-6\). Therefore, \(p=-6\) and \(q=11\), so \(p+q=-6+11=5\). The value \(-5\) results from subtracting instead of adding the coefficients. In an exam, form the factors from the zeroes, expand them, and compare coefficients of like powers.
दिया गया बहुपद \(p(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\) है। इसलिए \(p(2)=(2-1)^3=1\), अतः सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प C में 2 को सीधे उत्तर मान लिया गया है, जबकि 2 केवल \(x\) का मान है। परीक्षा-टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले बीजगणितीय सर्वसमिका \(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\) पहचानें। / The polynomial can be written as \(p(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\). Hence, \(p(2)=(2-1)^3=1\), so option B is correct. Option C incorrectly treats the input value 2 as the value of the polynomial. Exam tip: Look for the identity \(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\) before expanding and calculating term by term.
पूर्ण वर्ग बनाने पर \(p(x)=x^2-6x+10=(x-3)^2+1\) मिलता है। चूँकि \((x-3)^2\geq 0\), इसलिए \(p(x)\geq 1\), और \(x=3\) पर यह न्यूनतम मान 1 प्राप्त करता है। विकल्प 3 शीर्षबिंदु का \(x\)-निर्देशांक है, न्यूनतम मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात को \((x-a)^2+b\) के रूप में लिखें; यदि वर्ग पद का गुणांक धनात्मक हो, तो न्यूनतम मान \(b\) होता है। / Completing the square gives \(p(x)=x^2-6x+10=(x-3)^2+1\). Since \((x-3)^2\geq 0\), we have \(p(x)\geq 1\), and the minimum value 1 occurs at \(x=3\). Option 3 is the \(x\)-coordinate of the vertex, not the minimum value. Exam tip: Rewrite a quadratic as \((x-a)^2+b\); when the square term has a positive coefficient, its minimum value is \(b\).
दिए गए बहुपद में x² वाला पद दिखाई नहीं दे रहा है। इसका अर्थ है कि x² का पद 0x² है, इसलिए उसका गुणांक 0 होगा। −3, x³ का गुणांक और 5, x का गुणांक है। परीक्षा-युक्ति: जिस घात का पद अनुपस्थित हो, उसका गुणांक हमेशा 0 माना जाता है। / The polynomial has no visible x²-term, which means its x²-term is 0x². Therefore, the coefficient of x² is 0. Here, −3 is the coefficient of x³ and 5 is the coefficient of x. Exam tip: The coefficient of a missing term in a polynomial is taken as 0.
बहुपद को \(p(x)=(2x-3)^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए \(p(x)=0\) के लिए \(2x-3=0\), अर्थात् \(x=\frac{3}{2}\)। जाँचने पर \(p\left(\frac{3}{2}\right)=9-18+9=0\), जबकि अन्य विकल्पों पर बहुपद का मान शून्य नहीं आता। परीक्षा-युक्ति: द्विघात बहुपद के शून्यक ज्ञात करने के लिए पहले गुणनखंड बनाने का प्रयास करें। / The polynomial can be factorised as \(p(x)=(2x-3)^2\). Thus, \(p(x)=0\) when \(2x-3=0\), giving \(x=\frac{3}{2}\). Indeed, \(p\left(\frac{3}{2}\right)=9-18+9=0\), whereas the other options do not make the polynomial zero. Exam tip: For a quadratic polynomial, try factorisation before substituting every option.
x के स्थान पर -1 रखने पर p(-1)=(-1)3+(-1)2+(-1)+1=-1+1-1+1=0। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। ऋणात्मक संख्या का घात निकालते समय कोष्ठक अवश्य लगाएँ; इसी चरण में चिन्ह की गलती से -2 जैसा उत्तर मिल सकता है। / Substituting -1 for x gives p(-1)=(-1)3+(-1)2+(-1)+1=-1+1-1+1=0. Therefore, option B is correct. Exam tip: always use parentheses when substituting a negative number, because ignoring them can cause a sign error and lead to an answer such as -2.
\(p(2)\) ज्ञात करने के लिए \(x\) के स्थान पर 2 रखें: \(p(2)=2^3-8=8-8=0\)। इसलिए 2 इस बहुपद का शून्यक है। विकल्प B में \(2^3\) के स्थान पर गलती से \(3^2\) लिया गया है और विकल्प C में घात 3 को घात 2 बना दिया गया है। परीक्षा में किसी संख्या के शून्यक होने की जाँच के लिए उसे बहुपद में रखकर प्राप्त मान 0 होना चाहिए। / To find \(p(2)\), substitute 2 for \(x\): \(p(2)=2^3-8=8-8=0\). Hence, 2 is a zero of the polynomial. Option B incorrectly uses \(3^2\) instead of \(2^3\), while option C changes the exponent from 3 to 2. In an exam, remember that a number is a zero of a polynomial exactly when substitution gives a value of 0.
अचर पद प्राप्त करने के लिए दोनों गुणकों के अचर पदों का गुणन किया जाता है। यहाँ (2x-3) का अचर पद -3 और \(x^2+x+1\) का अचर पद 1 है, इसलिए अचर पद (-3)\cdot1=-3 होगा। विकल्प C में दिया गया 1 केवल दूसरे गुणक के अचर पद को दर्शाता है, पूरे गुणनफल के अचर पद को नहीं। परीक्षा-युक्ति: गुणनफल का अचर पद पाने के लिए प्रत्येक गुणक के अचर पदों को गुणा करें। / To find the constant term, multiply the constant terms of the two factors. The constant terms are -3 in (2x-3) and 1 in \(x^2+x+1\), so the constant term is (-3)·1 = -3. Option C, 1, is only the constant term of the second factor, not of the product. Exam tip: In a product of polynomials, the constant term is obtained by multiplying the constant terms of all factors.
बहुपद में \(3x^4\), \(-5x^2\) और \(-7=-7x^0\) के घात क्रमशः 4, 2 और 0 हैं, जो सभी सम हैं। केवल \(2x=2x^1\) में विषम घात है, इसलिए विषम घात वाले पदों के गुणांकों का योग \(2\) है। ध्यान रखें कि स्थिर पद की घात 0 होती है, जिसे सम माना जाता है। / The powers in \(3x^4\), \(-5x^2\), and \(-7=-7x^0\) are 4, 2, and 0, respectively, and all are even. Only \(2x=2x^1\) has an odd power, so the required sum is 2. Exam tip: the constant term has power 0, which is even, not odd.
किसी बहुपद के सभी गुणांकों का योग प्राप्त करने के लिए \(x=1\) रखने पर मिले मान, अर्थात \(p(1)\), की गणना की जाती है। यहाँ \(p(1)=5(1)^3-2(1)^2+1-4=5-2+1-4=0\)। इसलिए सही उत्तर 0 है। ध्यान रखें: गुणांकों का योग निकालने के लिए \(x=1\), जबकि शून्यांकों का गुणनफल आदि के लिए अलग सूत्र प्रयुक्त होते हैं। / The sum of all coefficients of a polynomial is found by evaluating it at \(x=1\). Here, \(p(1)=5(1)^3-2(1)^2+1-4=5-2+1-4=0\). Therefore, the correct answer is 0. Exam tip: use \(p(1)\) for the sum of coefficients, not \(p(0)\), which gives only the constant term.
\(x=1\) रखने पर \(p(1)=1^3-4(1)^2+m(1)+6=1-4+m+6=m+3\)। शर्त \(p(1)=0\) से \(m+3=0\), अतः \(m=-3\)। उदाहरण के लिए, निकट विकल्प \(-2\) रखने पर \(p(1)=1\), शून्य नहीं मिलता। परीक्षा-युक्ति: किसी दिए गए शून्यक के लिए बहुपद में उसका मान रखकर समीकरण बनाइए। / Substituting \(x=1\) gives \(p(1)=1^3-4(1)^2+m(1)+6=1-4+m+6=m+3\). Since \(p(1)=0\), we require \(m+3=0\), so \(m=-3\). The nearby option \(-2\) would give \(p(1)=1\), not zero. Exam tip: when a value is given as a zero of a polynomial, substitute it and set the resulting expression equal to zero.
योग में समान घात वाले पदों के गुणांकों को जोड़ा जाता है। x² के गुणांक क्रमशः −2 और 7 हैं, इसलिए उनका योग −2 + 7 = 5 होगा। विकल्प C केवल q(x) में x² के गुणांक को दर्शाता है, पूरे योग को नहीं। परीक्षा-टिप: बहुपदों को जोड़ते समय समान घात वाले पदों को एक साथ रखें। / When adding polynomials, coefficients of like powers are added. The coefficients of x² are −2 and 7, so the coefficient in the sum is −2 + 7 = 5. Option C gives only the x² coefficient of q(x), not of the complete sum. Exam tip: group terms having the same power before adding polynomials.
बहुपद में \(x^3\) वाला पद लिखा हुआ नहीं है। इसे \(0x^3\) माना जाता है, इसलिए \(x^3\) का गुणांक 0 है। विकल्प B में दिया गया \(-2\), \(x^2\) का गुणांक है, जबकि 9 अचर पद है। परीक्षा-युक्ति: जिस घात का पद अनुपस्थित हो, उसका गुणांक 0 लिया जाता है। / The polynomial has no term containing \(x^3\), so the missing term is treated as \(0x^3\). Therefore, the coefficient of \(x^3\) is 0. The value -2 is the coefficient of \(x^2\), while 9 is the constant term. Exam tip: The coefficient of an absent power in a polynomial is taken as 0.
\(p(0)=0^2-8(0)+13=13\)। इसलिए सही उत्तर 13 है। किसी बहुपद में \(x=0\) रखने पर सभी चर वाले पद शून्य हो जाते हैं और केवल अचर पद बचता है। परीक्षा-युक्ति: \(p(0)\) सीधे बहुपद के अचर पद के बराबर होता है। / Substituting \(x=0\) gives \(p(0)=0^2-8(0)+13=13\), so the correct answer is 13. When \(x=0\), all terms containing \(x\) become zero, leaving only the constant term. Exam tip: \(p(0)\) is directly equal to the constant term of the polynomial.
वितरण नियम से प्रत्येक पद का दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें: \((3x+2)(x-4)=3x\cdot x+3x\cdot(-4)+2\cdot x+2\cdot(-4)=3x^2-12x+2x-8=3x^2-10x-8\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में स्थिर पद का चिह्न गलत है। परीक्षा में कोष्ठक खोलते समय ऋणात्मक चिह्नों पर विशेष ध्यान दें। / Using the distributive property, multiply every term in the first bracket by every term in the second: \((3x+2)(x-4)=3x\cdot x+3x\cdot(-4)+2\cdot x+2\cdot(-4)=3x^2-12x+2x-8=3x^2-10x-8\). Therefore, option A is correct. In option D, the sign of the constant term is incorrect. In an exam, carefully track the negative signs while expanding brackets.
