\(1^2\) and \(13^2\) give 1, \(3^2\) and \(11^2\) give 9, and \(5^2\) and \(9^2\) give 11 as remainders.
Step 3
Exam Tip
Write possible remainders without repeating them. चरण 1: दिए गए शेषफलों के वर्ग देखें। चरण 2: \(1^2\) और \(13^2\) से 1, \(3^2\) और \(11^2\) से 9, तथा \(5^2\) और \(9^2\) से 11 शेषफल मिलता है। चरण 3: संभावित शेषफलों को दोहराए बिना लिखें।
A. केवल 0, 1, 3, 4, 5 और 9/Only 0, 1, 3, 4, 5 and 9
Step 1
Concept
On division by 11, remainders can be from 0 to 10.
Step 2
Why this answer is correct
Their distinct square remainders are 0, 1, 3, 4, 5, and 9.
Step 3
Exam Tip
In square-remainder questions, making a short list of possible remainders is useful. चरण 1: 11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक हो सकते हैं। चरण 2: इनके वर्गों के अलग-अलग शेषफल 0, 1, 3, 4, 5 और 9 मिलते हैं। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में सभी संभावित शेषफलों की छोटी सूची बनाना उपयोगी है।
\(1^2\), \(5^2\), \(7^2\), and \(11^2\) all leave remainder 1 when divided by 12.
Step 3
Exam Tip
Checking the squares of possible remainders separately is a safe method. चरण 1: दिए गए शेषफलों के वर्ग देखें। चरण 2: \(1^2\), \(5^2\), \(7^2\), और \(11^2\) सभी को 12 से भाग देने पर शेषफल 1 मिलता है। चरण 3: संभावित शेषफलों के वर्गों को अलग-अलग जांचना सुरक्षित तरीका है।
Their square remainders are 0, 1, 4, 0, 7, 7, 0, 4, and 1.
Step 3
Exam Tip
So the square remainder can only be 0, 1, 4, or 7. चरण 1: 9 से भाग देने पर शेषफल 0 से 8 तक हो सकते हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल 0, 1, 4, 0, 7, 7, 0, 4, 1 मिलते हैं। चरण 3: इसलिए वर्ग का शेषफल केवल 0, 1, 4 या 7 हो सकता है।
\(1^2\) and \(9^2\) leave remainder 1, while \(3^2\) and \(7^2\) leave remainder 9.
Step 3
Exam Tip
When listing possible remainders, count repeated results only once. चरण 1: दिए गए शेषफलों के वर्ग देखें। चरण 2: \(1^2\) और \(9^2\) का शेषफल 1 है, जबकि \(3^2\) और \(7^2\) का शेषफल 9 है। चरण 3: संभावित शेषफल सूची बनाते समय दोहराव को एक बार ही गिनें।
Their square remainders are 0, 1, 4, 2, 2, 4, and 1.
Step 3
Exam Tip
So the square remainder can only be 0, 1, 2, or 4. चरण 1: 7 से भाग देने पर शेषफल 0 से 6 तक हो सकते हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1 मिलते हैं। चरण 3: इसलिए वर्ग का शेषफल केवल 0, 1, 2 या 4 हो सकता है।
The possible remainders of a number are 0, 1, 2, 3, and 4.
Step 2
Why this answer is correct
Their square remainders are 0, 1, 4, 4, and 1 respectively.
Step 3
Exam Tip
A square divided by 5 never leaves remainder 2 or 3. चरण 1: संख्या के संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 4, 4, 1 मिलते हैं। चरण 3: 5 से भाग देने पर किसी वर्ग का शेषफल 2 या 3 नहीं आता।
The possible remainders of a number are 0, 1, 2, and 3.
Step 2
Why this answer is correct
The square remainders are respectively 0, 1, 0, and 1.
Step 3
Exam Tip
A square divided by 4 never leaves remainder 2 or 3. चरण 1: संख्या के संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3 हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 0, 1 मिलते हैं। चरण 3: 4 से भाग देने पर किसी वर्ग का शेषफल 2 या 3 नहीं होता।
The square remainders are 0, 1, and the remainder of \(2^2=4\), which is 1.
Step 3
Exam Tip
For squares modulo 3, remainder 2 never appears. चरण 1: संख्या को (3q), (3q+1), (3q+2) माना जा सकता है। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1 और \(2^2=4\) से 1 होंगे। चरण 3: वर्गों में शेषफल 2 नहीं आता, यह महत्वपूर्ण परीक्षा बिंदु है।
