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A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल (\(D=49\))/Two real, rational and distinct roots (\(D=49\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3\), \(b=5\) और \(c=-2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=5^2-4(3)(-2)=49\)। चूँकि \(D>0\) और \(49\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। वास्तव में मूल \(\frac{1}{3}\) और \(-2\) हैं। विकल्प B समान मूल के लिए \(D=0\) और विकल्प C वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) तथा पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होते हैं। / Here, \(a=3\), \(b=5\), and \(c=-2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=5^2-4(3)(-2)=49\). Since \(D>0\) and 49 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \(\frac{1}{3}\) and \(-2\). Option B applies when \(D=0\), while option C applies when \(D<0\). Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct.
A. \\(\frac{5}{4}\\) और \\(-2\\)/\\(\frac{5}{4}\\) and \\(-2\\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद का गुणनखंडन करें: \\(4x^2+3x-10=(4x-5)(x+2)\\)। अतः \\((4x-5)(x+2)=0\\) से \\(x=\frac{5}{4}\\) या \\(x=-2\\) प्राप्त होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न उलटे हैं। परीक्षा-युक्ति: गुणनखंड मिलने के बाद प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर मूल निकालें। / Factor the quadratic as \\(4x^2+3x-10=(4x-5)(x+2)\\). Thus, \\((4x-5)(x+2)=0\\) gives \\(x=\frac{5}{4}\\) or \\(x=-2\\). Hence, option A is correct. In option B, the signs of both roots are reversed. Exam tip: after factorisation, set each factor equal to zero to obtain the roots.
दिए हुए द्विघात को गुणनखंडों में बाँटें: \(x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2)\)। इसलिए समीकरण के हल (मूल) \(x=5\) और \(x=-2\) हैं। जाँच के लिए गुणनफल और योग देखें: मूलों का योग \(5+(-2)=3\) और गुणनफल \(5\times(-2)=-10\), जोांक समीकरण के गुणांक से मेल खाते हैं। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प B (2 और -5) का गुणनफल सही है पर उनका योग \(-3\) है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा सुझाव: तेज सत्यापन के लिए फलन को गुणनखंडों में बाँटें या मूलों का योग व गुणनफल (Vieta) से तुरंत जाँच करें। / Factor the quadratic: \(x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2)\). Hence the solutions are \(x=5\) and \(x=-2\). Check via sum and product: sum = \(5+(-2)=3\) and product = \(5\times(-2)=-10\), matching the equation's coefficients. Closest distractor B (2 and -5) gives the correct product but wrong sum (\(-3\)), so it is incorrect. Exam tip: either factor quickly or use sum/product (Vieta) to verify roots under time pressure.
A. \(p\leq -7\) या \(p\geq 7\)/\(p\leq -7\) or \(p\geq 7\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए द्विघात का डिस्क्रिमिनेंट \(D\geq0\) होना आवश्यक है। यहाँ \(D=(2p)^2-4\cdot1\cdot49=4p^2-196=4(p^2-49)\). \(D\geq0\) से \(p^2-49\geq0\) अर्थात् \(p^2\geq49\) जो देता है \(p\leq-7\) या \(p\geq7\)। विकल्प B गलत है क्योंकि उस पर \(p^2<49\) होगा और \(D<0\) होगा; विकल्प C बहुत संकुचित है और विकल्प D भी गलत है क्योंकि \(p\neq7\) में कई मान ऐसे हैं जिनसे \(D<0\)। परीक्षा टिप: किसी भी पैरामीट्रिक द्विघात के लिए सबसे पहले \(D=(b^2-4ac)\) की शर्त \(\ge0\) पर निर्णय लें। / For real roots the discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here \(D=(2p)^2-4\cdot1\cdot49=4p^2-196=4(p^2-49)\). Requiring \(D\ge0\) gives \(p^2-49\ge0\) or \(p^2\ge49\), hence \(p\le-7\) or \(p\ge7\). Option B is incorrect because for \(-7<p<7\) we have \(p^2<49\) so \(D<0\); option C is just a special value and not the general condition; option D is too broad and includes values that do not give real roots. Exam tip: For parameter problems, compute \(D=b^2-4ac\) first and set \(D\ge0\) to find the range of the parameter.
समान मूल होने के लिए द्विघात समीकरण का डिस्क्रिमिनेंट \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1,\ b=-2m,\ c=64\)। अतः \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4\cdot1\cdot64=4m^2-256\)。 \(D=0\) से \(4m^2-256=0\Rightarrow m^2=64\Rightarrow m=\pm8\)। इसलिए सही उत्तर \(m=\pm8\) है। विकल्प \(m=\pm16\) गलत है क्योंकि उस मान पर \(D\neq0\) होगा (जैसे \(m=16\) पर \(D=4\cdot256-256\neq0\))। परीक्षा टिप: समान मूल के लिए सीधे \(D=b^2-4ac=0\) लागू करें और समीकलन को सरल करके हल करें। / For equal roots the discriminant must be zero: \(D=0\). In the given equation \(a=1,\ b=-2m,\ c=64\). So \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4\cdot1\cdot64=4m^2-256\). Setting \(D=0\) gives \(4m^2-256=0\Rightarrow m^2=64\Rightarrow m=\pm8\). Thus \(m=\pm8\) is correct. The option \(m=\pm16\) is incorrect because it yields a nonzero discriminant (roots are not equal). Exam tip: always compute \(b^2-4ac\) first for equal/distinct roots and solve the resulting equation for the parameter.
वियत के सूत्रों से \\(\\alpha+\\beta=10\\) और \\(\\alpha\\beta=21\\)। अतः \\((\\alpha-3)(\\beta-3)=\\alpha\\beta-3(\\alpha+\\beta)+9=21-3(10)+9=0\\)। विकल्प 21 केवल \\(\\alpha\\beta\\) का मान है, पूरी अभिव्यक्ति का नहीं। परीक्षा-युक्ति: ऐसी अभिव्यक्तियों में पहले मूलों का योग और गुणनफल निकालकर विस्तार करें। / By Vieta’s formulas, \\(\\alpha+\\beta=10\\) and \\(\\alpha\\beta=21\\)। Therefore, \\((\\alpha-3)(\\beta-3)=\\alpha\\beta-3(\\alpha+\\beta)+9=21-3(10)+9=0\\)। Option 21 is only the product \\(\\alpha\\beta\\), not the value of the complete expression. Exam tip: For expressions involving the roots, first use the sum and product of roots, then expand systematically.
A. \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\)/\(k\leq -3\) or \(k\geq 3\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2k\) और \(c=9\) हैं, इसलिए \(D=(2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\)। अतः \(4k^2-36\geq 0\), यानी \(k^2\geq 9\), जिससे \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\)। विकल्प B में \(D<0\) होता है, इसलिए मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq 0\) जाँचें। / A quadratic equation has real roots only when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is non-negative. Here, \(a=1\), \(b=2k\), and \(c=9\), so \(D=(2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\). Thus \(4k^2-36\geq 0\), which gives \(k^2\geq 9\), and hence \(k\leq -3\) or \(k\geq 3\). In option B, \(D<0\), so the roots are not real. Exam tip: For real roots, always check the condition \(D\geq 0\).
विवेचक को परिभाषित किया जाता है: \(D=b^2-4ac\). यहाँ \(a=4,\; b=1,\; c=6\)। अतः \(D=1^2-4\cdot4\cdot6=1-96=-95\)। क्योंकि \(D<0\), विवेचक ऋणात्मक है और समीकरण की वास्तविक जड़ें नहीं हैं (जड़ें समिश्र संख्याएँ होंगी)। निकटतम विचलक शून्य (B) इसलिए गलत है क्योंकि शून्य होने के लिए \(b^2=4ac\) होना आवश्यक है, पर यहाँ \(1\neq96\)। परीक्षा टिप: \(4ac\) का गुणन सावधानी से करें और गुणन चिह्न/लक्ष्यांक पर ध्यान रखें। / The discriminant is given by \(D=b^2-4ac\). Here \(a=4,\; b=1,\; c=6\). So \(D=1^2-4\cdot4\cdot6=1-96=-95\). Since \(D<0\), the discriminant is negative; the equation has no real roots (roots are complex). The closest distractor 'zero' is wrong because that would require \(b^2=4ac\), which is not true here. Exam tip: compute \(4ac\) carefully and watch signs to avoid arithmetic errors.
यदि \(x=5\) रखते हैं तो बायाँ पक्ष \(5^2-12\cdot5+35=25-60+35=0\) बनता है, अतः उत्तर \(0\) है और \(x=5\) समीकरण का मूल है। नज़दीकी विकल्प गलत इसलिए हैं क्योंकि वे केवल परिवर्तनात्मक मान (जैसे 5) या गलत जमा/घटाव के परिणाम हैं — substitution करके ही सत्यापित करें। परीक्षा सुझाव: हर बार मूल सत्यापित करने के लिए वैल्यू सब्स्टीट्यूट कर के सरल अंकगणित करें। / Substitute \(x=5\): the left-hand side becomes \(5^2-12\cdot5+35=25-60+35=0\). Thus the value is 0 and \(x=5\) is a root. Closest distractors are incorrect because they are either the substituted value (5) or give nonzero results when substituted; always verify by direct substitution and careful arithmetic. Exam tip: perform the arithmetic step-by-step to avoid sign mistakes.
मोनिक द्विघात का सामान्य रूप \(x^2 - (\text{sum of roots})x + (\text{product of roots}) = 0\) होता है। यहाँ मूल \(-4\) और \(3\) हैं, तो योग \(-4 + 3 = -1\) और गुणनफल \(-4 \times 3 = -12\) होगा। इसलिए समीकरण \(x^2 -(-1)x + (-12) = x^2 + x - 12 = 0\) बनता है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(x^2 - x - 12 = 0\) है — यह केवल मध्य पद का संकेत उल्टा है (योग को गलत मानना), इसलिए गलत है। परीक्षा संकेत: सीधे गुणनखंड \((x - r_1)(x - r_2)\) बनाकर गुणा करें या वीएटा के नियम \(\text{sum} = -\tfrac{b}{a},\ \text{product} = \tfrac{c}{a}\) का उपयोग करें। / For a monic quadratic with roots r1 and r2 the polynomial is \(x^2 - (r1+r2)x + r1r2 = 0\). With roots \(-4\) and \(3\), the sum is \(-1\) and the product is \(-12\). Substituting gives \(x^2 -(-1)x + (-12) = x^2 + x - 12 = 0\), so option A is correct. The closest distractor \(x^2 - x - 12 = 0\) only differs by the sign of the middle term (it assumes sum = 1 instead of -1), hence it is wrong. Exam tip: either form \((x - r_1)(x - r_2)\) and expand, or use Vieta’s relations \(\text{sum} = -b/a\) and \(\text{product} = c/a\) to check coefficients quickly.
मानक मोनिक द्विघात समीकरण में यदि मूलों का योग S और गुणनफल P हो तो समीकरण होता है \(x^2-Sx+P=0\)। यहाँ S=5 और P=6 है, इसलिए समीकरण \(x^2-5x+6=0\) सही है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों की जाँच: विकल्प B में गुणनफल 6 है पर योग \(-5\) है (गलत), विकल्प C और D में गुणनफल 5 है (गलत)। परीक्षा सुझाव: सामान्य नियम याद रखें — यदि समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) हो तो मूलों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) होता है। / For a monic quadratic with root-sum S and product P the equation is \(x^2-Sx+P=0\). With S=5 and P=6 this gives \(x^2-5x+6=0\), so option A is correct. Check distractors: B has product 6 but sum \(-5\), while C and D have product 5, not 6. Exam tip: remember for \(ax^2+bx+c=0\) the sum of roots = \(-b/a)\) and product = \(c/a)\).
मूल दिया होने पर उसे समीकरण में रखें: \((-2)^2 + p(-2) - 6 = 0\) ⇒ \(4 - 2p - 6 = 0\) ⇒ \(-2 - 2p = 0\) ⇒ \(-2p = 2\) ⇒ \(p = -1\). सबसे सामान्य गलती संकेत की दिशा भूलना है — यदि आप \(p\) के साथ साइन गलत लेते हैं तो \(p=1\) जैसी त्रुटि आ सकती है (विकल्प A)। विकल्प C और D दोनों से पता चलता है कि वे संख्याएँ समीकरण को शून्य नहीं बनातीं जब आप सही स्थानापन्न करते हैं। परीक्षण युक्ति: दिया हुआ मूल सीधे समीकरण में स्थानापन्न करें और हर चरण पर साइन की जाँच करें। / Substitute the given root into the equation: \((-2)^2 + p(-2) - 6 = 0\) ⇒ \(4 - 2p - 6 = 0\) ⇒ \(-2 - 2p = 0\) ⇒ \(-2p = 2\) ⇒ \(p = -1\). A common mistake is to drop the negative sign on the \(px\) term, which would incorrectly give \(p=1\) (option A). Options C and D do not satisfy the equation when substituted. Exam tip: always substitute the root and simplify carefully, paying attention to signs.
रैखिक पद वह होता है जिसमें चर "x" का घात 1 होता है। समीकरण के पद हैं: \(2x^2\) (घात 2 — द्विघात), \(0x\) (घात 1 — रैखिक), और \(-7\) (स्थिर पद)। यहाँ रैखिक पद \(0x\) है; इसका गुणांक शून्य है इसलिए यह शून्य पद है और समीकरण में व्यावहारिक रूप से रैखिक भाग नहीं दिखता। निकटतम भ्रामक विकल्प \(2x\) क्यों गलत है: \(2x\) सामान्यतः रैखिक होता पर यह समीकरण में उपस्थित नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी पद का घात देखकर तय करें — रैखिक पद वह है जिसमें \(x^1\) हो, भले ही उसका गुणांक शून्य हो। / A linear term is the term where the variable x has exponent 1. The terms in the equation are \(2x^2\) (degree 2 — quadratic), \(0x\) (degree 1 — linear), and \(-7\) (constant). So the linear term is \(0x\); its coefficient is zero so it contributes nothing numerically, which is why no visible linear part appears. Why the closest distractor is wrong: \(2x\) would be linear, but it is not present in this equation. Exam tip: identify the power of x to find linear terms — look for exponent 1, even if the coefficient is 0.
