Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यहाँ \(a=3\), \(b=-2\sqrt{15}\) और \(c=5\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{15})^2-4(3)(5)=60-60=0\) है। जब \(D=0\) होता है, तब दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में दोहराया हुआ मूल \(x=\frac{-b}{2a}=\frac{\sqrt{15}}{3}\) है। ध्यान रखें कि मूल अपरिमेय होने पर भी वे समान हो सकते हैं; इसलिए विकल्प D गलत है, क्योंकि उसमें भिन्न मूल बताए गए हैं। / Here, \(a=3\), \(b=-2\sqrt{15}\), and \(c=5\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{15})^2-4(3)(5)=60-60=0\). When \(D=0\), the two roots are real and equal. In fact, the repeated root is \(x=\frac{-b}{2a}=\frac{\sqrt{15}}{3}\). Remember that the roots may be irrational and still equal; therefore, option D is incorrect because it states that the roots are distinct.
समीकरण को �(x-4)2=0 के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए दोनों समान मूल 4 हैं। जाँच के लिए द्विघात सूत्र में मूलों का मान या �x=-\frac{b}{2a}=4 भी प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल होने पर विविक्तकर �D=b-2-4ac का मान 0 होता है। / The equation can be factorised as \((x-4)^2=0\), so both roots are 4. Alternatively, for equal roots, use \(x=-\frac{b}{2a}=4\). Exam tip: a quadratic has equal roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero.
दिया गया समीकरण \(x^2-2(m+2)x+(m+2)^2=0\), \((x-(m+2))^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए इसका दोहराया हुआ मूल \(x=m+2\) है और यह प्रत्येक वास्तविक \(m\) के लिए बराबर मूल देता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प C केवल \(m=-2\) का एक विशेष मान बताता है, जबकि सभी वास्तविक मान मान्य हैं। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्ग या विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) की जाँच करें। / The equation can be rewritten as \((x-(m+2))^2=0\). Hence its repeated root is \(x=m+2\), and the roots are equal for every real value of \(m\). Therefore, option A is correct. Option C gives only the special case \(m=-2\), not the complete set of valid values. Exam tip: in such questions, first look for a perfect square or verify that the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में यहाँ \(a=1, b=-18, c=81\) हैं। इसलिए मूलों का योग \(-b/a=18\) और गुणनफल \(c/a=81\) होगा। वास्तव में, समीकरण \((x-9)^2=0\) है, इसलिए दोनों मूल 9 हैं; उनका योग 18 और गुणनफल 81 है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-b/a\) तथा गुणनफल \(c/a\) सीधे पहचानें। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), we have \(a=1, b=-18, c=81\). Hence, the sum of the roots is \(-b/a=18\), and their product is \(c/a=81\). Equivalently, the equation is \((x-9)^2=0\), so both roots are 9; their sum is 18 and product is 81. Exam tip: identify the sum as \(-b/a\) and the product as \(c/a\) directly.
दिया गया समीकरण \(16x^2-8x+1=0\) को \((4x-1)^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(4x-1=0\), इसलिए दोहराया गया मूल \(x=\frac{1}{4}\) है। ध्यान रखें कि पूर्ण वर्ग के रूप \((ax+b)^2=0\) में मूल \(-\frac{b}{a}\) होता है। / The equation \(16x^2-8x+1=0\) can be written as \((4x-1)^2=0\). Hence, \(4x-1=0\), giving the repeated root \(x=\frac{1}{4}\). Exam tip: when a quadratic is a perfect square, its single root is repeated twice; do not confuse it with the coefficient 4 in the factor.
दिए गए गुणांकों से समीकरण \(x^2-16x+64=0\) प्राप्त होता है। इसका गुणनखंडन \((x-8)^2=0\) है, इसलिए दोनों मूल \(8\) हैं। यह एक समान मूल वाला द्विघात समीकरण है। परीक्षा में समान मूल पहचानने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) भी जाँच सकते हैं; यहाँ \(D=0\) है। / Using the given coefficients, the equation is \(x^2-16x+64=0\). It factors as \((x-8)^2=0\), so both roots are \(8\). Thus, the equation has equal roots. In an exam, you can also verify this using the discriminant \(D=b^2-4ac\); here, \(D=0\).
यहाँ \(a=1\), \(b=-14\) और \(c=49\) हैं। द्विघात समीकरण के लिए मूलों का योग \(-b/a=14\) तथा मूलों का गुणनफल \(c/a=49\) होता है। वास्तव में, \(x^2-14x+49=(x-7)^2\), इसलिए दोनों मूल 7 हैं; उनका योग 14 और गुणनफल 49 है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) सीधे पहचानें। विकल्प C में मूलों को ही योग और गुणनफल समझ लिया गया है। / Here, \(a=1\), \(b=-14\), and \(c=49\). For a quadratic equation, the sum of the roots is \(-b/a=14\), while their product is \(c/a=49\). Indeed, \(x^2-14x+49=(x-7)^2\), so both roots are 7; their sum is 14 and their product is 49. Exam tip: directly apply the relations sum \(=-b/a\) and product \(=c/a\). Option C gives the individual repeated root instead of its sum and product.
जब विविक्तकर \(D=0\) होता है, तब दोनों मूल समान होते हैं। मान लें प्रत्येक मूल \(x\) है। तब \(x+x=10\), इसलिए \(2x=10\) और \(x=5\)। अतः प्रत्येक मूल 5 है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) दिखे तो समान मूल मानकर मूलों के योग को 2 से भाग दें। / When the discriminant \(D=0\), the two roots are equal. Let each root be \(x\). Then \(x+x=10\), so \(2x=10\) and \(x=5\). Therefore, each root is 5. Exam tip: When \(D=0\), divide the sum of the roots by 2 to find the repeated root.
दिया गया समीकरण \(9x^2-6x+1=(3x-1)^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(3x-1=0\), जिससे \(x=\frac{1}{3}\) प्राप्त होता है और यही दोहराया हुआ मूल है। विकल्प B में चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=0\) होने पर दोनों मूल समान होते हैं। / The equation can be factorised as \(9x^2-6x+1=(3x-1)^2\). Thus, \(3x-1=0\), giving \(x=\frac{1}{3}\), which is the repeated root. Option B has the incorrect sign. Exam tip: the roots of a quadratic equation are equal when its discriminant \(D\) is zero.
यदि दोनों मूल 5 हैं, तो मूलों से बना समीकरण \((x-5)(x-5)=0\), अर्थात् \((x-5)^2=0\) होगा। इसका विस्तार करने पर \(x^2-10x+25=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x\) का गुणांक धनात्मक है, जो मूलों के योग के चिह्न के अनुरूप नहीं है। परीक्षा-टिप: मूल \(\alpha,\beta\) दिए हों तो मोनिक समीकरण \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) लिखें। / If both roots are 5, the equation formed from the roots is \((x-5)(x-5)=0\), or \((x-5)^2=0\). Expanding it gives \(x^2-10x+25=0\), so option A is correct. Option B has the wrong sign for the coefficient of \(x\), since the sum of the roots is 10. Exam tip: For roots \(\alpha\) and \(\beta\), a monic quadratic is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\).
समीकरण को \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \((2x-3)^2=0\), इसलिए \(2x-3=0\) और \(x=\frac{3}{2}\)। दोनों मूल समान और दोहराए हुए हैं। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पूर्ण वर्ग पहचानना सबसे तेज़ तरीका है; ऋणात्मक मूल \(-\frac{3}{2}\) नहीं होगा। / The equation can be written as \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\). Hence, \((2x-3)^2=0\), so \(2x-3=0\) and \(x=\frac{3}{2}\). Both roots are equal and repeated. In the exam, identifying the perfect square is the quickest method; the negative value \(-\frac{3}{2}\) is not a root.
यहाँ \(x^2-18x+81=(x-9)^2\) है। अतः \((x-9)^2=0\) से \(x=9\) प्राप्त होता है और यही मूल दो बार आता है। इसलिए सही उत्तर 9 है। परीक्षा-युक्ति: जब द्विघात व्यंजक पूर्ण वर्ग के रूप में हो, तो उसके वर्ग के अंदर का रैखिक पद शून्य करके मूल ज्ञात करें। / Here, \(x^2-18x+81=(x-9)^2\). Thus, \((x-9)^2=0\) gives \(x=9\), and this root occurs twice. Therefore, the correct answer is 9. Exam tip: If a quadratic is a perfect square, set the linear expression inside the square equal to zero to find the repeated root.
A. \(0\) दोहराया हुआ मूल है/\(0\) is a repeated root
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(11\neq 0\), इसलिए \(11x^2=0\) को 11 से भाग देने पर \(x^2=0\) मिलता है। अतः \(x=0\) दोनों बार आता है, इसलिए 0 दोहराया हुआ मूल है। परीक्षा-युक्ति: \(ax^2=0\) में, जहाँ \(a\neq0\), मूल हमेशा \(x=0\) होता है और उसकी बहुलता 2 होती है। / Since \(11\neq 0\), dividing \(11x^2=0\) by 11 gives \(x^2=0\). Thus \(x=0\) occurs twice, so 0 is a repeated root. Exam tip: In an equation of the form \(ax^2=0\), where \(a\neq0\), the root is always \(x=0\) with multiplicity 2.
