euclids-division-lemma se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
Therefore, the final remainder is 0; adding only the remainders is a quick method for multi-term expressions. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (42+45+7=94)। चरण 2: 94, 47 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: इसलिए अंतिम शेषफल 0 है; कई पदों में केवल शेषफलों को जोड़ना तेज तरीका है।
Since the remainder of (n) is 25, the remainder of (n+1) is 0.
Step 3
Exam Tip
When (n+1) is divisible by 26, its square is also divisible by 26. चरण 1: (n-2+2n+1=(n+1)2) है। चरण 2: (n) का शेषफल 25 है, इसलिए (n+1) का शेषफल 0 होगा। चरण 3: जब (n+1) 26 से विभाज्य है, तो उसका वर्ग भी 26 से विभाज्य होगा।
121 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, check the remainder range first. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<121\) है। चरण 2: 121 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले शेषफल की सीमा जांचें।
\(492=54\times9+6\), so the remainder is 6. चरण 1: (a) का शेषफल 41 है। चरण 2: (12a) के लिए \(12\times41=492\) देखें। चरण 3: \(492=54\times9+6\), इसलिए शेषफल 6 है।
The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(6^2+6+1=43\).
Step 3
Exam Tip
Dividing 43 by 7 gives remainder 1. चरण 1: (n) की जगह शेषफल 6 रखें। चरण 2: \(n^2+n+1\) का शेषफल \(6^2+6+1=43\) से मिलेगा। चरण 3: 43 को 7 से भाग देने पर शेषफल 1 है।
(93+1=94), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 93 है। चरण 2: 283 को 94 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: (93+1=94), इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
In (6a+5b), the remainder part is \(6\times14+5\times19=179\).
Step 2
Why this answer is correct
\(179=23\times7+18\), so the remainder is 18.
Step 3
Exam Tip
In multi-term expressions, handle each term’s remainder separately. चरण 1: (6a+5b) में शेषफल \(6\times14+5\times19=179\) होगा। चरण 2: \(179=23\times7+18\), इसलिए शेषफल 18 है। चरण 3: कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें।
The remainder of \(a^2+9\) comes from \(11^2+9=130\).
Step 3
Exam Tip
\(130=18\times7+4\), so the final remainder is 4. चरण 1: (a) का शेषफल 11 है। चरण 2: \(a^2+9\) का शेषफल \(11^2+9=130\) से मिलेगा। चरण 3: \(130=18\times7+4\), इसलिए अंतिम शेषफल 4 है।
For fifteen times the number, the remainder part is \(15\times14=210\).
Step 2
Why this answer is correct
\(210=57\times3+39\), so the final remainder is 39.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, divide the result again by the divisor. चरण 1: पंद्रह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(15\times14=210\) होगा। चरण 2: \(210=57\times3+39\), इसलिए अंतिम शेषफल 39 है। चरण 3: गुणन के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से भाग दें।
\(1^2\) and \(13^2\) give 1, \(3^2\) and \(11^2\) give 9, and \(5^2\) and \(9^2\) give 11 as remainders.
Step 3
Exam Tip
Write possible remainders without repeating them. चरण 1: दिए गए शेषफलों के वर्ग देखें। चरण 2: \(1^2\) और \(13^2\) से 1, \(3^2\) और \(11^2\) से 9, तथा \(5^2\) और \(9^2\) से 11 शेषफल मिलता है। चरण 3: संभावित शेषफलों को दोहराए बिना लिखें।
In standard form, the remainder must be from 0 to 899.
Step 2
Why this answer is correct
\(900\times10=9000\), so (9001=9000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 900 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 899 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(900\times10=9000\), इसलिए (9001=9000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 900 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
The remainder of (ab+a) comes from \(17\times22+17=391\).
Step 3
Exam Tip
\(391=24\times16+7\), so the final remainder is 7. चरण 1: (a) और (b) के शेषफल 17 और 22 हैं। चरण 2: (ab+a) का शेषफल \(17\times22+17=391\) से मिलेगा। चरण 3: \(391=24\times16+7\), इसलिए अंतिम शेषफल 7 है।
\(12^2=144\), and 144 leaves remainder 11 when divided by 19.
Step 2
Why this answer is correct
For \(12^4\), check \(11^2=121\).
Step 3
Exam Tip
\(121=19\times6+7\), so the remainder is 7. चरण 1: \(12^2=144\), और 144 को 19 से भाग देने पर शेषफल 11 है। चरण 2: \(12^4\) के लिए \(11^2=121\) देखें। चरण 3: \(121=19\times6+7\), इसलिए शेषफल 7 है।
The remainder of \(u^2-u\) comes from \(13^2-13=156\).
Step 3
Exam Tip
\(156=20\times7+16\), so the remainder is 16. चरण 1: (u) का शेषफल 13 है। चरण 2: \(u^2-u\) का शेषफल \(13^2-13=156\) से मिलेगा। चरण 3: \(156=20\times7+16\), इसलिए शेषफल 16 है।
The total remainder is (85+1=86), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 85 है। चरण 2: 259 को 86 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: कुल शेषफल (85+1=86) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
A. क्योंकि 12 से भाग देने पर शेषफल 0 से 11 तक चक्र में आते हैं/Because division by 12 gives remainders from 0 to 11 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 12, possible remainders are from 0 to 11.
Step 2
Why this answer is correct
Twelve consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 12. चरण 1: 12 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 11 तक हैं। चरण 2: बारह लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 12 से विभाज्य होगी।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (10-23=-13) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 41 जोड़ें, जिससे 28 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक जोड़ना चाहिए।
Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.
Step 2
Why this answer is correct
\(112\times27+111=3024+111=3135\).
Step 3
Exam Tip
The remainder 111 is less than divisor 112, so the form is valid. चरण 1: संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। चरण 2: \(112\times27+111=3024+111=3135\)। चरण 3: शेषफल 111, भाजक 112 से छोटा है, इसलिए रूप वैध है।
The nearest lower multiple below 6789 is 6751, so the remainder is (6789-6751=38).
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than 157. चरण 1: \(157\times43=6751\) और \(157\times44=6908\) है। चरण 2: 6789 से छोटा निकट गुणज 6751 है, इसलिए शेषफल (6789-6751=38) है। चरण 3: ऋणात्मक या 157 से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(13^2+13=182\).
Step 3
Exam Tip
Since 182 is exactly divisible by 14, the remainder is 0. चरण 1: (x) का शेषफल 13 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(13^2+13=182\) से मिलेगा। चरण 3: 182, 14 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
The final answer must always be less than 34. चरण 1: वर्ग के लिए \(27^2=729\) लें। चरण 2: \(729=34\times21+15\), इसलिए शेषफल 15 है। चरण 3: अंतिम उत्तर हमेशा 34 से छोटा होना चाहिए।
The number is exactly divisible by 79, so the remainder is 0. चरण 1: (a-140=79q+61-140=79q-79)। चरण 2: इसे (79(q-1)+0) लिखा जा सकता है। चरण 3: संख्या 79 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
\(5^2=25\) and \(7^2=49\), and both leave remainder 1 when divided by 12.
Step 3
Exam Tip
In form-based questions, work only with the remainder. चरण 1: दोनों रूपों में शेषफल 5 या 7 है। चरण 2: \(5^2=25\) और \(7^2=49\), दोनों को 12 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: रूप आधारित प्रश्नों में केवल शेषफल पर काम करें।
A. क्योंकि 11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक चक्र में आते हैं/Because division by 11 gives remainders from 0 to 10 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 11, possible remainders are from 0 to 10.
Step 2
Why this answer is correct
Eleven consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 11. चरण 1: 11 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 10 तक होते हैं। चरण 2: ग्यारह लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 11 से विभाज्य होगी।
For thirteen times the number, the remainder part is \(13\times15=195\).
Step 2
Why this answer is correct
\(195=73\times2+49\), so the final remainder is 49.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result by the divisor to make a valid remainder. चरण 1: तेरह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(13\times15=195\) होगा। चरण 2: \(195=73\times2+49\), इसलिए अंतिम शेषफल 49 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को फिर भाजक से घटाकर वैध शेषफल बनाएं।
The remainder part of (6t+17) is \(6\times37+17=239\).
Step 3
Exam Tip
\(239=46\times5+9\), so the final remainder is 9. चरण 1: (t) का शेषफल 37 है। चरण 2: (6t+17) का शेषफल \(6\times37+17=239\) से मिलेगा। चरण 3: \(239=46\times5+9\), इसलिए अंतिम शेषफल 9 है।
The nearest lower multiple below 9876 is 9476, so the remainder is (400).
Step 3
Exam Tip
Since the remainder is less than 412, it is valid. चरण 1: \(412\times23=9476\) और \(412\times24=9888\) है। चरण 2: 9876 से छोटा निकट गुणज 9476 है, इसलिए शेषफल (400) होना चाहिए। चरण 3: शेषफल 412 से छोटा है, इसलिए वैध है।
When the divisor is 69, the remainder can be from 0 to 68.
Step 2
Why this answer is correct
69 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 69 होने पर शेषफल 0 से 68 तक हो सकता है। चरण 2: 69 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
The total remainder is (39+8=47), so the final remainder is 0. चरण 1: (N) का शेषफल 39 है। चरण 2: 102 को 47 से भाग देने पर शेषफल 8 है। चरण 3: कुल शेषफल (39+8=47) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 है।
