Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
विकल्प A का विस्तार करने पर \((7x+2)(x-3)=7x^2-21x+2x-6=7x^2-19x-6\) प्राप्त होता है, इसलिए यही सही गुणनखंडित रूप है। विकल्प B में मध्य पद \(+19x\) बनता है, जबकि विकल्प C और D में मध्य पद क्रमशः \(-11x\) और \(+11x\) बनता है। परीक्षा में गुणनखंडित रूप को विस्तार करके मूल समीकरण से अवश्य मिलाएँ। / Expanding option A gives \((7x+2)(x-3)=7x^2-21x+2x-6=7x^2-19x-6\), so it is the correct factorised form. Option B produces a middle term of \(+19x\), while options C and D produce \(-11x\) and \(+11x\), respectively. Exam tip: always expand the factors to verify the middle term and constant term.
विकल्प A का विस्तार करने पर \((5x+3)(x-2)=5x^2-10x+3x-6=5x^2-7x-6\) प्राप्त होता है, इसलिए यही सही गुणनखंडित रूप है। विकल्प B में \(x\) का गुणांक \(+7\) हो जाता है, जबकि विकल्प C और D में क्रमशः \(+13\) और \(-13\) प्राप्त होते हैं। परीक्षा में गुणनखंडों को विस्तार करके मूल द्विघात समीकरण से मिलान अवश्य करें। / Expanding option A gives \((5x+3)(x-2)=5x^2-10x+3x-6=5x^2-7x-6\), so it is the correct factorised form. Option B produces a middle coefficient of \(+7\), while options C and D produce \(+13\) and \(-13\), respectively. In an exam, always expand the factors and compare the result with the original quadratic equation.
विकल्प A का विस्तार करने पर (3x+1)(x−2) = 3x² − 6x + x − 2 = 3x² − 5x − 2 मिलता है, इसलिए यही सही गुणनखंड रूप है। विकल्प B का विस्तार 3x² + 5x − 2 देता है, जबकि विकल्प C में मध्य पद x और विकल्प D में −7x प्राप्त होता है। परीक्षा में गुणनखंडों का विस्तार करके मूल द्विघात समीकरण से मिलान अवश्य करें। / Expanding option A gives (3x+1)(x−2) = 3x² − 6x + x − 2 = 3x² − 5x − 2, so it is the correct factorised form. Option B gives a middle term of +5x, option C gives x, and option D gives −7x. In an exam, expand the factors and compare the result with the original quadratic equation.
समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(x^2+4x+1=0\Rightarrow x^2+4x+4=3\Rightarrow (x+2)^2=3\)। अतः \(x+2=\pm\sqrt{3}\), इसलिए \(x=-2\pm\sqrt{3}\)। विकल्प B में \(-2\) के स्थान पर गलत चिन्ह लिया गया है। परीक्षा में \(\pm\) के दोनों मूल अवश्य लिखें। / Rewrite the equation by completing the square: \(x^2+4x+1=0\Rightarrow x^2+4x+4=3\Rightarrow (x+2)^2=3\). Thus, \(x+2=\pm\sqrt{3}\), giving \(x=-2\pm\sqrt{3}\). Option B has the wrong sign for the constant term in the solution. In an exam, remember that \(\pm\) represents both roots.
(2x+1)(x−2) को फैलाने पर 2x² − 4x + x − 2 = 2x² − 3x − 2 प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। निकटतम distractor विकल्प B है, क्योंकि उसका विस्तार 2x² + 3x − 2 होता है और x का गुणांक गलत चिह्न का है। परीक्षा में गुणनखंडों को वापस फैलाकर मूल समीकरण से मिलान करें। / Expanding (2x+1)(x−2) gives 2x² − 4x + x − 2 = 2x² − 3x − 2, so option A is correct. The closest distractor is option B, whose expansion is 2x² + 3x − 2; the sign of the coefficient of x is wrong. In an exam, expand the factors and compare the result with the original equation.
समीकरण को \((x-3)(x-15)=0\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। अतः \(x=3\) या \(x=15\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में संख्याओं का योग 18 है, लेकिन उनका गुणनफल 72 है, जबकि आवश्यक गुणनफल 45 होना चाहिए। परीक्षा में मूलों की जाँच के लिए उनका योग 18 और गुणनफल 45 अवश्य मिलाएँ। / The equation factors as \((x-3)(x-15)=0\). Therefore, \(x=3\) or \(x=15\), so option A is correct. In option C, the numbers add to 18 but their product is 72, whereas the required product is 45. In an exam, verify the roots using their sum 18 and product 45.
दिया गया समीकरण \\(x^2+4x-12=0\\) को \\(x^2+6x-2x-12=0\\) लिखकर \\( (x+6)(x-2)=0 \\) मिलता है। अतः \\(x=-6\\) या \\(x=2\\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न गलत हैं। परीक्षा में गुणनखंडों का गुणनफल स्थिर पद \\(-12\\) और योग \\(4\\) होना चाहिए। / Factor the equation as \\(x^2+6x-2x-12=0\\), giving \\( (x+6)(x-2)=0 \\). Therefore, \\(x=-6\\) or \\(x=2\\), so option A is correct. In option B, the signs of both roots are incorrect. As an exam check, the roots should have sum \\(-4\\) and product \\(-12\\).
\(x\) के गुणांक 24 का आधा 12 है। पूर्ण वर्ग बनाने के लिए उसके आधे का वर्ग जोड़ा जाता है: \(\left(\frac{24}{2}\right)^2=12^2=144\)। इसलिए दोनों पक्षों में 144 जोड़ा जाएगा। ध्यान रखें कि 12 आधा गुणांक है, जबकि जोड़ी जाने वाली संख्या 144 है। / The coefficient of \(x\) is 24, so its half is 12. To complete the square, we add the square of this half: \(\left(\frac{24}{2}\right)^2=12^2=144\). Therefore, 144 is added to both sides. Remember that 12 is the half of the coefficient, while 144 is the number added.
वर्गमूल लेने पर \\(x-4=\\pm 5\\) मिलता है। इसलिए \\(x-4=5\\) से \\(x=9\\), और \\(x-4=-5\\) से \\(x=-1\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में 4 को सही ढंग से जोड़ने के बजाय गलत मान निकाले गए हैं। परीक्षा में वर्गमूल लेते समय हमेशा दोनों \\(\\pm\\) स्थितियाँ लिखें। / Taking square roots gives \\(x-4=\\pm 5\\). Thus, \\(x-4=5\\) gives \\(x=9\\), while \\(x-4=-5\\) gives \\(x=-1\\). Option B results from handling the addition of 4 incorrectly. In exams, remember to include both \\(\\pm\\) cases when taking a square root.
\(x\) के गुणांक 16 का आधा 8 है और उसका वर्ग \(8^2=64\) होता है। इसलिए दोनों पक्षों में 64 जोड़ने पर \(x^2+16x+64=(x+8)^2\) प्राप्त होता है। 8 केवल आधा गुणांक है, जोड़ने वाली संख्या नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx\) को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\) जोड़ें। / The coefficient of \(x\) is 16. Its half is 8, and the square of 8 is \(8^2=64\). Thus, adding 64 to both sides gives \(x^2+16x+64=(x+8)^2\). The number 8 is only half the coefficient, not the number to be added. Exam tip: For \(x^2+bx\), add \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\) to complete the square.
समीकरण \(x^2+12x+7=0\) में \(x\) का गुणांक 12 है। पूर्ण वर्ग बनाने के लिए \(\left(\frac{12}{2}\right)^2=6^2=36\) जोड़ा और घटाया जाता है। इसलिए सही उत्तर 36 है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx\) के लिए हमेशा \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\) जोड़ें और उतना ही घटाएँ। 12 या 6 लेने से पूर्ण वर्ग नहीं बनेगा। / In \(x^2+12x+7=0\), the coefficient of \(x\) is 12. To form a perfect square, calculate \(\left(\frac{12}{2}\right)^2=6^2=36\), so 36 is added and subtracted. Therefore, option A is correct. Exam tip: for \(x^2+bx\), use \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\). Taking 12 or 6 alone does not complete the square.
समीकरण \(5x^2=20\) में दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर \(x^2=4\) मिलता है। इसलिए \(x=\pm\sqrt{4}=\pm2\), अर्थात् \(x=2\) या \(x=-2\)। केवल \(x=2\) या केवल \(x=-2\) लिखना अधूरा है। परीक्षा में वर्गमूल लेते समय दोनों चिह्न \(\pm\) अवश्य जाँचें। / Dividing both sides of \(5x^2=20\) by 5 gives \(x^2=4\). Taking square roots, \(x=\pm\sqrt{4}=\pm2\), so the solutions are \(x=2\) and \(x=-2\). Options B and C give only one of the two roots, while option D results from an incorrect square root. Exam tip: remember to include both signs when taking the square root of a positive number.
\(x\) के गुणांक \(-10\) का आधा \(-5\) है। उसके वर्ग का मान \((-5)^2=25\) होता है, इसलिए पूर्ण वर्ग बनाने के लिए 25 जोड़ा जाएगा: \(x^2-10x+25=(x-5)^2\)। परीक्षा में इस विधि के लिए \(x\) के गुणांक के आधे का वर्ग लें। / The coefficient of \(x\) is \(-10\), whose half is \(-5\). Squaring it gives \((-5)^2=25\), so 25 must be added: \(x^2-10x+25=(x-5)^2\). Exam tip: in the completing-square method, add the square of half the coefficient of \(x\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों की प्रकृति विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) से निर्धारित होती है। जब \(D=0\), तो \(\sqrt{D}=0\) और मूल सूत्र से दोनों मूल \(-\frac{b}{2a}\) प्राप्त होते हैं; इसलिए दोनों मूल समान और वास्तविक होते हैं। \(D>0\) होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) को ‘समान वास्तविक मूल’ से याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the nature of the roots is determined by the discriminant \(D=b^2-4ac\). When \(D=0\), \(\sqrt{D}=0\), so the quadratic formula gives both roots as \(-\frac{b}{2a}\); hence they are equal and real. Two distinct real roots occur when \(D>0\), so option B is incorrect. Exam tip: remember \(D=0\) as ‘equal real roots’.
