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द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की जड़ों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=3\) और \(c=h\), इसलिए दोनों जड़ों का गुणनफल \(\frac{h}{3}\) है। एक जड़ \(\frac{1}{3}\) होने पर दूसरी जड़ \(\frac{h/3}{1/3}=h\) होगी। विकल्प B केवल जड़ों के गुणनफल को दर्शाता है, दूसरी जड़ को नहीं। परीक्षा-युक्ति: दूसरी जड़ निकालने के लिए जड़ों के गुणनफल को दी गई जड़ से भाग दें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=3\) and \(c=h\), so the product of the roots is \(\frac{h}{3}\). Since one root is \(\frac{1}{3}\), the other root is \(\frac{h/3}{1/3}=h\). Option B is the product of the roots, not the second root. Exam tip: To find an unknown root, divide the product of the roots by the known root.
वियत के सूत्रों से \(\alpha+\beta=-6\) और \(\alpha\beta=8\)। अतः \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=36-32=4\)। इसलिए \((\alpha-\beta)^2+2\alpha\beta=4+2(8)=20\), अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में मूलों को अलग-अलग ज्ञात करने के बजाय उनके योग और गुणनफल का सीधे उपयोग करें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=-6\) and \(\alpha\beta=8\). Therefore, \((\alpha-eta)^2=(\alpha+eta)^2-4\alpha\beta=36-32=4\). Hence, \((\alpha-eta)^2+2\alpha\beta=4+2(8)=20\), so option A is correct. Exam tip: In such questions, use the sum and product of the roots directly instead of finding the roots individually.
स्थिर पद को गुणनखंडित करने पर \(a^2+3a+2=(a+1)(a+2)\) मिलता है और गुणांकों का योग \((a+1)+(a+2)=2a+3\) है। अतः समीकरण \([x-(a+1)][x-(a+2)]=0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए जड़ें \(a+1\) और \(a+2\) हैं। लगातार पूर्णांक होने के लिए \(a\) का पूर्णांक होना आवश्यक है। विकल्प B का योग सही है, लेकिन उसका गुणनफल \(a^2+3a\) है, जिसमें \(+2\) नहीं है। परीक्षा टिप: जड़ों से जुड़े प्रश्नों में योग और गुणनफल, दोनों का मिलान करें। / Factoring the constant term gives \(a^2+3a+2=(a+1)(a+2)\), and the sum of these factors is \((a+1)+(a+2)=2a+3\). Thus, the equation can be written as \([x-(a+1)][x-(a+2)]=0\), so its roots are \(a+1\) and \(a+2\). For them to be consecutive integers, \(a\) must be an integer. Option B has the correct sum, but its product is \(a^2+3a\), which lacks the required \(+2\). Exam tip: Always verify both the sum and product of the proposed roots.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=-28\)। अतः \((\alpha+1)(\beta+1)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=-28+3+1=-24\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि विस्तार करते समय अंतिम \(+1\) पद छोड़ने पर \(-28+3=-25\) प्राप्त होगा, जो सही नहीं है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=-28\). Therefore, \((\alpha+1)(\beta+1)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=-28+3+1=-24\). Hence, option A is correct. Remember to include the final \(+1\) term when expanding the product; omitting it leads to an incorrect result.
यदि मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हों, तो विएटा के सूत्र के अनुसार \(\alpha+\beta=2m+3\) और \(\alpha\beta=(m+1)(m+2)\)। विकल्प A के लिए \((m+1)+(m+2)=2m+3\) तथा \((m+1)(m+2)\) प्राप्त होता है। अतः मूल \(m+1\) और \(m+2\) हैं। जाँचने की युक्ति: मूलों के योग और गुणनफल की तुलना सीधे समीकरण के गुणांकों से करें। / If the roots are \(\alpha\) and \(\beta\), Vieta’s formulas give \(\alpha+\beta=2m+3\) and \(\alpha\beta=(m+1)(m+2)\). For option A, \((m+1)+(m+2)=2m+3\), and the product is exactly \((m+1)(m+2)\). Hence the roots are \(m+1\) and \(m+2\). Exam tip: compare the sum and product of the proposed roots with the coefficients of the quadratic.
विएटा के सूत्र के अनुसार, मूलों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) होता है। इसलिए \((-3)+(-4)=-7=-p\), अतः \(p=7\)। साथ ही, \(q=(-3)(-4)=12\)। इसलिए \(p+q=7+12=19\)। विकल्प 12 केवल \(q\) का मान है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q\) में मूलों का योग \(-p\) होता है, जबकि गुणनफल \(q\) होता है। / By Vieta’s formulas, the sum of the roots is \(-p\) and their product is \(q\). Thus, \((-3)+(-4)=-7=-p\), giving \(p=7\). Also, \(q=(-3)(-4)=12\). Therefore, \(p+q=7+12=19\). Option 12 is only the value of \(q\). Exam tip: For \(x^2+px+q\), the sum of roots is \(-p\), while their product is \(q\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=8\), इसलिए \(\alpha\beta=8\)। अतः \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=8^2=64\)। विकल्प B केवल \(\alpha\beta\) का मान है, उसका वर्ग नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग और गुणनफल के लिए विएटा के सूत्र सीधे लागू करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Here, \(a=1\) and \(c=8\), so \(\alpha\beta=8\). Therefore, \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=8^2=64\). Option B is only the value of \(\alpha\beta\), not its square. Exam tip: Apply Vieta’s formula directly for the sum and product of the roots.
वियत के सूत्र के अनुसार, (alpha+beta=8) और (alphabeta=15)। इसलिए ((alpha-1)(beta-1)=alphabeta-(alpha+beta)+1=15-8+1=8)। अतः सही उत्तर 8 है। 15 केवल (alphabeta) का मान है; उसमें दोनों मूलों से 1 घटाने का प्रभाव शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए मूलों के योग और गुणनफल पहचानें, फिर बीजीय प्रसार करें। / By Vieta’s formulas, (alpha+beta=8) and (alphabeta=15). Hence, ((alpha-1)(beta-1)=alphabeta-(alpha+beta)+1=15-8+1=8)। Therefore, the correct answer is 8. The value 15 is only (alphabeta) and does not account for subtracting 1 from both roots. Exam tip: identify the sum and product of the roots first, then expand the required transformed expression.
वियत के सूत्र के अनुसार, मूलों का योग \(-p\) और मूलों का गुणनफल \(q\) होता है। यहाँ मूलों का योग \((-2)+(-5)=-7\), इसलिए \(-p=-7\) से \(p=7\)। उनका गुणनफल \((-2)(-5)=10\), अतः \(q=10\)। इसलिए \(p+q=7+10=17\)। परीक्षा में पहले मूलों के योग और गुणनफल को क्रमशः \(-p\) और \(q\) से मिलाएँ। / By Vieta’s formulas, the sum of the roots is \(-p\) and their product is \(q\). Here, the sum is \((-2)+(-5)=-7\), so \(-p=-7\) gives \(p=7\). Their product is \((-2)(-5)=10\), hence \(q=10\). Therefore, \(p+q=7+10=17\). In exams, match the sum and product of the roots with \(-p\) and \(q\), respectively.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=3\) और \(b=-12\), इसलिए \(\alpha+\beta=-\frac{-12}{3}=4\)। विकल्प B में ऋण चिह्न गलत लगाया गया है, जबकि \(\frac{5}{3}\) और \(-\frac{5}{3}\) मूलों के गुणनफल से संबंधित मान हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग निकालते समय \(b\) के चिह्न को विशेष रूप से जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=3\) and \(b=-12\), so \(\alpha+\beta=-\frac{-12}{3}=4\). Option B has the wrong sign, while \(\frac{5}{3}\) and \(-\frac{5}{3}\) are related to the product of the roots, not their sum. Exam tip: Always check the sign of \(b\) before applying the formula.
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों का योग -b/a होता है। यहाँ a = 1 और b = p हैं। इसलिए मूलों का योग -p होगा। दिए गए मूलों का योग -4 + (-4) = -8 है, अतः -p = -8 से p = 8। जाँच के लिए मूलों का गुणनफल (-4)(-4) = 16 है, जो स्थिर पद से भी मेल खाता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग निकालते समय चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the sum of the roots is -b/a. Here, a = 1 and b = p, so the sum of the roots is -p. The given sum is -4 + (-4) = -8; therefore, -p = -8, giving p = 8. As a check, the product of the roots is (-4)(-4) = 16, which matches the constant term. Exam tip: Be careful with the negative sign in the formula for the sum of roots.
विएटा के सूत्रों से \(\alpha+\beta=14\) और \(\alpha\beta=48\)। अतः \((\alpha-6)(\beta-6)=\alpha\beta-6(\alpha+\beta)+36=48-6(14)+36=0\)। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प C केवल \(\alpha\beta\) का मान है, पूरी अभिव्यक्ति का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में मूलों को अलग-अलग ज्ञात करने के बजाय पहले योग और गुणनफल का उपयोग करें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=14\) and \(\alpha\beta=48\). Therefore, \((\alpha-6)(\beta-6)=\alpha\beta-6(\alpha+\beta)+36=48-6(14)+36=0\). Hence, option A is correct. Option C is only the value of \(\alpha\beta\), not of the complete expression. Exam tip: In such questions, use the sum and product of the roots instead of finding the roots separately.
वियत के सूत्रों के अनुसार, \(\alpha+\beta=12\) और \(\alpha\beta=35\)। अतः \((\alpha-5)(\beta-5)=\alpha\beta-5(\alpha+\beta)+25=35-5(12)+25=0\)। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: मूलों से बने व्यंजक में पहले \(\alpha+\beta\) और \(\alpha\beta\) का उपयोग करें; मूलों को अलग-अलग ज्ञात करना आवश्यक नहीं होता। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=12\) and \(\alpha\beta=35\). Therefore, \((\alpha-5)(\beta-5)=\alpha\beta-5(\alpha+\beta)+25=35-5(12)+25=0\). Hence, option A is correct. Exam tip: For expressions involving the roots, first use the sum and product of roots; finding the roots individually is not necessary.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1,b=-7,c=3\), इसलिए \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=3\)। अतः \(\alpha+\beta+3\alpha\beta=7+3(3)=16\)। विकल्प 7 केवल मूलों का योग और विकल्प 3 केवल उनका गुणनफल दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में मूल ज्ञात करने के बजाय सीधे वियत के सूत्रों का प्रयोग करें। / By Vieta’s formulas, for \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\) and their product is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=1,b=-7,c=3\), so \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=3\). Therefore, \(\alpha+\beta+3\alpha\beta=7+3(3)=16\). Option 7 is only the sum of the roots, while option 3 is only their product. Exam tip: Use Vieta’s formulas directly instead of solving for the roots.
वियत के सूत्रों से \(\alpha+\beta=9\) और \(\alpha\beta=18\)। अतः (\(\alpha-3\)\(\beta-3\)=\alpha\beta-3\(\alpha+\beta\)+9=18-3(9)+9=0)। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि \(\alpha-3\)\(\beta-3\) में दोनों मूलों से 3 घटाने के बाद गुणन करना है; केवल मूलों के गुणनफल को बदलना पर्याप्त नहीं है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=18\). Therefore, (\(\alpha-3\)\(\beta-3\)=\alpha\beta-3\(\alpha+\beta\)+9=18-3(9)+9=0). Hence, option A is correct. Exam tip: expand the product carefully; subtracting 3 from each root introduces the middle term (-3\(\alpha+\beta\)), which is often missed.
वियत के सूत्रों से \alpha+\beta=9 और \alpha\beta=20 । अतः \(\alpha-4\)\(\beta-4\)=\alpha\beta-4\(\alpha+\beta\)+16=20-4(9)+16=0 । इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B या D चुनने पर विस्तार में -4\(\alpha+\beta\) पद की उपेक्षा हो जाती है। परीक्षा-युक्ति: \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग -b/a और गुणनफल c/a याद रखें। / By Vieta’s formulas, \alpha+\beta=9 and \alpha\beta=20 . Therefore, \(\alpha-4\)\(\beta-4\)=\alpha\beta-4\(\alpha+\beta\)+16=20-4(9)+16=0 . Hence, option A is correct. Choosing 4 or -16 usually results from omitting the middle term -4\(\alpha+\beta\) during expansion. Exam tip: for \(ax^2+bx+c=0\) , the sum of roots is -b/a and their product is c/a .
वियत के सूत्रों से \\(\\alpha+\\beta=10\\) और \\(\\alpha\\beta=21\\)। अतः \\((\\alpha-3)(\\beta-3)=\\alpha\\beta-3(\\alpha+\\beta)+9=21-3(10)+9=0\\)। विकल्प 21 केवल \\(\\alpha\\beta\\) का मान है, पूरी अभिव्यक्ति का नहीं। परीक्षा-युक्ति: ऐसी अभिव्यक्तियों में पहले मूलों का योग और गुणनफल निकालकर विस्तार करें। / By Vieta’s formulas, \\(\\alpha+\\beta=10\\) and \\(\\alpha\\beta=21\\)। Therefore, \\((\\alpha-3)(\\beta-3)=\\alpha\\beta-3(\\alpha+\\beta)+9=21-3(10)+9=0\\)। Option 21 is only the product \\(\\alpha\\beta\\), not the value of the complete expression. Exam tip: For expressions involving the roots, first use the sum and product of roots, then expand systematically.
