Let \(d=2^a\times3^b\times5^c\), so \(d^3=2^{3a}\times3^{3b}\times5^{3c}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3a\le5\), \(3b\le4\), and \(3c\le3\), giving (2) choices each. Total (=8).
Step 3
Exam Tip
For cube divisibility, triple the exponents and compare. चरण 1: मान लें \(d=2^a\times3^b\times5^c\), तो \(d^3=2^{3a}\times3^{3b}\times5^{3c}\)। चरण 2: \(3a\le5\) से (a=0,1), \(3b\le4\) से (b=0,1), \(3c\le3\) से (c=0,1)। कुल \(2\times2\times2=8\)। चरण 3: घन वाले प्रश्न में घातों को (3) गुना करके सीमा जांचें।
The same rule works even when many prime factors are present. चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए हर घात में (1) जोड़ते हैं। चरण 2: ((2+1)(3+1)(1+1)(2+1)=3\times4\times2\times3=72)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड अधिक हों तो भी नियम वही रहता है।
Therefore, the final remainder is 0; adding only the remainders is a quick method for multi-term expressions. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (42+45+7=94)। चरण 2: 94, 47 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: इसलिए अंतिम शेषफल 0 है; कई पदों में केवल शेषफलों को जोड़ना तेज तरीका है।
\(12^2=144\), and 144 leaves remainder 11 when divided by 19.
Step 2
Why this answer is correct
For \(12^4\), check \(11^2=121\).
Step 3
Exam Tip
\(121=19\times6+7\), so the remainder is 7. चरण 1: \(12^2=144\), और 144 को 19 से भाग देने पर शेषफल 11 है। चरण 2: \(12^4\) के लिए \(11^2=121\) देखें। चरण 3: \(121=19\times6+7\), इसलिए शेषफल 7 है।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(13^2+13=182\).
Step 3
Exam Tip
Since 182 is exactly divisible by 14, the remainder is 0. चरण 1: (x) का शेषफल 13 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(13^2+13=182\) से मिलेगा। चरण 3: 182, 14 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
For multiplication, multiply the remainders 32 and 35.
Step 2
Why this answer is correct
\(32\times35=1120\), and \(1120=37\times30+10\).
Step 3
Exam Tip
In product questions, the answer is the final remainder, not the full product. चरण 1: गुणन के लिए शेषफल 32 और 35 को गुणा करें। चरण 2: \(32\times35=1120\) और \(1120=37\times30+10\)। चरण 3: गुणन वाले प्रश्नों में पूरा गुणनफल नहीं, अंतिम शेषफल उत्तर होता है।
Therefore, the final remainder is 0; adding only the remainders is a quick method for multi-term expressions. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (35+37+6=78)। चरण 2: 78, 39 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: इसलिए अंतिम शेषफल 0 है; कई पदों में केवल शेषफलों को जोड़ना तेज तरीका है।
\(10^2=100\), and 100 leaves remainder 15 when divided by 17.
Step 2
Why this answer is correct
For \(10^4\), check \(15^2=225\).
Step 3
Exam Tip
\(225=17\times13+4\), so the remainder is 4. चरण 1: \(10^2=100\), और 100 को 17 से भाग देने पर शेषफल 15 है। चरण 2: \(10^4\) के लिए \(15^2=225\) देखें। चरण 3: \(225=17\times13+4\), इसलिए शेषफल 4 है।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(11^2+11=132\).
Step 3
Exam Tip
Since 132 is exactly divisible by 12, the remainder is 0. चरण 1: (x) का शेषफल 11 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(11^2+11=132\) से मिलेगा। चरण 3: 132, 12 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
For multiplication, multiply the remainders 24 and 27.
Step 2
Why this answer is correct
\(24\times27=648\), and \(648=29\times22+10\).
Step 3
Exam Tip
So the correct remainder is 10; the full product is not the answer. चरण 1: गुणन के लिए शेषफल 24 और 27 को गुणा करें। चरण 2: \(24\times27=648\) और \(648=29\times22+10\)। चरण 3: इसलिए सही शेषफल 10 है; पूरा गुणनफल उत्तर नहीं होता।
Therefore, the final remainder is 0; adding only the remainders is a quick method for multi-term expressions. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (29+31+6=66)। चरण 2: 66, 33 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा; कई पदों में केवल शेषफलों को जोड़ना तेज तरीका है।
\(7^2=49\), and 49 leaves remainder 10 when divided by 13.
Step 2
Why this answer is correct
For \(7^4\), check \(10^2=100\).
Step 3
Exam Tip
\(100=13\times7+9\), so the remainder is 9. चरण 1: \(7^2=49\), और 49 को 13 से भाग देने पर शेषफल 10 है। चरण 2: \(7^4\) के लिए \(10^2=100\) देखें। चरण 3: \(100=13\times7+9\), इसलिए शेषफल 9 है।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(9^2+9=90\).
Step 3
Exam Tip
Since 90 is exactly divisible by 10, the remainder is 0. चरण 1: (x) का शेषफल 9 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(9^2+9=90\) से मिलेगा। चरण 3: 90, 10 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
For multiplication, multiply the remainders 19 and 21.
Step 2
Why this answer is correct
\(19\times21=399\), and \(399=23\times17+8\).
Step 3
Exam Tip
In product questions, the final answer must be the remainder, not the full product. चरण 1: गुणन के लिए शेषफल 19 और 21 को गुणा करें। चरण 2: \(19\times21=399\) और \(399=23\times17+8\)। चरण 3: गुणन वाले प्रश्नों में अंतिम उत्तर शेषफल होना चाहिए, पूरा गुणनफल नहीं।
(42) is exactly divisible by 21, so the remainder should be 0.
Step 3
Exam Tip
In multi-term questions, add only the remainders and reduce at the end. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (17+19+6=42)। चरण 2: 42, 21 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 होना चाहिए। चरण 3: कई पदों वाले प्रश्नों में केवल शेषफलों को जोड़कर अंतिम घटाव करें।
\(7^2=49\), which leaves remainder 4 on division by 9.
Step 2
Why this answer is correct
For \(7^4\), use \(4^2=16\), and 16 leaves remainder 7 on division by 9.
Step 3
Exam Tip
In higher powers, reduce the remainder after each step. चरण 1: \(7^2=49\), और 49 को 9 से भाग देने पर शेषफल 4 है। चरण 2: \(7^4\) के लिए \(4^2=16\), और 16 का 9 से शेषफल 7 नहीं, बल्कि 7 है; इसलिए सही शेषफल 7 होगा। चरण 3: बड़ी घातों में हर चरण के बाद शेषफल घटाना जरूरी है।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(7^2+7=56\), and 56 is divisible by 8.
Step 3
Exam Tip
Substituting the remainder in the expression gives a quick solution. चरण 1: (x) का शेषफल 7 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(7^2+7=56\) से मिलेगा, और 56, 8 से विभाज्य है। चरण 3: व्यंजक में संख्या की जगह उसका शेषफल रखने से हल तेजी से होता है।
For multiplication, multiply the remainders 12 and 15.
Step 2
Why this answer is correct
\(12\times15=180\), and \(180=17\times10+10\).
Step 3
Exam Tip
In product questions, multiply the remainders and then find the final remainder. चरण 1: गुणन के लिए शेषफल 12 और 15 को गुणा करें। चरण 2: \(12\times15=180\), और \(180=17\times10+10\)। चरण 3: गुणन वाले प्रश्नों में शेषफलों का गुणा करके अंतिम शेषफल निकालें।
36 is exactly divisible by 18, so the remainder is 0.
Step 3
Exam Tip
In multi-term questions, add only the remainders and then reduce at the end. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (13+16+7=36)। चरण 2: 36, 18 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है। चरण 3: कई पदों वाले प्रश्न में केवल शेषफलों को जोड़कर अंतिम घटाव करें।
For the fourth power, look at the remainder of \(4^4\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4^2=16\), which leaves remainder 2 when divided by 7; then \(4^4\) leaves the same remainder as \(2^2=4\).
Step 3
Exam Tip
For higher powers, reduce remainders step by step. चरण 1: चौथे घात के लिए \(4^4\) का शेषफल देखें। चरण 2: \(4^2=16\), जिसका 7 से शेषफल 2 है; फिर \(4^4\) का शेषफल \(2^2=4\) होगा। चरण 3: बड़ी घातों में छोटे-छोटे चरणों में शेषफल निकालें।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(5^2+5=30\), and 30 is divisible by 6.
Step 3
Exam Tip
Substitute the remainder in the expression to solve quickly. चरण 1: (x) का शेषफल 5 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(5^2+5=30\) से मिलेगा, और 30, 6 से विभाज्य है। चरण 3: व्यंजक में संख्या की जगह उसका शेषफल रखकर हल करें।
The sum has remainder (4+5=9), and (9=7+2), so the remainder is 2.
Step 3
Exam Tip
If the sum of remainders is greater than the divisor, reduce it again. चरण 1: दोनों शेषफल 4 और 5 हैं। चरण 2: योग का शेषफल (4+5=9), और (9=7+2), इसलिए शेषफल 2 है। चरण 3: शेषफलों का योग भाजक से बड़ा हो तो फिर से घटाएं।
\(3\times4=12\), and 12 leaves remainder 2 on division by 10.
Step 3
Exam Tip
For products, multiply the remainders instead of the whole numbers. चरण 1: गुणन में शेषफलों को गुणा करें। चरण 2: \(3\times4=12\), और 12 को 10 से भाग देने पर शेषफल 2 है। चरण 3: गुणन वाले सवालों में पूरी संख्या की जगह शेषफल का गुणन करें।
Their sum gives remainder (5+7=12), which is less than 18.
Step 3
Exam Tip
For a sum, adding the remainders first is easier. चरण 1: दोनों संख्याओं के शेषफल 5 और 7 हैं। चरण 2: जोड़ने पर शेषफल (5+7=12) होगा, जो 18 से छोटा है। चरण 3: योग का शेषफल निकालते समय पहले शेषफलों को जोड़ना आसान रहता है।
The square remainder is obtained from \(15^2=225\) divided by 16. \(225=16\times14+1\).
Step 3
Exam Tip
The square of a remainder (b-1) often gives remainder 1. चरण 1: संख्या को (16q+15) मानें। चरण 2: वर्ग का शेषफल \(15^2=225\) को 16 से भाग देने पर मिलेगा। \(225=16\times14+1\)। चरण 3: (b-1) शेषफल का वर्ग अक्सर 1 शेषफल देता है।
The remainder of 25 on division by 12 is 1, so total remainder (11+1=12), which becomes 0.
Step 3
Exam Tip
In addition, add the remainders and then reduce by the divisor. चरण 1: (N) का शेषफल 11 है। चरण 2: (25) को 12 से भाग देने पर शेषफल 1 है, इसलिए कुल शेषफल (11+1=12), जो 0 बन जाता है। चरण 3: जोड़ में दोनों शेषफल जोड़कर फिर भाजक से घटाएं।
The number has remainder 5, so the square has the same remainder as \(5^2=25\) divided by 6.
Step 2
Why this answer is correct
\(25=6\times4+1\), so the remainder is 1.
Step 3
Exam Tip
In square questions, first square the smaller remainder. चरण 1: संख्या का शेषफल 5 है, इसलिए वर्ग का शेषफल \(5^2=25\) को 6 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(25=6\times4+1\), इसलिए शेषफल 1 है। चरण 3: वर्ग वाले सवालों में पहले छोटे शेषफल का वर्ग लें।
