Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले दोनों घातों का मान निकालकर जोड़ते हैं: \(4^2+4^3=16+64=80\)। इसलिए सही उत्तर 80 है। 64 केवल \(4^3\) का मान है, जबकि जोड़ में \(4^2\) को भी शामिल करना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: जोड़ में घातांक सीधे नहीं जोड़े जाते; घातांक जोड़ना केवल समान आधार वाली गुणा में लागू होता है, जैसे \(a^m\times a^n=a^{m+n}\)। / Evaluate both powers and then add them: \(4^2+4^3=16+64=80\). Therefore, the correct answer is 80. The value 64 represents only \(4^3\), so it omits the first term. Exam tip: exponents are not added in addition; adding exponents applies to multiplication of powers with the same base, such as \(a^m\times a^n=a^{m+n}\).
पहले दोनों घातों का मान निकालें: \\(3^2=9\\) और \\(3^3=27\\)। इसलिए \\(3^2+3^3=9+27=36\\), अतः सही उत्तर 36 है। ध्यान रखें कि जोड़ में घातांक नहीं जोड़े जाते; \\(3^2+3^3\\) को \\(3^5\\) नहीं लिखा जा सकता। परीक्षा-टिप: समान आधार वाली घातों में घातांक जोड़ने का नियम केवल गुणा के समय लागू होता है। / First evaluate the two powers: \\(3^2=9\\) and \\(3^3=27\\). Therefore, \\(3^2+3^3=9+27=36\\), so the correct answer is 36. Remember that exponents are not added in addition; \\(3^2+3^3\\) cannot be written as \\(3^5\\). Exam tip: for powers with the same base, exponents are added only during multiplication, not addition.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k-3)\) और \(c=k^2\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=[-2(k-3)]^2-4(1)(k^2)=4(k-3)^2-4k^2=36-24k\)। विकल्प B में ऋणात्मक पद का चिह्न गलत है, जबकि विकल्प C और D में वर्ग खोलने या गुणांक लेने में त्रुटि है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(b\) को पूरा पहचानें और फिर \(b^2-4ac\) में रखें। / Here, \(a=1\), \(b=-2(k-3)\), and \(c=k^2\). Thus, \(D=b^2-4ac=[-2(k-3)]^2-4(1)(k^2)=4(k-3)^2-4k^2=36-24k\). Option B has the wrong sign for the linear term, while options C and D result from errors in expanding the square or handling its coefficients. Exam tip: identify the complete coefficient \(b\) before substituting into \(b^2-4ac\).
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k^2\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4[(k+1)^2-k^2]=4(2k+1)\)। विकल्प B में \(k\) से जुड़े पदों को अनदेखा किया गया है, जबकि विकल्प D में स्थिर पद \(4\) छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a,b,c\) पहचानकर विविक्तकर का सूत्र लगाएँ, फिर बीजीय सरलीकरण करें। / Here, \(a=1\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k^2\). Hence, \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4[(k+1)^2-k^2]=4(2k+1)\). Option B ignores the terms involving \(k\), while option D omits the constant term \(4\). Exam tip: identify \(a,b,c\) carefully before applying the discriminant formula, and simplify only afterward.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=2\), \(b=-3\) और \(c=5\) हैं, इसलिए \(D=(-3)^2-4(2)(5)=9-40=-31\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। ऋणात्मक विविक्तकर यह भी बताता है कि समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: \(b\) ऋणात्मक हो तो भी \(b^2\) धनात्मक होगा। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=2\), \(b=-3\), and \(c=5\), so \(D=(-3)^2-4(2)(5)=9-40=-31\). Therefore, option A is correct. Since the discriminant is negative, the equation has no real roots. Exam tip: even when \(b\) is negative, \(b^2\) is positive.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं होगा/There will be no real roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac होता है। जब D < 0 हो, तो समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते; यहाँ D = −4 है। विकल्प C गलत है क्योंकि समान वास्तविक मूल के लिए D = 0 चाहिए, जबकि दो भिन्न वास्तविक मूल के लिए D > 0 आवश्यक है। परीक्षा में विविक्तकर का चिन्ह तुरंत पहचानें: ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक क्रमशः कोई वास्तविक मूल नहीं, समान मूल और भिन्न वास्तविक मूल दर्शाते हैं। / For a quadratic equation, the discriminant is D = b² − 4ac. When D < 0, the equation has no real roots; here, D = −4. Option C is incorrect because equal real roots require D = 0, while two distinct real roots require D > 0. Exam tip: check the sign of the discriminant—negative, zero and positive indicate no real roots, equal roots and distinct real roots, respectively.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=6\), इसलिए \(D=(-4)^2-4(1)(6)=16-24=-8\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि \(D<0\) होने पर समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते; विकल्प 16 केवल \(b^2\) का मान है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=6\), so \(D=(-4)^2-4(1)(6)=16-24=-8\). Therefore, option A is correct. As an exam tip, remember that \(D<0\) means the equation has no real roots; 16 is only the value of \(b^2\).
A. (D=0) पर दो समान वास्तविक मूल होते हैं/When �(D=0), the roots are real and equal
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में मूलों की प्रकृति विविक्तकर �\(D=b^2-4ac\) से निर्धारित होती है। जब �(D=0) होता है, तो सूत्र �\(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) में �\(\sqrt{D}=0\) हो जाता है, इसलिए दोनों मूल समान वास्तविक मूल �\(x=\frac{-b}{2a}\) होते हैं। दो भिन्न वास्तविक मूलों के लिए �(D>0) आवश्यक है; अतः विकल्प B और C गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: �(D=0), �(D>0), और �(D<0) को क्रमशः समान वास्तविक, भिन्न वास्तविक और कोई वास्तविक मूल नहीं से जोड़कर याद रखें। / The nature of the roots of a quadratic equation is determined by its discriminant �\(D=b^2-4ac\). When �(D=0), the quadratic formula �\(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) gives �\(\sqrt{D}=0\), so both roots coincide at �\(x=\frac{-b}{2a}\); hence they are equal real roots. Two distinct real roots require �(D>0), so options B and C are incorrect. Exam tip: remember �(D=0), �(D>0), and �(D<0) as equal real, distinct real, and no real roots, respectively.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विभेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=2\) और \(c=3\) हैं, इसलिए \(D=2^2-4(1)(3)=4-12=-8\)। विकल्प 16 उस गलत सूत्र \(b^2+4ac\) से प्राप्त होता है। परीक्षा में विभेदक का सूत्र याद रखें: \(b^2-4ac\)। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=2\), and \(c=3\), so \(D=2^2-4(1)(3)=4-12=-8\). The value 16 results from using the incorrect formula \(b^2+4ac\). Exam tip: remember the discriminant formula as \(b^2-4ac\).
कथन गलत है। द्विघात समीकरण में \(D>0\) होने पर दो वास्तविक और भिन्न मूल प्राप्त होते हैं, समान मूल नहीं। समान मूल केवल \(D=0\) होने पर मिलते हैं, जबकि \(D<0\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर के लिए याद रखें—\(D>0\): वास्तविक और भिन्न मूल, \(D=0\): समान मूल, \(D<0\): अवास्तविक मूल। / The statement is incorrect. For a quadratic equation, \(D>0\) gives two real and distinct roots, not equal roots. Equal roots occur only when \(D=0\), while \(D<0\) gives no real roots. Exam tip: remember the sequence—\(D>0\): real and distinct roots, \(D=0\): equal roots, \(D<0\): non-real roots.
वर्गमूल लेने पर \(x=\pm\sqrt{169}=\pm13\), इसलिए \(x=13\) और \(x=-13\) दोनों हल हैं। केवल \(x=13\) लिखना अधूरा है, क्योंकि धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याओं का वर्ग 169 होता है। परीक्षा में \(x^2=a\) के लिए दोनों मान \(x=\pm\sqrt{a}\) अवश्य लिखें। / Taking square roots gives \(x=\pm\sqrt{169}=\pm13\), so both \(x=13\) and \(x=-13\) are solutions. Writing only \(x=13\) is incomplete because both the positive and negative numbers have square 169. In an exam, remember to write both values as \(x=\pm\sqrt{a}\) when \(x^2=a\).
वर्गमूल लेने पर \(x=\pm\sqrt{121}=\pm 11\), इसलिए \(x=11\) और \(x=-11\) दोनों हल हैं। केवल \(x=11\) लिखना अधूरा है, क्योंकि \((-11)^2\) भी 121 होता है; वहीं \(\pm121\) में मूल निकालने की प्रक्रिया गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2=a\) में, जब \(a>0\), दोनों वर्गमूल \(x=\pm\sqrt{a}\) अवश्य लिखें। / Taking square roots gives \(x=\pm\sqrt{121}=\pm 11\), so both \(x=11\) and \(x=-11\) are solutions. Writing only \(x=11\) is incomplete because \((-11)^2\) is also 121; \(\pm121\) results from not taking the square root. Exam tip: for \(x^2=a\) with \(a>0\), always write both roots as \(x=\pm\sqrt{a}\).
वर्गमूल विधि में \(x^2=49\) से \(x=\pm\sqrt{49}\) मिलता है। इसलिए \(x=7\) या \(x=-7\), अर्थात् \(x=\pm7\) हैं। केवल धनात्मक मूल लिखना (विकल्प B) सामान्य गलती है, क्योंकि किसी संख्या के वर्ग के दो वर्गमूल हो सकते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2=a\) में हमेशा \(x=\pm\sqrt{a}\) लिखें। / Using the square root method, \(x^2=49\) gives \(x=\pm\sqrt{49}\). Hence, \(x=7\) or \(x=-7\), so \(x=\pm7\). Writing only the positive root (option B) is a common mistake because a positive number has two square roots. Exam tip: For \(x^2=a\), always write \(x=\pm\sqrt{a}\).
