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पूर्ण वर्ग बनाने पर \(x^2+12x+8=0\) से \((x+6)^2=28\) प्राप्त होता है। अतः \(x+6=\pm\sqrt{28}=\pm2\sqrt{7}\), इसलिए \(x=-6\pm2\sqrt{7}\)। विकल्प B में \(-6\) के स्थान पर गलत चिन्ह है। परीक्षा-युक्ति: \(\sqrt{28}\) को \(2\sqrt{7}\) के रूप में सरल करें। / Completing the square gives \(x^2+12x+8=0\Rightarrow (x+6)^2=28\). Therefore, \(x+6=\pm\sqrt{28}=\pm2\sqrt{7}\), so the roots are \(x=-6\pm2\sqrt{7}\). Option B has the wrong sign for the constant term in the roots. Exam tip: simplify \(\sqrt{28}\) to \(2\sqrt{7}\).
पूर्ण वर्ग बनाने पर \(x^2+8x+5=0\) से \(x^2+8x+16=11\), अर्थात् \((x+4)^2=11\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x+4=\pm\sqrt{11}\), अतः \(x=-4\pm\sqrt{11}\)। विकल्प B में \(-4\) की जगह गलत रूप से \(4\) लिया गया है और विकल्प D में वर्गमूल का चिह्न छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: \(\pm\) के कारण दोनों मूल अवश्य लिखें। / Completing the square in \(x^2+8x+5=0\) gives \(x^2+8x+16=11\), or \((x+4)^2=11\). Hence, \(x+4=\pm\sqrt{11}\), so the roots are \(x=-4\pm\sqrt{11}\). Option B has the wrong sign before 4, while option D incorrectly omits the square-root sign. Exam tip: the \(\pm\) symbol represents both roots, so write both values when required.
दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर \(x^2=16\) प्राप्त होता है। अतः वर्गमूल लेने पर \(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\), इसलिए विकल्प A सही है। केवल \(x=4\) या केवल \(x=-4\) लिखना एक मूल छोड़ देना है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल लेते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों चिह्न अवश्य लिखें। / Dividing both sides by 5 gives \(x^2=16\). Taking square roots, \(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\), so option A is correct. Writing only \(x=4\) or only \(x=-4\) omits one root, while \(\pm16\) results from an incorrect calculation. Exam tip: always include both the positive and negative signs when taking the square root of a positive number.
द्विघात बहुपद का गुणनखंड करने पर \(x^2+2x-24=(x+6)(x-4)\) मिलता है। अतः \((x+6)(x-4)=0\) से \(x=-6\) या \(x=4\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न उलट गए हैं। परीक्षा में गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर दोनों मूल अवश्य जाँचें। / Factoring the quadratic gives \(x^2+2x-24=(x+6)(x-4)\). Thus, \((x+6)(x-4)=0\) gives \(x=-6\) or \(x=4\), so option A is correct. In option B, the signs of both roots are reversed. In an exam, set each factor equal to zero to obtain and check both roots.
वियत के योग प्रमेय के अनुसार, मूलों का योग \(-p\) के बराबर होता है। यहाँ \((-4)+(-5)=-9\), इसलिए \(-p=-9\) और \(p=9\)। विकल्प B मूलों के योग को सीधे \(p\) मान लेने से प्राप्त होता है। परीक्षा में \(x^2+px+q=0\) के लिए मूलों का योग हमेशा \(-p\) याद रखें। / By Vieta’s sum-of-roots relation, the sum of the roots is \(-p\). Here, \((-4)+(-5)=-9\), so \(-p=-9\) and hence \(p=9\). Option B results from incorrectly taking the root sum as \(p\) instead of \(-p\). In exams, remember that for \(x^2+px+q=0\), the sum of the roots is \(-p\).
दिए गए समीकरण को \(x^2-8x+16=1\) लिखने पर \((x-4)^2=1\) मिलता है। अतः \(x-4=\pm1\), इसलिए \(x=5\) या \(x=3\)। विकल्प C में मूलों का योग सही है, लेकिन उनका गुणनफल \(7\) है, जबकि आवश्यक गुणनफल \(15\) होना चाहिए। परीक्षा में पूर्ण वर्ग विधि में \(\pm\) से दोनों मूल अवश्य निकालें। / Rearranging the equation gives \(x^2-8x+16=1\), so \((x-4)^2=1\). Therefore, \(x-4=\pm1\), which gives \(x=5\) or \(x=3\). In option C, the sum of the roots is correct, but their product is \(7\), not the required \(15\). In exams, remember to consider both signs of \(\pm\) when completing the square.
दिए गए समीकरण को 3 से भाग देने पर \(x^2=4\) प्राप्त होता है। अतः वर्गमूल लेने पर \(x=\pm\sqrt{4}=\pm2\), इसलिए दोनों मूल \(2\) और \(-2\) हैं। विकल्प B और C में से प्रत्येक केवल एक मूल दर्शाता है, जबकि द्विघात समीकरण के दोनों मूल लिखने आवश्यक हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2=a\) से \(x=\pm\sqrt{a}\) लिखना न भूलें। / Dividing the equation by 3 gives \(x^2=4\). Taking square roots, \(x=\pm\sqrt{4}=\pm2\), so the two roots are 2 and −2. Options B and C show only one of the two roots, while option D results from an incorrect square-root calculation. Exam tip: whenever \(x^2=a\), write \(x=\pm\sqrt{a}\) to include both roots.
वर्गमूल विधि में \(x^2=49\) से \(x=\pm\sqrt{49}\) मिलता है। इसलिए \(x=7\) या \(x=-7\), अर्थात् \(x=\pm7\) हैं। केवल धनात्मक मूल लिखना (विकल्प B) सामान्य गलती है, क्योंकि किसी संख्या के वर्ग के दो वर्गमूल हो सकते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2=a\) में हमेशा \(x=\pm\sqrt{a}\) लिखें। / Using the square root method, \(x^2=49\) gives \(x=\pm\sqrt{49}\). Hence, \(x=7\) or \(x=-7\), so \(x=\pm7\). Writing only the positive root (option B) is a common mistake because a positive number has two square roots. Exam tip: For \(x^2=a\), always write \(x=\pm\sqrt{a}\).
किसी जड़ को सत्यापित करने के लिए उसका मान समीकरण में रखें। \(x=0\) रखने पर \(a(0)^2+b(0)+c=0\), अतः \(c=0\) आवश्यक है। \(b=0\) या \(a+b=0\) होना अनिवार्य नहीं है, और \(a=0\) होने पर समीकरण द्विघात नहीं रहेगा। परीक्षा-युक्ति: यदि \(0\) किसी बहुपद की जड़ है, तो उसका स्थिर पद हमेशा शून्य होता है। / Substitute the proposed root into the equation: \(a(0)^2+b(0)+c=0\), which gives \(c=0\). Thus the constant term must be zero. Neither \(b=0\) nor \(a+b=0\) is necessary, while \(a=0\) would make the equation non-quadratic. Exam tip: If zero is a root of a polynomial, its constant term is always zero.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) होता है। इसलिए यहाँ \(\alpha+\beta=4\) तथा \(\alpha\beta=-5\)। अब \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=-5+2(4)+4=7\)। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में मूलों को अलग-अलग हल करने के बजाय योग और गुणनफल के सूत्रों का प्रयोग करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) and their product is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Thus, here \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=-5\). Therefore, \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=-5+2(4)+4=7\). Hence, option A is correct. Exam tip: Use the sum and product of roots directly instead of solving for the roots individually.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=12\), इसलिए \(\alpha\beta=12\)। अतः \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=12^2=144\)। विकल्प 12 केवल \(\alpha\beta\) का मान है, माँगा गया उसका वर्ग नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग और गुणनफल के लिए क्रमशः \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Here, \(a=1\) and \(c=12\), so \(\alpha\beta=12\). Therefore, \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=12^2=144\). Option 12 is only the value of \(\alpha\beta\), not its square. Exam tip: Remember that the sum and product of the roots are \(-\frac{b}{a}\) and \(\frac{c}{a}\), respectively.
मूलों को \(t\) और \(2t\) मानें। मूलों का योग \(9\) है, इसलिए \(t+2t=9\), अर्थात \(t=3\)। अतः मूल \(3\) और \(6\) हैं। मूलों का गुणनफल \(c\) के बराबर होता है, इसलिए \(c=3\times6=18\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) होता है। / Let the roots be \(t\) and \(2t\). Their sum is \(9\), so \(t+2t=9\), giving \(t=3\). Hence, the roots are \(3\) and \(6\). The product of the roots equals \(c\), so \(c=3\times6=18\). Exam tip: In \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\).
मूलों के योग और गुणनफल से \(\alpha+\beta=10\) तथा \(\alpha\beta=21\) मिलते हैं। पहचान \(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+eta)\) का प्रयोग करने पर \(10^3-3\times21\times10=1000-630=370\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 370 है। परीक्षा-युक्ति: घन के योग वाले प्रश्नों में पहले मूलों का योग और गुणनफल पहचानें। / From the coefficients, \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=21\). Using the identity \(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+eta)^3-3\alpha\beta(\alpha+eta)\), we get \(10^3-3\times21\times10=1000-630=370\). Hence, the correct answer is 370. Exam tip: For the sum of cubes of roots, first find their sum and product using Vieta’s relations.
द्विघात समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{C}{A}\) होता है। यहाँ मूलों का गुणनफल \(3\times5=15\) और \(\frac{C}{A}=\frac{15}{a}\) है। इसलिए \(\frac{15}{a}=15\), जिससे \(a=1\) प्राप्त होता है। विकल्प 15 स्थिर पद है, \(a\) का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का गुणनफल हमेशा \(\frac{c}{a}\) और योग \(-\frac{b}{a}\) से मिलाएँ। / For a quadratic equation \(Ax^2+Bx+C=0\), the product of its roots is \(\frac{C}{A}\). Here, the product is \(3\times5=15\), while \(\frac{C}{A}=\frac{15}{a}\). Thus, \(\frac{15}{a}=15\), giving \(a=1\). The value 15 is the constant term, not the coefficient \(a\). Exam tip: use \(\frac{c}{a}\) for the product of roots and \(-\frac{b}{a}\) for their sum.
वियत के सूत्र के अनुसार, \\(\alpha+\beta=2\\) और \\(\alpha\beta=-8\\)। इसलिए \\(\left(\alpha+3\right)\left(\beta+3\right)=\alpha\beta+3(\alpha+\beta)+9=-8+3(2)+9=7\\)। अतः सही उत्तर 7 है। ध्यान रखें: मूलों में समान संख्या जोड़कर बने गुणनफल को सीधे विस्तार करके वियत के सूत्रों से हल किया जा सकता है; केवल \\(\alpha+\beta\\) का उपयोग करना पर्याप्त नहीं है। / By Vieta’s formulas, \\(\alpha+\beta=2\\) and \\(\alpha\beta=-8\\). Hence, \\(\left(\alpha+3\right)\left(\beta+3\right)=\alpha\beta+3(\alpha+\beta)+9=-8+3(2)+9=7\\). Therefore, the correct answer is 7. Exam tip: when the same number is added to both roots, expand the product and use the sum and product of roots; using only \\(\alpha+\beta\\) would be incomplete.
वियत के सूत्र के अनुसार, मूलों का योग \(-p\) और मूलों का गुणनफल \(q\) होता है। यहाँ मूलों का योग \((-2)+(-5)=-7\), इसलिए \(-p=-7\) से \(p=7\)। उनका गुणनफल \((-2)(-5)=10\), अतः \(q=10\)। इसलिए \(p+q=7+10=17\)। परीक्षा में पहले मूलों के योग और गुणनफल को क्रमशः \(-p\) और \(q\) से मिलाएँ। / By Vieta’s formulas, the sum of the roots is \(-p\) and their product is \(q\). Here, the sum is \((-2)+(-5)=-7\), so \(-p=-7\) gives \(p=7\). Their product is \((-2)(-5)=10\), hence \(q=10\). Therefore, \(p+q=7+10=17\). In exams, match the sum and product of the roots with \(-p\) and \(q\), respectively.
जब विविक्तकर \(D=0\) होता है, तब द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं। यदि प्रत्येक मूल \(r\) है, तो \(r+r=14\), अर्थात \(2r=14\), इसलिए \(r=7\)। अतः प्रत्येक मूल 7 है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) देखते ही दोनों समान मूल मानकर उनके योग को 2 से भाग दें। / When the discriminant is \(D=0\), the two roots of the quadratic equation are equal. If each root is \(r\), then \(r+r=14\), so \(2r=14\) and \(r=7\). Therefore, each root is 7. Exam tip: When \(D=0\), divide the sum of the roots by 2 to find the repeated root.
A. दोनों मूल एक-दूसरे के विपरीत होते हैं/The two roots are opposites of each other
Explanation
Simple Explanation
मान लें कि मूल �\(\alpha\\) और �\(\beta\\) हैं। दिए गए अनुसार �\(\alpha+\beta=0\\), इसलिए �\(\beta=-\alpha\\)। अतः दोनों मूल एक-दूसरे के विपरीत होते हैं। उनका गुणनफल �\(\alpha\beta=-\alpha^2\\) हो सकता है, इसलिए वह हमेशा शून्य नहीं होता। परीक्षा युक्ति: �\(ax^2+bx+c=0\\) में मूलों का योग �(-b/a होता है; योग शून्य होने पर �(b=0। / Let the roots be �\(\alpha\\) and �\(\beta\\). Since �\(\alpha+\beta=0\\), we get �\(\beta=-\alpha\\). Therefore, the two roots are opposites of each other. Their product is �\(\alpha\beta=-\alpha^2\\), so it is not necessarily zero. Exam tip: For �\(ax^2+bx+c=0\\), the sum of the roots is �(-b/a; hence a zero sum implies �(b=0.
द्विघात समीकरण \(ax^2+px+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ मूल \(b\) और \(-b\) हैं, इसलिए \(\frac{c}{a}=b\times(-b)=-b^2\)। विकल्प B में ऋण चिह्न छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग के लिए \(-\frac{p}{a}\) और गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+px+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). Since the roots are \(b\) and \(-b\), \(\frac{c}{a}=b\times(-b)=-b^2\). Option B misses the negative sign. Exam tip: remember that the sum of roots is \(-\frac{p}{a}\), while their product is \(\frac{c}{a}\).
द्विघात समीकरण \(x^2+ax+16=0\) में मूलों का योग \(-\frac{a}{1}=-a\) होता है। यहाँ दोनों मूल 4 हैं, इसलिए मूलों का योग \(4+4=8\) है। अतः \(-a=8\), जिससे \(a=-8\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें: \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग हमेशा \(-b\) होता है, न कि \(b\)। / For the quadratic equation \(x^2+ax+16=0\), the sum of the roots is \(-\frac{a}{1}=-a\). Since both roots are 4, their sum is \(4+4=8\). Thus, \(-a=8\), giving \(a=-8\). Exam tip: In \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is always \(-b\), not \(b\).
जब विविक्तकर \(D=0\) होता है, तब द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं। यदि प्रत्येक मूल \(r\) है, तो \(r+r=12\), अर्थात \(2r=12\), इसलिए \(r=6\)। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) दिखने पर पहले दोनों समान मूल मानकर उनके योग या गुणनफल का उपयोग करें। / When the discriminant \(D=0\), the two roots of the quadratic equation are equal. If each root is \(r\), then \(r+r=12\), so \(2r=12\) and \(r=6\). Exam tip: When \(D=0\), assume equal roots first and use their sum or product accordingly.
दिया गया समीकरण \(16x^2-8x+1=0\) को \((4x-1)^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(4x-1=0\), इसलिए दोहराया गया मूल \(x=\frac{1}{4}\) है। ध्यान रखें कि पूर्ण वर्ग के रूप \((ax+b)^2=0\) में मूल \(-\frac{b}{a}\) होता है। / The equation \(16x^2-8x+1=0\) can be written as \((4x-1)^2=0\). Hence, \(4x-1=0\), giving the repeated root \(x=\frac{1}{4}\). Exam tip: when a quadratic is a perfect square, its single root is repeated twice; do not confuse it with the coefficient 4 in the factor.
द्विघात समीकरण �\(ax^2+bx+c=0\)� के बराबर वास्तविक मूल होने की शर्त विविक्तकर �D=b-2-4ac=0� है। यहाँ �a=1,b=-8,c=k� हैं, इसलिए �D=(-8)2-4(1)(k)=64-4k�। अतः �64-4k=0� से �k=16� प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: बराबर मूलों के प्रश्नों में सीधे �D=0� लगाएँ। / A quadratic equation �\(ax^2+bx+c=0\)� has equal real roots when its discriminant �D=b-2-4ac� is zero. Here, �a=1,b=-8,c=k�, so �D=(-8)2-4(1)(k)=64-4k�. Setting �D=0� gives �64-4k=0�, hence �k=16�. Exam tip: For equal-root questions, apply �D=0� directly.
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=13\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(13)=16-52=-36\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। समान वास्तविक मूल के लिए \(D=0\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति बताने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का मान जाँचें। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=13\). Its discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(13)=16-52=-36\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Equal real roots would require \(D=0\), so option B is incorrect. Exam tip: use the sign of the discriminant to determine the nature of the roots quickly.
द्विघात समीकरण \(a_1x^2+bx+c=0\) में मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a_1}\) के बराबर होता है। यहाँ मूलों का गुणनफल \(a\times(-a)=-a^2\) है, इसलिए \(\frac{c}{a_1}=-a^2\)। अतः सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: विपरीत चिह्न वाले मूलों का गुणनफल हमेशा ऋणात्मक वर्ग के रूप में लिखें। / For a quadratic equation \(a_1x^2+bx+c=0\), the product of its roots equals \(\frac{c}{a_1}\). Here, the product is \(a\times(-a)=-a^2\), so \(\frac{c}{a_1}=-a^2\). Therefore, option A is correct. Exam tip: When the roots have equal magnitudes and opposite signs, their product is the negative of the square of either root.
क्योंकि \(x=3\) समीकरण का मूल है, इसलिए इसे समीकरण में रखने पर \(3^2+3s-12=0\) मिलता है। अतः \(9+3s-12=0\), यानी \(3s=3\) और \(s=1\)। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि दिए गए मूल को सीधे समीकरण में रखने से पैरामीटर का मान आसानी से निकाला जा सकता है। / Since \(x=3\) is a root, substitute it directly into the equation: \(3^2+3s-12=0\). Thus, \(9+3s-12=0\), so \(3s=3\) and \(s=1\). Therefore, option A is correct. Exam tip: whenever a root is given, substitute it for \(x\) in the quadratic equation.
