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\(0.333\ldots=\frac{1}{3}\), इसलिए दोनों एक ही बिंदु पर होंगे। आवर्ती दशमलव को भिन्न से जोड़कर याद रखें। / \(0.333\ldots=\frac{1}{3}\), so both are at the same point. Connect recurring decimals with fractions.
कुछ अंकों के बाद (45) दोहरता है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव है। आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / After some digits, (45) repeats, so it is a recurring decimal. A recurring decimal is rational.
\(7.\overline{125}\) एक आवर्ती दशमलव है। यदि x = \(7.\overline{125}\), तो 1000x = \(7125.\overline{125}\) और 1000x − x = 999x = 7125 − 7 = 7118, अतः x = 7118/999, जो परिमेय है। विकल्प B एक गैर-आवर्ती (non‑repeating) अनन्त दशमलव का रूप दिखाता है इसलिए वह अपरिमेय हो सकता है; विकल्प C, \(\sqrt{7}\), चूँकि 7 पूर्ण वर्ग नहीं है, अपरिमेय है; विकल्प D, \(\pi\), प्रसिद्ध रूप से अपरिमेय (और transcendent) है। परीक्षा-सुझाव: आवर्ती या समाप्त होने वाली दशमलव हमेशा परिमेय होती है; वर्गमूल केवल तब परिमेय होगा जब मूल संख्या पूर्ण वर्ग हो। / \(7.\overline{125}\) is a repeating decimal. Let x = \(7.\overline{125}\). Then 1000x = \(7125.\overline{125}\), so 999x = 7125 − 7 = 7118 and x = 7118/999, a rational number. Option B shows a non‑repeating non‑terminating decimal form, so it's not rational. \(\sqrt{7}\) is irrational because 7 is not a perfect square. \(\pi\) is a well‑known irrational (transcendental) number. Exam tip: look for repeating or terminating decimals (rational) and check whether a square root is of a perfect square (only then rational).
मान लें \(x = 2.\overline{45}\). आवर्तक ब्लॉक की लम्बाई 2 है, इसलिए 100 से गुणा करें: \(100x = 245.\overline{45}\). इसमें से \(x\) घटाने पर \(99x = 243\) मिलता है, अतः \(x = \dfrac{243}{99} = \dfrac{27}{11}\)। यह एक भिन्न (कहा जाता है परिमेय) है, इसलिए संख्या परिमेय है। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याओं के दशमलव रूप न तो आवर्ती होते हैं न समाप्त होते हैं; यहाँ आवर्ती रूप है। विकल्प C (अवास्तविक) गलत है क्योंकि यह वास्तविक संख्या है, और विकल्प D (पूर्ण संख्या) गलत है क्योंकि इसका भिन्न भाग शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: यदि दशमलव पर ऊपर पट्टी (overline) है तो वह परिमेय होगा — आवर्ती ब्लॉक की लम्बाई के अनुसार \(10^n\) से गुणा करके भिन्न निकालें। / Let \(x = 2.\overline{45}\). The repeating block has length 2, so multiply by 100: \(100x = 245.\overline{45}\). Subtracting gives \(99x = 243\), hence \(x = \frac{243}{99} = \frac{27}{11}\). This is a fraction, so the number is rational. Option B (irrational) is incorrect because irrational numbers do not have terminating or repeating decimal expansions; here the decimal repeats. Option C (non-real) is wrong because the number is real, and option D (whole number) is wrong because there is a nonzero fractional part. Exam tip: An overline means a repeating block — use multiplication by \(10^n\) (where n is block length) to convert to a fraction quickly.
\(0.\overline{12}\) एक अनंत आवर्ती दशमलव है और किसी आवर्ती दशमलव को हमेशा भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए \(0.\overline{12}=\dfrac{12}{99}=\dfrac{4}{33}\), इसलिए यह परिमेय है और समाप्त नहीं होता। विकल्प B (\(0.875\)) परिमेय जरूर है पर यह समाप्त होने वाला दशमलव है, इसलिए प्रश्न की शर्त पर खरा नहीं उतरता। विकल्प C (\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)) और D (\(\pi\)) अपरिमेय हैं। परीक्षा-सूत्र: आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए आवर्ती भाग को उपयुक्त 9, 99, 999 आदि से भाग करें (यह तेज़ तरीके से परिमेयता दिखा देता है)। / \(0.\overline{12}\) is a non-terminating recurring decimal; every recurring decimal is rational because it can be expressed as a fraction. For example \(0.\overline{12}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}\), so it is rational and non-terminating. Option B (\(0.875\)) is rational but terminating (\(0.875=\frac{875}{1000}=\frac{7}{8}\)), so it does not meet the "non-terminating" condition. Options C (\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)) and D (\(\pi\)) are irrational. Exam tip: convert recurring decimals to fractions using 9, 99, 999... under the recurring block to quickly test rationality.
यहाँ (27) लगातार दोहराता है, यानी यह आवर्ती दशमलव है। आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं क्योंकि उन्हें भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रत्यक्ष रूप से: मान लें \\(x=3.2727\ldots\\), तब \\(100x=327.2727\ldots\\) और घटाने पर \\(99x=324\\) मिलकर \\(x=\frac{324}{99}=\frac{36}{11}\\) मिलता है। इसलिए यह परिमेय है। निकटतम गलत विकल्प — "अपरिमेय" — उस पर लागू नहीं होता क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ गैर-आवर्ती, अनन्त दशमलव होती हैं। "पूर्णांक" भी गलत है क्योंकि मान पूर्णांक नहीं है, और "अवास्तविक संख्या" गलत है क्योंकि हर दशमलव पुनरावर्ती वास्तविक संख्या होती है। परीक्षा टिप: आवर्ती भाग की लंबाई के अनुसार दशमलव को शिफ्ट करने के लिए 10,100,... से गुणा करके घटाना करें और भिन्न प्राप्त करें। / The block (27) repeats, so this is a recurring (repeating) decimal. Every repeating decimal is rational because it can be written as a fraction. For example let \\(x=3.2727\ldots\\). Then \\(100x=327.2727\ldots\\) and subtracting gives \\(99x=324\\), so \\(x=\frac{324}{99}=\frac{36}{11}\\). Thus the number is rational. The closest distractor, "irrational", is wrong because irrational numbers are non-terminating and non-repeating decimals. "Integer" is wrong since the value is not an integer, and "non-real" is wrong because this is a real number. Exam tip: convert repeating decimals to fractions by multiplying to align repeats and subtracting to eliminate the repeating part.
\(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\) है। पूर्ण आवर्ती दशमलव में पहले (9) वाला हर बनाएं और फिर पूरा सरल करें। / \(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\). For a purely recurring decimal, first use a denominator of (9)'s and then reduce fully.
\(19^2\) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (4) आरंभिक अनावर्ती भाग देगी। ऐसे प्रश्न में आवर्तीपन और आरंभिक देरी अलग-अलग देखें। / Since \(19^2\) remains, the decimal is non-terminating recurring, and the larger exponent among (2) and (5) is (4). In such questions, separate recurrence from the initial delay.
\(448=2^6\cdot 7\) है इसलिए आवर्ती भाग से पहले (6) अनावर्ती अंक आएँगे। तुलना में (2) और (5) की बड़ी घात देखें। / \(448=2^6\cdot 7\), so (6) non-repeating digits appear before the recurring part. For comparison, check the larger power of (2) and (5).
कटौती के बाद हर \(2^4\cdot 5^2\cdot 17\) बचेगा। (17) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^4\cdot 5^2\cdot 17\). Since (17) remains, the decimal is non-terminating recurring.
B. असांत आवर्ती और (4) अनावर्ती आरंभिक अंक/Non-terminating recurring with (4) initial non-repeating digits
Explanation
Simple Explanation
(17) बचता है इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। \(2^4\cdot 5^4\) की बड़ी घात (4) आरंभिक अनावर्ती भाग दिखाती है। / Since (17) remains, the decimal is non-terminating recurring. The larger exponent in \(2^4\cdot 5^4\) gives (4) initial non-repeating digits.
\(0.\overline{36}=\frac{36}{99}\) और \(0.\overline{63}=\frac{63}{99}\) हैं इसलिए योग (1) है। दो आवर्ती दशमलवों का योग सांत भी हो सकता है। / \(0.\overline{36}=\frac{36}{99}\) and \(0.\overline{63}=\frac{63}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can be terminating.
\(320=2^6\cdot 5\) कटने पर हर \(2\cdot 5^2\cdot 11\) बचेगा। (11) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / Since \(320=2^6\cdot 5\), the reduced denominator is \(2\cdot 5^2\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
सरलतम हर में (13) की धनात्मक घात बची है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / A positive power of (13) remains in the reduced denominator. Therefore the rational number has a non-terminating recurring decimal.
(41) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (7) अनावर्ती आरंभ देगी। मिश्रित हर में बड़ी घात से देरी मिलती है। / The factor (41) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (7), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
\(0.\overline{063}=\frac{63}{999}\) और (9) से सरल करने पर \(\frac{7}{111}\) मिलता है। आवर्ती भाग में आरंभिक शून्य को भी अंक माना जाता है। / \(0.\overline{063}=\frac{63}{999}\), and reducing by (9) gives \(\frac{7}{111}\). An initial zero inside the repeating block is also counted as a digit.
\(245=5\cdot 7^2\) कटने पर हर \(2^2\cdot 5\cdot 7\) बचता है। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / Since \(245=5\cdot 7^2\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
दो अनावर्ती शून्य और दो आवर्ती अंकों से \(\frac{54}{9900}\) बनता है। इसे सरल करने पर \(\frac{3}{550}\) मिलता है। / Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{54}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{3}{550}\).
(17) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (6) आरंभिक अनावर्ती भाग देगी। आवर्तीपन और आरंभिक देरी को अलग-अलग समझें। / The factor (17) makes the decimal recurring, and the larger exponent among (2) and (5) is (6), giving the initial non-repeating part. Understand recurrence and delay separately.
\(55=5\cdot 11\) कटने पर हर \(2^2\cdot 5^2\cdot 11\) बचेगा। (11) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancelling \(55=5\cdot 11\), the denominator becomes \(2^2\cdot 5^2\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
\(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\) है। आवर्ती अंकों की संख्या के अनुसार पहले (9) वाला हर बनाएं फिर सरल करें। / \(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\). First form the denominator with (9)'s according to the repeating digits and then reduce.
कटौती के बाद हर \(2^3\cdot 3\cdot 5^4\cdot 11\) बचता है, जिसमें (3) और (11) हैं। सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा गुणनखंड बचें तो दशमलव असांत आवर्ती होता है। / After cancellation, the denominator is \(2^3\cdot 3\cdot 5^4\cdot 11\), which contains (3) and (11). If primes other than (2) and (5) remain in the reduced denominator, the decimal is non-terminating recurring.
\(224=2^5\cdot 7\) है इसलिए आवर्ती भाग से पहले (5) अनावर्ती अंक आएँगे। तुलना में (2) और (5) की बड़ी घात देखें। / \(224=2^5\cdot 7\), so (5) non-repeating digits appear before the recurring part. For comparison, check the larger power of (2) and (5).
कटौती के बाद हर \(2^3\cdot 5^3\cdot 13\) बचेगा। (13) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^3\cdot 5^3\cdot 13\). Since (13) remains, the decimal is non-terminating recurring.
B. असांत आवर्ती और (3) अनावर्ती आरंभिक अंक/Non-terminating recurring with (3) initial non-repeating digits
Explanation
Simple Explanation
(11) बचता है इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। \(2^3\cdot 5^3\) की बड़ी घात (3) आरंभिक अनावर्ती भाग दिखाती है। / Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring. The larger exponent in \(2^3\cdot 5^3\) gives (3) initial non-repeating digits.
\(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) और \(0.\overline{72}=\frac{72}{99}\) हैं इसलिए योग (1) है। दो आवर्ती दशमलवों का योग सांत भी हो सकता है। / \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) and \(0.\overline{72}=\frac{72}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can be terminating.
\(200=2^3\cdot 5^2\) कटने पर हर \(5\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / Since \(200=2^3\cdot 5^2\), the reduced denominator is \(5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
सरलतम हर में (11) की धनात्मक घात बची है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / A positive power of (11) remains in the reduced denominator. Therefore the rational number has a non-terminating recurring decimal.
(31) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (6) अनावर्ती आरंभ देगी। मिश्रित हर में बड़ी घात से देरी मिलती है। / The factor (31) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (6), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
\(0.\overline{045}=\frac{45}{999}\) और (9) से सरल करने पर \(\frac{5}{111}\) मिलता है। आवर्ती अंकों की संख्या के अनुसार पहले (9) वाला हर बनाएं। / \(0.\overline{045}=\frac{45}{999}\), and reducing by (9) gives \(\frac{5}{111}\). First form the denominator with (9)'s according to the repeating digits.
