यदि समीकरण \(x^2-12x+35=0\) के मूल \(\alpha,\beta\) हैं, तो \((\alpha-5)(\beta-5)\) का मान क्या होगा?
If \(\alpha\) and \(\beta\) are the roots of the equation \(x^2-12x+35=0\), what is the value of \((\alpha-5)(\beta-5)\)?
#quadratic-equations
#roots
#vietas-formulas
#algebraic-expressions
#exam-practice
A 0
B 5
C 35
D -25
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Explanation
Simple Explanation
वियत के सूत्रों के अनुसार, \(\alpha+\beta=12\) और \(\alpha\beta=35\)। अतः \((\alpha-5)(\beta-5)=\alpha\beta-5(\alpha+\beta)+25=35-5(12)+25=0\)। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: मूलों से बने व्यंजक में पहले \(\alpha+\beta\) और \(\alpha\beta\) का उपयोग करें; मूलों को अलग-अलग ज्ञात करना आवश्यक नहीं होता। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=12\) and \(\alpha\beta=35\). Therefore, \((\alpha-5)(\beta-5)=\alpha\beta-5(\alpha+\beta)+25=35-5(12)+25=0\). Hence, option A is correct. Exam tip: For expressions involving the roots, first use the sum and product of roots; finding the roots individually is not necessary.
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निम्नलिखित में से किस द्विघात समीकरण का विवेचक �(-23)� है?
Which of the following quadratic equations has discriminant �(-23)�?
#quadratic-equations
#discriminant
#polynomials
#algebra
#exam-practice
A \(x^2+x+6=0\)
B \(x^2+6x+1=0\)
C \(2x^2+x+2=0\)
D \(x^2-5x+11=0\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(x^2+x+6=0\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विवेचक \(\Delta=b^2-4ac\) होता है। विकल्प A में \(a=1, b=1, c=6\), इसलिए \(\Delta=1^2-4(1)(6)=1-24=-23\)। विकल्प B का विवेचक \(32\), विकल्प C का \(-15\) और विकल्प D का \(-19\) है। परीक्षा में पहले \(a,b,c\) पहचानकर \(b^2-4ac\) में पूरे \(4ac\) को घटाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac\). In option A, \(a=1, b=1, c=6\), so \(\Delta=1^2-4(1)(6)=1-24=-23\). The discriminants of options B, C and D are \(32\), \(-15\) and \(-19\), respectively. In an exam, identify \(a,b,c\) first and subtract the complete term \(4ac\) from \(b^2\).
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यदि किसी सरलतम भिन्न का हर (320) है, तो उसका दशमलव प्रसार अधिकतम कितने स्थानों पर समाप्त होगा?
If a fraction in lowest form has denominator (320), after at most how many places will its decimal expansion terminate?
#decimal places
#terminating decimals
#prime factors
#exam practice
A (3) स्थान / (3) places
B (4) स्थान / (4) places
C (5) स्थान / (5) places
D (6) स्थान / (6) places
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. (6) स्थान / (6) places
Step 1
Concept
\(320=2^6\times5\) है। / \(320=2^6\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
बड़ी घात (6) होने से दशमलव अधिकतम (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / The larger exponent is (6), so it terminates within (6) places.
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यदि सरलतम भिन्न का हर \(2^4\times5^6\) है, तो उसका दशमलव प्रसार कितने स्थानों पर समाप्त होगा?
If the denominator of a fraction in lowest form is \(2^4\times5^6\), after how many places will its decimal expansion terminate?
#decimal places
#terminating decimals
#exponents
#exam practice
A (4) स्थान / (4) places
B (5) स्थान / (5) places
C (6) स्थान / (6) places
D (10) स्थान / (10) places
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (6) स्थान / (6) places
Step 1
Concept
समाप्त दशमलव में स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात से तय होती है। / For a terminating decimal, the number of places is decided by the larger exponent of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
यहां (2) की घात (4) और (5) की घात (6) है। / Here the exponent of (2) is (4), and the exponent of (5) is (6).
Step 3
Exam Tip
बड़ी घात (6) है, इसलिए दशमलव (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / The larger exponent is (6), so the decimal terminates after (6) places.
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(126) के अभाज्य गुणनखंडन में कौन-कौन से अभाज्य गुणनखंड आते हैं?
Which prime factors occur in the prime factorisation of (126)?
#real-numbers
#prime-factors
#exam-practice
A (2,3,7)
B (2,5,7)
C (3,5,7)
D (2,3,11)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (2,3,7)
Step 1
Concept
(126) को \(2 \times 63\) लिखें। / Write (126) as \(2 \times 63\).
Step 2
Why this answer is correct
\(63=3^2 \times 7\), इसलिए \(126=2 \times 3^2 \times 7\)। / Since \(63=3^2 \times 7\), \(126=2 \times 3^2 \times 7\).
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को अलग संख्या न मानें। / While counting distinct prime factors, do not count exponents as separate numbers.
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(72) और (90) का लघुत्तम समापवर्त्य क्या है?
What is the LCM of (72) and (90)?
#real-numbers
#lcm
#exam-practice
A (180)
B (240)
C (360)
D (720)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(72=2^3\times3^2\) और \(90=2\times3^2\times5\)। / \(72=2^3\times3^2\) and \(90=2\times3^2\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
बड़ी घातें \(2^3\), \(3^2\) और (5) हैं। / The highest powers are \(2^3\), \(3^2\), and (5).
Step 3
Exam Tip
\(8\times9\times5=360\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (360) है। / \(8\times9\times5=360\), so the LCM is (360).
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(72) और (90) का महत्तम समापवर्तक क्या है?
What is the HCF of (72) and (90)?
#real-numbers
#hcf
#exam-practice
A (6)
B (9)
C (18)
D (36)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(72=2^3\times3^2\) और \(90=2\times3^2\times5\)। / \(72=2^3\times3^2\) and \(90=2\times3^2\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
समान गुणनखंडों की छोटी घातें (2) और \(3^2\) हैं। / The smaller powers of common factors are (2) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
\(2\times9=18\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (18) है। / \(2\times9=18\), so the HCF is (18).
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किस विकल्प में (756) का सही अभाज्य गुणनखंडन दिया गया है?
Which option gives the correct prime factorisation of (756)?
#real numbers
#prime factorisation
#756
#exam practice
A \(2^2\times3^3\times7\)
B \(2^3\times3^2\times7\)
C \(2^2\times3^2\times7^2\)
D \(2\times3^3\times7^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^2\times3^3\times7\)
Step 1
Concept
(756) को पहले \(4\times189\) के रूप में देख सकते हैं। / Write (756) as \(4\times189\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4=2^2\) और \(189=27\times7=3^3\times7\), इसलिए \(756=2^2\times3^3\times7\)। / \(4=2^2\) and \(189=27\times7=3^3\times7\), so \(756=2^2\times3^3\times7\).
Step 3
Exam Tip
बड़ी संख्या को सुविधाजनक गुणनखंडों में तोड़कर आगे अभाज्य बनाएं। / Break a large number into convenient factors first.
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किस संख्या का अभाज्य गुणनखंड रूप \(2^2\times3\times7^2\) है?
Which number has the prime factorisation \(2^2\times3\times7^2\)?
#real numbers
#prime factorisation
#value calculation
#exam practice
A (588)
B (294)
C (1176)
D (441)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
अभाज्य गुणनखंडों को उनकी घात के अनुसार गुणा करें। / Multiply the prime factors according to their powers.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2=4\), \(7^2=49\), इसलिए \(4\times3\times49=588\)। / \(2^2=4\) and \(7^2=49\), so \(4\times3\times49=588\).
Step 3
Exam Tip
पहले घातों का मान निकालें, फिर धीरे-धीरे गुणा करें। / First evaluate powers, then multiply carefully.
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यदि दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 28 और लघुत्तम समापवर्त्य 420 है, तो उनका गुणनफल क्या होगा?
If the HCF of two numbers is 28 and their LCM is 420, what is their product?
#hcf-lcm-relation
#medium
#exam-practice
A 448
B 11760
C 392
D 15
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। / For two numbers, product (=) HCF \(\times\) LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(28\times420=11760\)। / \(28\times420=11760\).
Step 3
Exam Tip
इस संबंध में दोनों मानों को सीधे गुणा करें। / In this relation, multiply the two given values directly.
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किस विकल्प में संख्या 1125 का सही अभाज्य गुणनखंडन है?
Which option gives the correct prime factorisation of 1125?
#prime-factorisation
#exam-practice
#medium
A \(3^2\times5^3\)
B \(3^3\times5^2\)
C \(3\times5^4\)
D \(45\times25\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(3^2\times5^3\)
Step 1
Concept
\(1125=45\times25\) लिखें। / Write \(1125=45\times25\).
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2\times5\) और \(25=5^2\), इसलिए \(1125=3^2\times5^3\)। / \(45=3^2\times5\) and \(25=5^2\), so \(1125=3^2\times5^3\).
Step 3
Exam Tip
45 और 25 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में उनकी घातें लिखें। / 45 and 25 are composite, so write their prime powers in the final form.
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यदि दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 21 और लघुत्तम समापवर्त्य 420 है, तो उनका गुणनफल क्या होगा?
If the HCF of two numbers is 21 and their LCM is 420, what is their product?
#hcf-lcm-relation
#medium
#exam-practice
A 441
B 8820
C 20
D 399
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। / For two numbers, product (=) HCF \(\times\) LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(21\times420=8820\)। / \(21\times420=8820\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के संबंध को सही स्थिति में प्रयोग करें। / Use the HCF-LCM relation in the correct situation.
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किस विकल्प में संख्या 675 का सही अभाज्य गुणनखंडन है?
Which option gives the correct prime factorisation of 675?
#prime-factorisation
#medium
#exam-practice
A \(3^3\times5^2\)
B \(3^2\times5^3\)
C \(3^3\times5\)
D \(27\times25\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(3^3\times5^2\)
Step 1
Concept
\(675=27\times25\) लिखें। / Write \(675=27\times25\).
Step 2
Why this answer is correct
\(27=3^3\) और \(25=5^2\), इसलिए \(675=3^3\times5^2\)। / \(27=3^3\) and \(25=5^2\), so \(675=3^3\times5^2\).
Step 3
Exam Tip
27 और 25 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में उनकी घातें लिखें। / 27 and 25 are composite, so write their prime powers in the final form.
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यदि कोई संख्या 11 से भाग देने पर शेषफल 9 देती है, तो उसके वर्ग को 11 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
If a number leaves remainder 9 when divided by 11, what is the remainder when its square is divided by 11?
#euclids-division-lemma
#square-remainder
#exam-practice
A 4
B 3
C 2
D 1
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
वर्ग का शेषफल \(9^2=81\) को 11 से भाग देकर मिलेगा। / The square remainder comes from dividing \(9^2=81\) by 11.
Step 2
Why this answer is correct
\(81=11\times7+4\), इसलिए शेषफल 4 है। / \(81=11\times7+4\), so the remainder is 4.
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले प्रश्नों में पूरी संख्या के बजाय उसके शेषफल का वर्ग लें। / In square questions, square the remainder instead of the whole number.
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यदि किसी संख्या को 5 से भाग देने पर शेषफल 2 है, तो उस संख्या के घन को 5 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
If a number leaves remainder 2 when divided by 5, what is the remainder when its cube is divided by 5?
#euclids-division-lemma
#cube-remainder
#exam-practice
A 1
B 2
C 3
D 4
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
घन के लिए \(2^3=8\) देखें। / For the cube, consider \(2^3=8\).
Step 2
Why this answer is correct
\(8=5\times1+3\), इसलिए घन का शेषफल 3 है। / \(8=5\times1+3\), so the cube leaves remainder 3.
Step 3
Exam Tip
घातों में पहले छोटे शेषफल की घात निकालें। / In powers, first raise the small remainder to the power.
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यदि किसी संख्या को 12 से भाग देने पर शेषफल 7 है, तो उसी संख्या में 29 जोड़ने पर शेषफल क्या होगा?
If a number leaves remainder 7 when divided by 12, what will be the remainder after adding 29 to the same number?
#euclids-division-lemma
#remainder-addition
#exam-practice
A 0
B 2
C 8
D 10
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
संख्या (12q+7) है। / The number is (12q+7).
Step 2
Why this answer is correct
29 जोड़ने पर कुल शेषफल (7+29=36), और 36, 12 से पूर्णतः विभाजित है। / Adding 29 gives total remainder (7+29=36), and 36 is exactly divisible by 12.
Step 3
Exam Tip
जोड़े गए अंक को सीधे जोड़ सकते हैं, फिर अंतिम शेषफल निकालें। / You may add the given number directly, then find the final remainder.
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यदि (n) को (9) से भाग देने पर शेषफल (4) है, तो (n+3) को (9) से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
If (n) leaves remainder (4) when divided by (9), what will be the remainder when (n+3) is divided by (9)?
#real-numbers
#remainder-pattern
#exam-practice
A (4)
B (6)
C (7)
D (9)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(n=9q+4) मानें। / Let (n=9q+4).
Step 2
Why this answer is correct
(n+3=9q+7), इसलिए (9) से भाग देने पर शेषफल (7) होगा। / (n+3=9q+7), so the remainder on division by (9) is (7).
Step 3
Exam Tip
पुराने शेषफल में जोड़ी गई संख्या जोड़कर जाँच करना तेज तरीका है। / Adding the increase to the old remainder is a quick method.
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(119) को (14) से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
What is the remainder when (119) is divided by (14)?
#real-numbers
#remainder
#exam-practice
A (5)
B (6)
C (7)
D (8)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(14 \times 8=112\) है। / \(14 \times 8=112\).
Step 2
Why this answer is correct
(119-112=7), इसलिए शेषफल (7) है। / (119-112=7), so the remainder is (7).
Step 3
Exam Tip
अंतिम उत्तर को भाजक से छोटा होना जाँचना न भूलें। / Do not forget to check that the final remainder is less than the divisor.
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(126) को (17) से भाग देने पर भागफल क्या होगा?
What will be the quotient when (126) is divided by (17)?
#real-numbers
#quotient-finding
#exam-practice
A (6)
B (7)
C (8)
D (9)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(17) के गुणज देखें। / Check multiples of (17).
Step 2
Why this answer is correct
\(17 \times 7=119\) और \(17 \times 8=136\), जो (126) से बड़ा है। इसलिए भागफल (7) है। / \(17 \times 7=119\) and \(17 \times 8=136\), which is greater than (126). So the quotient is (7).
Step 3
Exam Tip
भागफल सबसे बड़ा ऐसा पूर्णांक होता है जिससे गुणनफल संख्या से अधिक न हो। / The quotient is the greatest integer for which the product does not exceed the number.
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यदि किसी संख्या को (9) से भाग देने पर शेषफल (8) है तो उसमें (1) जोड़ने पर नया शेषफल क्या होगा?
If a number leaves remainder (8) when divided by (9), what will be the new remainder after adding (1)?
#remainder after addition
#division by 9
#exam practice
A (0)
B (1)
C (8)
D (9)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
संख्या (9q+8) के रूप में होगी। / The number is of the form (9q+8).
Step 2
Why this answer is correct
(1) जोड़ने पर (9q+9=9(q+1)) बनेगा। / Adding (1) gives (9q+9=9(q+1)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए नया शेषफल (0) होगा। / Therefore, the new remainder is (0).
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किस विकल्प में (a=37) और (b=6) के लिए सही रूप है?
Which option shows the correct form for (a=37) and (b=6)?
#real-numbers
#euclidean-division
#exam-practice
A \(37=6\times6+1\)
B \(37=6\times5+7\)
C \(37=6\times7-5\)
D \(37=6\times6+6\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(37=6\times6+1\)
Step 1
Concept
\(6\times6=36\) है। / \(6\times6=36\).
Step 2
Why this answer is correct
(37-36=1), और (1<6), इसलिए रूप सही है। / (37-36=1), and (1<6), so the form is correct.
Step 3
Exam Tip
शेषफल की सीमा से गलत विकल्प तुरंत हटाए जा सकते हैं। / Wrong options can be removed quickly by checking the remainder range.
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यदि (100) को (9) से भाग दिया जाए तो शेषफल क्या होगा?
What is the remainder when (100) is divided by (9)?
#remainder calculation
#division by 9
#exam practice
A (1)
B (9)
C (10)
D (0)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(9 \times 11=99\) है। / \(9 \times 11=99\).
Step 2
Why this answer is correct
(100-99=1), इसलिए शेषफल (1) होगा। / (100-99=1), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
निकटतम छोटे गुणज का उपयोग तेज गणना में मदद करता है। / Using the nearest smaller multiple helps in quick calculation.
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कौन सा युग्म सामूहिक अपनत्व की भावना बनाने में प्रतीक और संदेश का सही संबंध दिखाता है?
Which pair correctly shows the link between a symbol and its message in creating collective belonging?
#symbols
#bharat-mata
#exam-practice
A चरखा और विदेशी निर्भरता / Charkha and foreign dependence
B भारत माता और मातृभूमि के प्रति श्रद्धा / Bharat Mata and reverence for the motherland
C लोककथा और औपनिवेशिक श्रेष्ठता / Folk tale and colonial superiority
D झंडा और प्रांतीय अलगाव / Flag and provincial separation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. भारत माता और मातृभूमि के प्रति श्रद्धा / Bharat Mata and reverence for the motherland
Step 1
Concept
प्रतीक का अर्थ उसके सामाजिक संदेश से समझा जाता है। / A symbol is understood through its social message.
Step 2
Why this answer is correct
भारत माता ने देश को पूज्य मातृभूमि के रूप में दिखाया। / Bharat Mata presented the country as a revered motherland.
Step 3
Exam Tip
युग्म वाले प्रश्न में प्रतीक और उसके संदेश को साथ मिलाकर पहचानें। / In pair-based questions, match the symbol with its message carefully.
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