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completing-the-square se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
दिए गए समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(x^2+14x+10=(x+7)^2-39\)। अतः \((x+7)^2=39\), इसलिए \(x+7=\pm\sqrt{39}\) और \(x=-7\pm\sqrt{39}\)। विकल्प B में \(-7\) के स्थान पर गलत चिन्ह है, जबकि विकल्प D में वर्गमूल का प्रयोग नहीं किया गया है। परीक्षा में \(\pm\) के दोनों मानों को दर्शाना न भूलें। / Rewrite the quadratic by completing the square: \(x^2+14x+10=(x+7)^2-39\). Thus, \((x+7)^2=39\), so \(x+7=\pm\sqrt{39}\) and \(x=-7\pm\sqrt{39}\). Option B has the wrong sign for the constant term in the root expression, while option D omits the square root. In an exam, remember that \(\pm\) represents both roots.
पूर्ण वर्ग बनाने पर \(x^2+12x+8=0\) से \((x+6)^2=28\) प्राप्त होता है। अतः \(x+6=\pm\sqrt{28}=\pm2\sqrt{7}\), इसलिए \(x=-6\pm2\sqrt{7}\)। विकल्प B में \(-6\) के स्थान पर गलत चिन्ह है। परीक्षा-युक्ति: \(\sqrt{28}\) को \(2\sqrt{7}\) के रूप में सरल करें। / Completing the square gives \(x^2+12x+8=0\Rightarrow (x+6)^2=28\). Therefore, \(x+6=\pm\sqrt{28}=\pm2\sqrt{7}\), so the roots are \(x=-6\pm2\sqrt{7}\). Option B has the wrong sign for the constant term in the roots. Exam tip: simplify \(\sqrt{28}\) to \(2\sqrt{7}\).
पूर्ण वर्ग बनाने पर \(x^2+8x+5=0\) से \(x^2+8x+16=11\), अर्थात् \((x+4)^2=11\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x+4=\pm\sqrt{11}\), अतः \(x=-4\pm\sqrt{11}\)। विकल्प B में \(-4\) की जगह गलत रूप से \(4\) लिया गया है और विकल्प D में वर्गमूल का चिह्न छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: \(\pm\) के कारण दोनों मूल अवश्य लिखें। / Completing the square in \(x^2+8x+5=0\) gives \(x^2+8x+16=11\), or \((x+4)^2=11\). Hence, \(x+4=\pm\sqrt{11}\), so the roots are \(x=-4\pm\sqrt{11}\). Option B has the wrong sign before 4, while option D incorrectly omits the square-root sign. Exam tip: the \(\pm\) symbol represents both roots, so write both values when required.
दिए गए समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(x^2+6x+2=0\Rightarrow (x+3)^2=7\)। अतः \(x+3=\pm\sqrt{7}\), इसलिए \(x=-3\pm\sqrt{7}\)। विकल्प B में \(-3\) के स्थान पर गलत चिन्ह के कारण मूलों का स्थान बदल जाता है। परीक्षा में \(\pm\) के दोनों मान अवश्य लिखें। / Rewrite the equation by completing the square: \(x^2+6x+2=0\Rightarrow (x+3)^2=7\). Thus, \(x+3=\pm\sqrt{7}\), giving \(x=-3\pm\sqrt{7}\). Option B has the wrong sign before 3, so it does not satisfy the equation. In an exam, remember that \(\pm\) represents both roots.
समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(x^2+4x+1=0\Rightarrow x^2+4x+4=3\Rightarrow (x+2)^2=3\)। अतः \(x+2=\pm\sqrt{3}\), इसलिए \(x=-2\pm\sqrt{3}\)। विकल्प B में \(-2\) के स्थान पर गलत चिन्ह लिया गया है। परीक्षा में \(\pm\) के दोनों मूल अवश्य लिखें। / Rewrite the equation by completing the square: \(x^2+4x+1=0\Rightarrow x^2+4x+4=3\Rightarrow (x+2)^2=3\). Thus, \(x+2=\pm\sqrt{3}\), giving \(x=-2\pm\sqrt{3}\). Option B has the wrong sign for the constant term in the solution. In an exam, remember that \(\pm\) represents both roots.
\(x^2-24x+108=0\) को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर \((x-12)^2=36\) मिलता है। अतः \(x-12=\pm6\), इसलिए \(x=12+6=18\) या \(x=12-6=6\)। इस प्रकार मूल \(6\) और \(18\) हैं। परीक्षा में \(\pm\) चिह्न से प्राप्त दोनों मान अवश्य जाँचें; विकल्प C में केवल एक सही मूल \(6\) है, जबकि \(12\) मूल नहीं है। / Writing the equation in completed-square form gives \((x-12)^2=36\). Therefore, \(x-12=\pm6\), so \(x=12+6=18\) or \(x=12-6=6\). Hence, the roots are \(6\) and \(18\). In an exam, remember to use the \(\pm\) sign to obtain both roots; option C contains the correct root \(6\) but \(12\) is not a root.
दिए गए समीकरण से \(x^2-6x=7\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में 9 जोड़ने पर \(x^2-6x+9=16\), अर्थात् \((x-3)^2=16\)। इसलिए \(x-3=\pm4\), जिससे \(x=7\) या \(x=-1\) प्राप्त होते हैं। विकल्प C में दिए मूलों का योग 7 है, जबकि इस समीकरण में मूलों का योग 6 होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग विधि में \(\pm\) चिन्ह से दोनों संभावित मूल अवश्य निकालें। / From the equation, \(x^2-6x=7\). Adding 9 to both sides gives \(x^2-6x+9=16\), or \((x-3)^2=16\). Hence, \(x-3=\pm4\), so the roots are \(x=7\) and \(x=-1\). Option C is incorrect because its roots have a sum of 7, whereas the sum of the roots of this equation must be 6. Exam tip: In the completing-square method, use the \(\pm\) sign to obtain both roots.
दिए गए समीकरण को \(x^2-8x+16=1\) लिखने पर \((x-4)^2=1\) मिलता है। अतः \(x-4=\pm1\), इसलिए \(x=5\) या \(x=3\)। विकल्प C में मूलों का योग सही है, लेकिन उनका गुणनफल \(7\) है, जबकि आवश्यक गुणनफल \(15\) होना चाहिए। परीक्षा में पूर्ण वर्ग विधि में \(\pm\) से दोनों मूल अवश्य निकालें। / Rearranging the equation gives \(x^2-8x+16=1\), so \((x-4)^2=1\). Therefore, \(x-4=\pm1\), which gives \(x=5\) or \(x=3\). In option C, the sum of the roots is correct, but their product is \(7\), not the required \(15\). In exams, remember to consider both signs of \(\pm\) when completing the square.
दिए गए समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(x^2-12x+20=(x-6)^2-16=0\)। अतः \((x-6)^2=16\), इसलिए \(x-6=\pm4\) और \(x=2\) या \(x=10\)। विकल्प C में दिए गए मानों का योग 12 है, लेकिन उनका गुणनफल 32 है, जबकि मूलों का गुणनफल 20 होना चाहिए। परीक्षा-टिप: द्विघात समीकरण में \(\pm\) से प्राप्त दोनों मान अवश्य लिखें। / Write the equation by completing the square: \(x^2-12x+20=(x-6)^2-16=0\). Thus, \((x-6)^2=16\), so \(x-6=\pm4\), giving \(x=2\) or \(x=10\). The values in option C have sum 12 but product 32, whereas the product of the roots must be 20. Exam tip: always include both values obtained from \(\pm\) in a quadratic equation.
दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखें: \(x^2+6x+9=8\), अर्थात \((x+3)^2=8\)। इसलिए \(x+3=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}\), अतः \(x=-3\pm2\sqrt{2}\)। विकल्प D में \(\sqrt{8}\) को गलत रूप से \(\sqrt{2}\) माना गया है। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग बनाते समय \(x\) के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ें। / Rewrite the equation as \(x^2+6x+9=8\), so \((x+3)^2=8\). Thus, \(x+3=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}\), giving \(x=-3\pm2\sqrt{2}\). Option D misses the factor 2 while simplifying \(\sqrt{8}\). Exam tip: to complete the square, add the square of half the coefficient of \(x\).
पूर्ण वर्ग सूत्र (a+b)2=a-2+2ab+b-2 का उपयोग करें। यहाँ a=x और b=12 लेने पर (x+12)2=x-2+2(x)(12)+122=x-2+24x+144 मिलता है। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि (x-12)2 में मध्य पद -24x होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: स्थिर पद का वर्गमूल लेकर मध्य पद से उसका दोगुना गुणनफल जाँचें। / Use the perfect-square identity (a+b)2=a-2+2ab+b-2. Taking a=x and b=12 gives (x+12)2=x-2+2(x)(12)+122=x-2+24x+144. Therefore, option A is correct. Note that (x-12)2 would have the middle term -24x, so it is not correct. Exam tip: take the square root of the constant term and verify twice its product with the variable term.
\\((x+8)^2=x^2+2\cdot8x+8^2=x^2+16x+64\\) होता है, इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में मध्य पद \\-16x\ आता है, जबकि दिए गए व्यंजक में \\(+16x\\) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए स्थिर पद का वर्गमूल लेकर उसके दुगुने गुणनफल से मध्य पद जाँचें। / \\((x+8)^2=x^2+2\cdot8x+8^2=x^2+16x+64\\), so option A is correct. Option B would produce the middle term \\-16x\, not the given \\(+16x\\). In an exam, identify a perfect square by taking the square root of the constant term and checking whether twice that number gives the middle-term coefficient.
\(x\) के गुणांक 16 का आधा 8 है और उसका वर्ग \(8^2=64\) होता है। इसलिए दोनों पक्षों में 64 जोड़ने पर \(x^2+16x+64=(x+8)^2\) प्राप्त होता है। 8 केवल आधा गुणांक है, जोड़ने वाली संख्या नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx\) को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\) जोड़ें। / The coefficient of \(x\) is 16. Its half is 8, and the square of 8 is \(8^2=64\). Thus, adding 64 to both sides gives \(x^2+16x+64=(x+8)^2\). The number 8 is only half the coefficient, not the number to be added. Exam tip: For \(x^2+bx\), add \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\) to complete the square.
समीकरण \(x^2+12x+7=0\) में \(x\) का गुणांक 12 है। पूर्ण वर्ग बनाने के लिए \(\left(\frac{12}{2}\right)^2=6^2=36\) जोड़ा और घटाया जाता है। इसलिए सही उत्तर 36 है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx\) के लिए हमेशा \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\) जोड़ें और उतना ही घटाएँ। 12 या 6 लेने से पूर्ण वर्ग नहीं बनेगा। / In \(x^2+12x+7=0\), the coefficient of \(x\) is 12. To form a perfect square, calculate \(\left(\frac{12}{2}\right)^2=6^2=36\), so 36 is added and subtracted. Therefore, option A is correct. Exam tip: for \(x^2+bx\), use \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\). Taking 12 or 6 alone does not complete the square.
पूर्ण वर्ग सूत्र \((x-a)^2=x^2-2ax+a^2\) में \(a=5\) रखने पर \((x-5)^2=x^2-10x+25\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में मध्य पद \(+10x\) होता, जबकि विकल्प D अंतर के वर्ग से संबंधित है। परीक्षा में स्थिर पद 25 देखकर \(5^2\) पहचानें और मध्य पद \(-2\times5x=-10x\) से पुष्टि करें। / Using the perfect-square identity \((x-a)^2=x^2-2ax+a^2\) with \(a=5\), we get \((x-5)^2=x^2-10x+25\). Hence, option A is correct. Option B would produce a middle term of \(+10x\), while option D represents a difference of squares. In an exam, identify \(25=5^2\) and verify the middle term as \(-2\times5x=-10x\).
\(x^2+8x+16\) में मध्य पद \(8x\) का गुणांक 8 है। इसका आधा 4 लेकर उसका वर्ग \(16\) जोड़ने पर \(x^2+8x+16=(x+4)^2\) प्राप्त होता है। इसलिए A सही है। \((x+8)^2\) में मध्य पद \(16x\) होता, इसलिए B गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx\) को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\) जोड़ें। / In \(x^2+8x+16\), the coefficient of \(x\) is 8. Taking half of 8 gives 4, and adding its square, 16, gives \(x^2+8x+16=(x+4)^2\). Therefore, A is correct. In \((x+8)^2\), the middle term would be \(16x\), so B is incorrect. Exam tip: To complete the square in \(x^2+bx\), add \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\).
दिया गया समीकरण ((x-k)2-4=0) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः ((x-k)2=4) से मूल (x=k+2) और (x=k-2) होंगे। इसलिए दोनों मूलों के बीच धनात्मक अंतर ((k+2)-(k-2)=4) है। विकल्प B केवल 2 को दर्शाता है, जो प्रत्येक मूल का k से अंतर है, मूलों का आपसी अंतर नहीं। परीक्षा-युक्ति: ((x-a)2=b-2) होने पर मूल (a+b) और (a-b) होते हैं। / The equation can be rewritten as ((x-k)2-4=0). Thus, ((x-k)2=4), giving the roots (x=k+2) and (x=k-2). Therefore, their positive difference is ((k+2)-(k-2)=4). Option B, 2, is the distance of each root from k, not the difference between the two roots. Exam tip: If ((x-a)2=b-2), the roots are (a+b) and (a-b).
समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(x^2-2ax+a^2-49=(x-a)^2-49=0\). अतः \((x-a)^2=49\) से दोनों मूल \(a+7\) और \(a-7\) होंगे। इन दोनों का अंतर \((a+7)-(a-7)=14\) है। विकल्प (B)‑ 7 इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल अंकात्मक अंतर का आधा है; विकल्प (C)‑ 2a और (D)‑ a+7 भी गलत हैं — (C) को मूलों के योग या गुणनफल से गलत निहितार्थ जोड़ा गया है और (D) एक मात्र एक मूल है, अंतर नहीं। परीक्षा-सुझाव: कभी भी द्विघात में समान रूप से व्यवस्थित सदस्य दिखें तो पहले पूर्ण वर्ग बनाने की कोशिश करें — इससे मूल सरलता से मिल जाते हैं। / Complete the square: \(x^2-2ax+a^2-49=(x-a)^2-49=0\). So \((x-a)^2=49\) and the roots are \(a+7\) and \(a-7\). Their difference is \((a+7)-(a-7)=14\). Option B (7) is incorrect — it is half the actual difference. Option C (2a) is unrelated to the difference here (it would be a mistaken use of coefficients), and option D (a+7) is just one root, not the difference. Exam tip: try completing the square or factor as \((x-a-7)(x-a+7)=0\) to read off roots quickly.
दिया गया समीकरण \((x-a)^2-25=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \((x-a)^2=25\), इसलिए मूल \(a+5\) और \(a-5\) हैं। बड़े और छोटे मूल का अंतर \((a+5)-(a-5)=10\) होगा। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्ग बनाकर मूलों का अंतर निकालना सबसे सरल तरीका है। / The equation can be rewritten as \((x-a)^2-25=0\). Thus, \((x-a)^2=25\), giving the roots \(a+5\) and \(a-5\). Therefore, the difference between the larger and smaller roots is \((a+5)-(a-5)=10\). In such questions, completing the square is the quickest method.
दिया गया समीकरण \((x-a)^2-16=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \((x-a)^2=16\), इसलिए मूल \(x=a+4\) और \(x=a-4\) हैं। मूलों का अंतर \((a+4)-(a-4)=8\) है। विकल्प 4 केवल प्रत्येक मूल की \(a\) से दूरी दर्शाता है, मूलों के बीच का अंतर नहीं। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्ग बनाकर मूल निकालना उपयोगी रहता है। / The equation can be rewritten as \((x-a)^2-16=0\). Thus, \((x-a)^2=16\), giving the roots \(x=a+4\) and \(x=a-4\). Their difference is \((a+4)-(a-4)=8\). The value 4 represents the distance of each root from \(a\), not the distance between the two roots. In the exam, completing the square is a quick method for such questions.
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिघात है क्योंकि \((x-2\sqrt{2})^2 = x^2 -2\cdot x\cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = x^2 -4\sqrt{2}x +8\)। विकल्प \(x+2\sqrt{2}\)2 में मध्य पद +4\sqrt{2}x होगा (चिन्ह उल्टा)। \(x-\sqrt{2}\)2 का स्थिर पद \( (\sqrt{2})^2=2\) है और \(x-4\sqrt{2}\)2 का स्थिर पद \((4\sqrt{2})^2=32\) है, इसलिए वे मेल नहीं खाते। परीक्षा-टिप: पैटर्न \((x-a)^2 = x^2 -2ax + a^2\) से a निकाल कर a-2 से स्थिर पद की जाँच करें। / This is a perfect-square trinomial because \((x-2\sqrt{2})^2 = x^2 -2\cdot(2\sqrt{2})x + (2\sqrt{2})^2 = x^2 -4\sqrt{2}x +8\). Option \(x+2\sqrt{2}\)2 would give +4\sqrt{2}x (wrong sign). Option \(x-\sqrt{2}\)2 has constant term 2, and \(x-4\sqrt{2}\)2 has constant term 32, so they do not match the given polynomial. Exam tip: use the identity \((x-a)^2 = x^2 -2ax + a^2\); find a from the middle coefficient and verify a-2 equals the constant term.
